Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 34
Текст из файла (страница 34)
3.8,6): 4. Моделирование инерционных нелинейных функциональных замкнутых систем Сложнее обстоит дело с цифровым моделированием замкнутых функциональных нелинейных систем (системы 111 класса). Пример 2. Рассмотрим нелинейную систему, показанную на рис. 3.8,а, у которой нелинейный элемент стоит в прямой цепи петли обратной связи. Положим, что линейный фильтр с передаточной функцией К(р) является системой второго порядка. Заменив этот фильтр дискретным фильтром (рис. 3.8,6) с передаточной функцией а, + а,г+ а,г' К»(г)= 1+Ь +Ь з ' получим следующие уравнения, описывающие преобразования сиг- нала «4п) в эквивалентной дискретной нелинейной системе: » [л1 = и [л1 — о, [л1, », [и] = ) (» [п]) = [ (и [л] — [л)), о [л] = а»»« [л) + а,», [л — Ц + аз», [п — 2! — (3.105) — Ь,о„ [л — Ц вЂ” Ь,о, [л — 2) = а,[ (и [л] — о [л]) + + а,з, [п — Ц + а,», [л — 2) — Ь,о [л — Ц вЂ” Ь«о )п — 2].
Поскольку вычисления производятся рекуррентно, все величины в последнем уравнении в (3.106), кроме о.[л), можно считать вгве- стными. Поэтому для нахождения интересующего пас неизвестного 'значения о.[л] требуется решить относительно о.[л] нелинейное урав- нение о, [п1 = а,[(и [л] — о, [п1) + с„, (3.107) где с„=а,», [п — Ц+амч [л — 21 — Ь,о [и — Ц вЂ” Ь,о [п — 2].
У~равнение «(3.107) требуется решать яа каждом шаге. Наиболее общим методом решения является метод итераций. Для простых пе. лннейностей решение этого уравпения иногда удается записать ввиде формулы, например, если 1(г) г', то и [л) а«(иа (л] — 2и [л1 о„[л) + оа [п)) + с„ нли Аоз [л1 — В„о, [л! -]-С„=о, где А = ав В» = 1 + 2и [п), С„а,и' [л[ -[- с„.
Отсюда В„~ ]«/ „— 4АС» 2А Таким образом, приходим к выводу, что особенно- стью цифровой модели данной нелинейной системы, со- 221 держащей нелинейный элемент в замкнутом контуре, является необходимость решать на каждом шаге нелинейное алгебраическое уравнение при условии, если линейные динамические звенья системы моделируются с помощью рекуррентных уравнений. Нетрудно убедить-' ся, что такое положение всегда имеет место прн цифровом моделировании замкнутых функциональных нелинейных систем. Необходимость решения нелинейных уравнений усложняет цифровые модели замкнутых нелинейных систем по сравнению с цифровыми моделями разомкнутых нелинейных систем.
Это затруднение легко обойти, если в цепь обратной связи эквивалентной импульсной системы ввести дополнительно элемент задержки на один период (рис. 3.8,в). Тогда необходимость решения уравнения вида (3.107) отпадает, н цифровая модель замкнутой нелинейной системы оказывается почти столь же простой, как н модель разомкнутой системы. Лействительно, уравнение (3.107) в этом случае принимает вид о (п]=пег(и(п1 — о !и — 11)+с„. (3.108) Вычисление текущего значения сигнала на выходе замкнутой системы по уравнению (3:108) сводится к нелинейному преобразованию известных (и(п), и(п — 11, и(п — 2)) и заранее вычисленных (о.(п — 1), о.(п — 2)) величин.
Следует заметить, что введение элемента запаздыв .- ния вносит дополнительную погрешность в цнфров)ю модель. Однако прн достаточно малом шаге дискретизации влияние этой погрешности практически незначительно. При А(†0 эквивалентная дискретная система с элементом задержки (рис. 3.8,в) так же, как и эквивалентная дискретная система без элемента задержки (рис. 3.8,б), совпадает с исходной непрерывной системой (рис. 3.8,а). В настоящее время не представляется возможным дать некоторые единые рекомендации для выбора шага дискретизации Ы, при котором можно пренебречь влиянием элемента запаздывания на величину погрешности моделирования.
Это обусловлено как большим разнообразием нелинейных систем, так и недостаточной изученностью рассматриваемого вопроса, Опыт моделирования 222 замкнутых нелинейных систем радиоавтоматики (следящих координаторов), содержащих один нелинейный элемент'с характеристикой нелинейности в виде днскриминаци)энной кривой, показал, что влияние элемента запазд(явания практически -не ощущается при А((;Тс(10, где Т,— постоянная времени замкнутой следящей систе- а) Рио З.а. б) мы в линейном' режиме (см.
$ 4.3). Это соотношение, по;видимому, можно использовать для ориентировочного выбора шага дискретизации н при моделировании других замкнутых нелинейных систем. Увеличения точности при заданном шаге дискретизации в системе с элементом задержки можно достичь, используя метод фирмы !ВМ, основанный на сочетании метода корневых годографов с методом з-преобразования или же метод квазилинеаризации.
Примеры применения этих методов даны в (1091. 5. Моделирование инерционных нелинейных нефункциональных систем Моделирование на ЦВМ нелинейных систем 1Ч класса в общем случае может быть осуществлено с помощью стандартных алгоритмов численного интегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений, таких, как метод Рунге — Кутта, метод Адамса и др. Метод Рунге — Кутта является одним из наиболее известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений.
Приведем наиболее распространенную фор- 223 мулировку этого метода (метод Рунге — Кутта четвертого порядка). Пусть задана система нелинейных дифференциальных уравнений ~первого ~порядка (3.109) — *=/(1, х). где х(1) — )1)-мерный вектор (вектор-функция). Значения неизвестной вектор-функции х(1) в дискретных точках г =пЫ по методу Рунге — Кутта вычисляются рекуррентно: х [п] = х [и — Ц + — (а, [п — Ц+ 2а, [и — 2] + + 2а, [п — Ц + а, [и — Ц), (3.! 1О) где х [и] = х (иЫ); а, [и] = Щ(пй), х [и]); а,[п]=аг/(пог+йг/2, х [п]+а, [и]/2), а, [и] = Ь1/(пот+ лй/2, х [и] + а, [и]/2), а [и]=Ь1/,(п)з(+л(, х[и]+а, [и]), Если нелинейная динамическая система описывается одним или несколькими дифференциальными уравнениями порядка выше первого, то для использования алгоритма (3.110) требуется свести уравнения высших порядков к системе (3.109) уравнений первого порядки, Такое преобразование, как известно [3], всегда, возможно и осуществляется достаточно просто.
Дискретная аппроксимация по методу Рунге †Кут применима, конечно, и для систем П и 1П классов, а также для линейных систем. Однако этот метод,квк и другие стандартные методы численного интегрирования,при той же точности по объему вычислений обычно менее эффективен, чем рассмотренные выше методы цифрового моделирования [109]; к тому же стандартные методы не обладают той физической наглядностью, какую имеют методы дискретной аппроксимации по принципу замены непрерывных систем дискретными системами. 224 3.6.Моделирование типовых нелинейных преобразований сигналов и помех в радиосистемах Типовыми нелинейными операциями в радиосистемах являются операции модуляции, преобразования частоты (в том числе и умножения частоты) и демодуляции (де« тектироваиия).
Для физического осуществления этих операций используются, как известно, различные нелинейные управляемые элементы совместно с фильтрами. Одним из,принципов моделирования на ЦВМ нелинейных систем, осуществляющих указанные операции, с целью получения алгоритмов преобразования сигналов н помех в этих системах является, воспроизведение на ЦВМ нелинейных уравнений, описывающих динамику рассматриваемых систем.
При этом в зависимости от обстоятельств конкретной задачи могут быть использованы те или иные ранее описанные общие методы моделирования нелинейных систем. В связи с тем, что задача разработки моделирующих алгоритмов по такому принципу ближе примыкает к вопросам математического обеспечения при использовании цифровых вычислительных машин для анализа нелинейных цепей, 'мы не будем останавливаться на подробностях ее решения. Рассмотрим моделирование на ЦВМ типовых нелинейных преобразований радиосигналов и радиопомех, основанное на функциональном принципе.
1. Модуляция Операцян модуляции вход. в математич .ие модели радио сигналов и радиопомех. Поэтому воспроизведение на ЦВг~ь операций модуляции осуществляется, а сущности, при реализации цифровых моделей радиосигналов и ~радиопомех.:($ '1.1). 2. Преобразование частоты Назначением операций преобразования частоты является неискаженный перенос спектра сигнала с одной средней частсты ер (несущей) на другую среднюю частоту аар (промежуточную).
С функциональнпй точки зрения такое преобразование, очевидно, сводится просто и замене в математической модели сигнала с частотой ыр сигналом с частотой ы р. П~ри описании радиосистем по методу огибающих зта замена эквивалентна тождественному препбразованню. Если требуется с цомощью ЦВМ исследовать более детальные изменения в сигналах, происходящие в кониретной схеме препбразо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
