Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 14
Текст из файла (страница 14)
899) х, Р+ (г) = Я„, (г е *), г =- "1, (2.59) (! — ге *) "+' (2.58) о Переменная г в наших обозначениях ~равна е е в обозначениях 1881. 84 (г) = (( — ге ') где Я„(г) — многочлены степени г. Первые пять многочленов имеют вид ([85], стр. 159): (ее (г) (')х (г) = 1+ г> Яя(г) = 1+ 4г+г', (2.60) (зз(г) 1+ 11г+!1г +г Я, (г) = 1+ 26г+ 66г'+ 26г'+ г'. Остальные Я„(г) можно найти, вычисляя специальный определитель или дифференцируя соответствующую производящую функцию (85]. Найдя изображения Р'" (г) и просуммировав их по г и з, по формуле (2.56) получим спектральную плотность Р(г) в виде (2.52).
Наибольшие трудности встречаются на этапе факторизации. Факторизация спектральной функции Р(г) дискретного случайного процесса, так же как и факторизация спектральной функции (х(оз) непрерывного процесса (8 2.2.), связана с нахождением корней полиномов, стоящих в числителе и знаменателе спектральной функции Р(г), и вытекает из следующей теоремы о разложении дробно-рациональных неотрицательных функций [ЗО, 70]: всякая неотрицательная рациональная относительно г= е '" функция А~ (г) А'о+ А'|я+ ...+А'рг Р(г) В'(г) В, ( В',г-(-... +В'~,гм н СП(г — о„) (2.61) П ( — '.) й.=! может быть представлена в виде П ( — ой) й=! ( ) ~А,+А,г+ ... +АФ ~' С П(г- ) ййо а П( -'- *.) й †! П ( — и.) .4(') 4' ', (2.62) В(г) вВ(г ') ' С й= П П( -' — '.) йем (г — ш„) где С' и С вЂ” некоторые константы; при этом корни ой— те из корней о'й в (2.61), которые по модулю больше единицы, и половина тех корней о'ь которые по модулю равны единице, корни пзй — те из корней пз'и, которые по модулю больше единицы.
Из теоремы следует, что для осуществления факторизации нужно найти корни о'й числителя А'(г) и пз'й знаменателя В'(г) спектральной функции Р(г); выбрать 88 из иих корин, модуль которых больше или равен единице, и взять их в качестве корней числителя и знамена.
теля искомой передаточной функции К.(г). Тогда П ( — а.) Кв (г) =,/С '.=' П(- .) а=! Множитель С выбирается из условия П( — ") а»п = — =г (~). А' (2) В' (г) о« п( --,) )7[и]=а'е г !" 1сокуи, где т„=в 51, у,=в,аг. В дальнейшем, не нарушая общности рассуждений, положим и'=1, тогда )х[0]=1. Запишем функцию 74[а] для п)0 в комплексной форме: 77 [п[ = 2 е"'" + 2 е'""* й«,о = — т, ~]т,.
(2.64) Практически при использовании одностороннего г-преобразования приходится определять лишь корни числителя, так как общий знаменатель в сумме (2.56) автоматически оказывается разложенным в произведение В(г)В(г-'). Рассмотрим порядок проведения подготовительной работы на конкретных примерах. Пример 1. Пусть требуется найти дискретную передаточную функцию формирующего фильтра для цифрового моделирования стационарного случайного процесса с рациональным спектром, коррелициоиная функция которого имеет вид )7(т) = аае "'!'созвот.
(2.63) Корреляционная функция соответствующего дискретного процесса равна Отсюда 1 Р СОЗ т»2 — Г». (2.65) ! — 2рсозуаг -]- р*г« ! Р Саэ тог 1 — 2Р соз т«2-'+ Р'2 После приведения к общему знаменателю и приведения подоб- вых членов получим — г- ' [(1 — р') р сох т. — (1- р») г + (1 — 2рсозтог+рога) (! — 2рсозт,г-'+ + (1 — р') р сову,г'] — 2-' (Аа+ А«2+ Аог') « [ 1+ В,г+ В,г' Р +р'г ') где А, = (1 — Р') Р соз уа, А, = — (1 — Р ), В, = — 2Р соз то Ва = Ро. Знаменатель В(2) представляет собой произпсдение двух сомножителей требуемой формы, т.
е, в факторизации знаменателя нет надобности. Это всегда будет иметь место при использовании такой последовательности подготовительной рабаты. Для факторизации числителя найдем его корни: — А, + ]ГА~! — 4А2 2А о + — — 1= / 2 =по+ М аа — ! (2,66) 2Р сох т~ СЬ Уа Следовательно, спектральная функция г" (г) в соответствии с (2.56) имеет аид ! — Р СОЗ таг 1 — 2р сох 1,2+ р'2' 86 Изображения г+ (2) согласно (2.58) — (2.60) равны !юх,. ! геа (2) = 2 7 ~ ' 2" = , = 1,2. 2(1 ге «) В данном слУчае ввидУ симмстРни УРавнениа А,ЬЛ«а+Лаго=о анализ корней для уяснения величины нх модуля не требуется, и в качестве корня ао окончательного выражения вида (2,62) можно брать любой из корней а'ол. В этом можно убедиться, подставив в уравнение — 2 ' (Аа + А«г + Ааг') = С (2 — о,) (г - ' — о«) (2 67) 87 вместо ое значения корней иа (2.66).
Действительно, уравнение (2.67) обращается в тождество прн А, С= —. о ел 8 [п) = а,х [и) + а,х [п — Ц вЂ” Ьей [и — Ц вЂ” Ьай [и — 2) а, = — УС н'е,а — — — УАао'еа) а, = УС' = УАае'о е,а ! Ье — — Ве = — 2Р соа та! Ьа = Ва = Р ° где Аа — — (1 — Р') Рсоз7,=2е " яйт,саят,; 1+ р' сну„ о'е,а="а+ у оо — 1 ! оа — = — а' Р=е т'. 2Р соз та соз та ' Заметим, что квадрат модуля передаточной функции К.(г), очевидно, не изменится, а следовательно, ие изменится и корреляцион я функция формируемого процесса, если знаки перед коэффи.
а нциентами аа и ае изменить на обратные или же поменять коэффициенты аа и ае местами. П ример 2. Рассмотрим теперь случайный процесс й(Ц с экспо. ненциальной корреляционной функпией: ЕР(т)=е "'1'1, )7[п)=е т'!" 1. (2.68) Эта коррелицнонная функция является частным видом корреляционной функции (264) при таыО. 'Положив в формуле (2.65) та=0, получим г"е (г) = 1 — рг 1 1 — 2рг+ р'г' ! — Рг Отсюда согласно (2.66) легко накодим функцию спектральной плотности дискретного процесса 8[п)е ! Ра г (г) = (1 — рг) (1 — рг- ') Следовательно, дискрегееая передаточная функция и рекурренгный алгоритм для цифрового моделирования случайного процесса с экспонснциалнно корреляционной функцией (2.68) имеют вид К ()= а (2.70) $ [ее) = У1 — Р' х [п) + рс [п — Ц, р = е Таким образом, дискретная передаточная функции формирующего фильтра и рекуррентный алгоритм для моделирования случайного процесса с корреляционной функцией 17[и) = е ™ спят,п имеют соответственно внд аа+а,г 1+ь, +ь, Из приведенного примера моделирования случайиого процесса с экспоненциально-косинусной корреляционной функцией (корреляционная функция второго порядка) видно, что подготовительная работа для получения пара.
метров рекуррентного алгоритма является довольно громоздкой. С увеличением порядка корреляционной функции объем вычислений еще более возрастает. Поэтому для моделирования случайных процессов с рациональным спектром подготовительную работу для распространенных типов корреляционных функций целесообразно проделать заранее [161 Этот вопрос будет рассмотрен в 5 2.6, 2. Получение параметров рекуррентных алгоритмов методом дискретизации непрерывных формирующих фильтров Предположим, что известна импульсная переходная характеристика й(1) линейного непрерывного формирующего фильтра с постоянными сосредоточенными параметрами, на выходе которого образуется заданный случайный процесс $(й) при воздействии на входе белого шума хз(1) с корреляционной функцией (2.41).
Если функция [е(1) неизвестна, ее можно найти методом факторизации заданной рациональной спектральной функции се(ое) процесса й(1) (см. $2.2). Покажем, что при соответствуеощей дискретной аппроксимации процесса фильтрации белого шума непрерывным формирующим фильтром можно получить рекуррентные алгоритмы, не обладающие методической погре1пностью, для моделирования случайных процессов с рациональным спектром в отличие от приближенных алгоритмов скользящего суммирования, которые получались ранее при дискретизации формирующих фильтров. Поясним это на следующем примере. Пусть непрерывный случайный процесс й(1) есть реакция линейной системы с импульсной переходной характеристикой ВИда й (1) = С Е 'Е, Р Рь О, На ВОЗдЕйетВИЕ бЕЛОГО ШуМа хз(1) с единичной спектральной плотностью, т. е.
с корреляционной функцией (2.4!). Выразим процесс $(!) через 89 с Е(с+сс()=е ' ' С ]х (с) е "с' ' с~а-[- о с+ы +С ~ х,(~)е "с'сы лссй=е "ыЕ(1)+дЕ. (2,72) Случайные величины Е(1) и ЛЕ независимы между собой, так как они являются интегралами от белого шума по неФсе ле-е1 с ле Рис. 2.4. перекрывающимся промежуткам. Используя свойство дельта-коррелированности шума х, (1), нетрудно убедиться, что дисперсия случайной величины сзЕ равна с+ы ы а~~= ~ Ч(Г+М вЂ” а)й.— ~й'(Г)ссст= с о ы па о (2,73) 90 входной сигнал с помощью интеграла Дюамеля с с Е(с) =] х (с)Ь(1 — с)с1а=С]х (с) е "Сс МЫс. о о Значение процесса Е(1) в точке 8 +сзс равно с+ы Е(с+сас) =С ) хс(а) е "с'~ы м сХс.
(2.71) о Если разбить интервал интегрирования в формуле (2.71) на два смежных: (О, с) и (1+Лс) (рис. 2.4) и вынести при интегрировании в первом интервале множитель е то получим Из (2.72) и (2.73) получаем следующий рекуррентный алгоритм для формирования значений случайного процесса Е(1) в точках 1 =нсвт: Е [и] = е "" Е [и — 1] + ах [и]= = рЕ [и — 1]+ ]с' (С /2а) (1 — р') х [и], (2.74) где р = е '; х [и] — последовательность независимых случайных чисел с параметрами (О,!).
При С'=2а и а=ы, алгоритм (2.74) совпадает с алго- ритмом (2.70), полученным с использованием фактори- зации для случайного процесса с корреляционной функ- цией (2.68). Возможность вычисления интеграла свертки (2.71) в более экономичном рекуррентном виде (2.72) основана на том свойстве экспоненциальной весовой функции, что сдвиг экспоненты е " по времени на величину ас равносилен — аы, умножению ее на постоянный множитель р=е е — а Ссс.ы> — ы — ы =е е =ре (2.75) Зто объясняет природу рекуррентности. Действительно, при вычислении Е(1) входной сигнал х, (с) должен быть — а Сс — М проинтегрирован в интервале (0,1) с весом е [см.
— а Сс — М рис. 2.4, где показан график функции й(1 — а)=Се и условно показан шум х, (а)]. При переходе к вычислению Е (с + ас) требуется снова проинтегриоовать входной сигнал — а Сс — М х, (с) на интервале (О, 1), но уже с весом р е и до- бавить интеграл от х,(а) в пределах от 1 до 1+Ы с весом ре "' '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
