Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Случайный процесс с показательным распределением Одномерная функция плотности этого процесса, среднее значение н дисперсия соответственно равны 1 *о гп (у) = —,е, тн — 2ао, а'= 4а', (2.99) где оо — параметр распределения. Показательный процесс можно рассматривать как квадрат релеевского случайного процесса (квадрат огибающий узкополосного нормального шума).
В связи с этим показательный процесс можно представить как сумму квадратов двух одинаковых независимых стационарных нормальных случайных процессов с параметрами (О, оа): Е (Р) =Е', (1) +Е,' (Р). Корреляционная функция ]Е (т) нецентрированного показательного случайного процесса выражается через 122 нормированную корреляционную функцию го(.г) процессов Ез(1) и Еа(1) в виде [50, 80]: ]Р() — 44[1 ] ()[ — 4~~ [1 [ з()] где г(т) — коэффициент корреляции центрированного показательного процесса. Отсюда г, (с) = р г (е).
(2.100) Равенство (2.100) в отличие от равенства (2.96) является точным. Таким образом, можно использовать следующий способ моделирования показательного случайного процесса Е(1) с одномерной функцией плотности (2.99) и заданной нормированной корреляционной функцией г(т), По известным правилам на ЦВМ формируются дискретные реализации Ял) и Ез[л] нормальных случайных процессов с коэффициентом корреляции го(с) =1'г(ч), а нз них по формуле 1[и]=Ез [л]+Е [л] образуются реализации требуемого показательного случайного процесса. Так, например, если корреляционная функция показательного случайного процесса экспоненциальная вида (2.97), то алгоритм для выработки последовательностей Цл) и Ез[л] будет таким же, как и в рассмотренном выше примере моделирования релеевского случайного процесса [выражение (2.98)).
Заметим, что аналогичным путем, суммируя несколько (более двух) квадратов нормальных случайных процессов, можно моделировать случайные процессы с законом распределения уа (см. $ !.4, п. 4), 4. Логарифмически-иормальиый случайный процесс Одномерная плотность вероятностей, среднее значение и дисперсия логарифмически-нормального случайного процесса имеют вид !оа у 1 зво гп (у) = е, тн ='уге а„ 'г' 2яаау а =е(е — 1) о', где па†параметр распределения. 12З Логарифмически-нормальный случайный процесс часто используется в качестве модели атмосферных и индустриальных помех (4]. Данный случайный процесс можно рассматривать как нелинейное безынерционное преобразование стационарного нормального случайного процесса с параметрами (О, ео) зве- 2 ном с характеристикой нелинейности у=!(х) =е".
Вдальнейшем, не нарушая общности, положим оо=!. Для получения зависимости )т=ор(го) подставим функцию !(х) =е" в двойной интеграл (2.87). В данном случае функция 1(х) такова, что интеграл (2.87) удается выразить в конечном виде. Последнее легко сделать, так как интегрирование по переменным х, и хо сводится к вычислению табличных интегралов вида (25] ОО о1 — р'х' оо ( ОГО ор* Р В результате получим ОО )т (г,) =е"'"', г(г,) = —,' (2.!О1) Отсюда го=1п(1+ (е — 1) г], Таким образом, для моделирования стационарного логарифмически-нормального случайного процесса с коэффициентом корреляции г(т) нужно сформировать нормальный стационарный случайный процесс с коэффициентом корреляции го(т) =!п(1+ (е — !)г(т)], (2. 102) а затем пропустить его через нелинейный элемент с экспоненциальной характеристикой у=е'. Оценим, к каким корреляционным искажениям приводит замена требуемого коэффициента корреляции г,(т), определяемого формулой (2.!02), коэффициентом корреляции г(т) моделируемого процесса.
Величина ошибки согласно (2.101) равна е'о 1 Ьг(г,)=г,— —,' График функции Ьг(г,) показан на рис. 2.8, нз которого видно, что максимальная ошибка составляет 20о/о при г,= — — = — 0,37. Если возможные значения коэффици- 1 е ента корреляции лежат в интервале ( — 0,2; 1), то ошибка не превышает 10%.
Как видно, в этом случае корреля- Рнс. 2.В. ционные искажения довольно большие, поэтому чаще приходится пользоваться точным выражением для коэффициента корреляции исходного процесса. 5. Случайный процесс с одномерным распределением по закону арксннуса Рассмотрим случайный процесс В(!) в виде следующего преобразования нормального стационарного случайного процесса $о(1) с параметрами (О, 1): (2.108) ~(1) =з'и (ео о(1)] где оо — некоторая константа.
В данном случае нелинейное преобразование у= =!(х) =з!и аох немонотонное и является периодической функцией. Если функцию !'(х) =з!и по х подставить в фор* мулу (2.87) и при интегрировании по переменным х, и хо воспользоваться табличным интегралом (25] Е Ренэ!П[д(Х+2)]дХ= ОО ОО оз = ~ е " '" "' в!пдхЫх= — 6 ~ Вй1дА, Р 126 Согласно (2.104) коэффициент корреляции случайного процесса В(1) связан с коэффициентом корреляции исходного процесса со(1) соотношением 2 т(т)= — '= э (т) тьв т, '" 'о Отсюда т, (т) = — агсз!1 ](зй а' ) г], 'о (2.! 05) Рассмотрим теперь преобразование законов распределения. В общем случае закон распределения процесса $(1) как закон распределения периодической функции у= =яп оюх от нормально распределенной случайной веа личины х выражается сложным образом через за он р спределения аргумента.
Однако при достаточно больк шом параметре оо распределение нормальной случайной величины Х=оох, приведенное к интервалу периодичности функции у=з!пХ, т. е. к интервалу ( — тт, л), как показано в [51], будет весьма близким к равномерному на интервале периодичности. Тогда распределение случайной величины у=яп одах будет подчинено закону арксинуса: ~(У) = т1,, ]У!~1. (2 106) Для этого вполне достаточно взять параметр о,=2л, что приводит к погрешности а равномерном законе всего лишь порядка 1О-а (51].
Случайные процессы с распределением (2.106) могут иметь место на выходе схем с фазовым детектором. Таким образом, для моделирования стационарного случайного процесса с коэффициентом корреляции г(т) и законом распределения арксинуса (2.106) нужно 126 то для функции )с = 9 (г,) нетрудно получить следующее выражение! о 9 (т,) = е з11 ар г,. (2.104) сформировать стационарный нормальный случайный процесс с коэффициентом корреляции г,(,) — ! агсзй]г(т)зйа'-], 'о а затем пропустить нормальный процесс через нелинейный элемент с синусоидальной характеристикой у= =а!п о;х, положив, например, тто=2л.
Если допустима меньшая точность воспроизведения закона распределения, то параметр оо можно уменьшить. Удовлетворительная точность получается при ор=л. Заметим, что нелинейное преобразование (2.103) при ао>! вносит большие корреляционные искажения (зависимость (2.105) явно нелинейная], поэтому при моделировании исходный нормальный случайный процесс та(1) нужно брать с корреляционной функцией, определяемой точным выражением (формула (2.105)].
2.9. Моделирование многомерных стационарных нормальных случайных процессов Многомерный стационарный случайный процесс определяется как совокупность )т' стационарных и стационарно связанных между собой случайных процессов Вь(1), А=!, М. Такой процесс принято обозначать в виде случайного аектора-столбца, зависящего от времени: Ц 2 (1) Ц = Ц 2ь (1) Ц Многомерные случайные процессы используются при описании многомерных (многоканальных) систем. В настоящем параграфе рассматривается задача цифрового моделирования нормальных многомерных стационарных случайных процессов.
Результатом решения этой задачи, как и в одномерном случае, является алгоритм, позволяющий формировать на ЦВМ многомерные дискретные реализации заданного процесса. Ф-мерный непрерывный нормальный стационарный случайный процесс Ц(4)Ц задается обычно либо в виде его корреляционной матрицы ]35, 70] Ц л И) Ц = Ц тты ( ) Ц 127 либо в виде спекп)ральной матрицы Цб(-) Ц=Цб„(-) Ц'=' ' А=1, У, где Йм(т) =М(ях(1) Ц(1)) — автокорреляционные (при к=1) и взаимно корреляционные (при А~=1) функции случайных процессов 5ь(1), а=1, Л'1 бм(н) — преобразование Фурье от )гм(т). При этом, поскольку Ры(т) = =Мм( — т), элементы бм(ы) и бм(оэ) спектральной матрицы комплексно-сопряженные, бм(ы) = б*м (ы) .
Дискретные многомерные нормальные случайные процессы задаются аналогично непрерывным с помощью корреляционных и спектральных матриц [35, 70[ Ц И[а) Ц = Ц кы[а[ Ц Ц Р(г) Ц = Ц Ры (г) Ц где Ры(г) =~йы[п)г", причем Рю(г)=рм(г '). Задачу цифрового моделирования многомерного нормального случайного процесса целесообразно сформулировать следующим образом. Задана корреляционная или спектральная матрица случайного процесса. Требуется отыскать алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций случайного процесса с заданными корреляционными (спектральными) свойствами. Для решения этой задачи воспользуемся, как и ранее, идеей формирующего линейного фильтра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
