Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 13
Текст из файла (страница 13)
По ФоРмУлам бп39) и (240) при з=г1=К рг= — а. найдем импульсную переходную характеристику формирующего фильтра «(Г) = УС е "'г = У2о,е Отсюда в соответствии с (2.44) окончательно получим У2 аà —,«ш У2. — 7« |В рассматриваемом примере спектральная функция допускает простую факторизацию. Однако зто не всегда имеет место. При факторизации спектральных функций высокого порядка требуется находить корни полиномов степени выше второй, что в общем случае затруднительно и что ограничивает применение метода факторизации. 78 суммой с шагом М, получим алгоритм формирования дискретных реализаций процесса $(() в виде ( [и) = й (иМ) = Ы ~, 'Ь [Ь[ х, [и — Ь[=~ с„х [и — Ь[, (2 44) «=о «=о где Ь [Ь) = Ь (Ьгхг) — дискретные значения импульсной переходной характеристики формирующего фильтра; с« = = Ь(ц,Ь [Ь[ = )ГЫ Ь [Ь[; х [и) — независимые нормальные случайные числа с параметрами (0,1).
Алгоритм (2.44) является алгоритмом скользящего суммирования с весовой функцией, равной (с точностью до множителя) дискретным значениям импульсной псреходной характеристики Ь(() |формирующего фильтра, определяемой ~формулой (2.39). При использовании алгоритма (2,44) бесконечная сумма практически заменяется конечной. 4. Некоторые специальные способы получения весовых коэффициентов В некоторых задачах нри моделировании нормального случайного процесса $(Г) бывает известна не только его корреляционная функция и энергетический спектр, ио и то, что этот процесс является результатом воздействия белого шума на линейную систему с заданной передаточной функцией К(р) (не обязательно дробно-рациональной) и импульсной переходной характеристикой й(Г).
При моделировании данную линейную сне~ему целесообразно использо. вать как формирующий фильтр. Подвергнув процесс фильтрации белого шума дискретизации (используя прн этом заданную импульсную переходную характеристику фильтра), получим аналогично тому, как было сделано в п. 3 этого параграфа, алгоритм скользящего суммирования для моделирования случайного процесса В(Г). В этом алгоритме весовые коэффициенты с« будут совпадать с точностью до постоянного множителя с дискретной импульсной переходной характеристикой фильтра Ь)й)=Ь(ЙЛГ) (формула (2А4)!.
В рассматриваемом случае подготовительная работа очень простая. Рассмотренные выше методы получения весовых коэффициентов требуют более сложной подготовительной работы, так как в пих предполагается, что характеристики формирующего фильтра заранее неизвестны и должны быть определены тем или иным путем. В заключение этого параграфа укажем на один пример стационарного случайного процесса, для моделирования которого с помощью скользящей суммы можно получить необходимую весовую функцию сь, не прибегая к универсальным методам.
Пусть с«=с, тогда согласно '(2.9) ()т' — ! л !) с', ! л ! ~ М вЂ” 1. (л! О ° ! л ! > йг — ! Это соответствует треугольной корреляционной функции вида ! (3 )7 (т) = ( т«!' ! ! " (2 46) (о )ч! тз когда отношение (2,47) являетсп целым числом, Это открывает следующий простой путь отыскания весовой фуккции формирующего фильтра для моделирования случайного процесса с треугольной корреляционной функцией вида (2Аб): выбрав отношение хейг целым, по (2.47) находим )т'; значения сь си берем одинаковым и равными Алгоритм формирования случайного процесса с треуголвной корреляционной функцией сводится к скользящему равновесному сум- тч мированню ортанормированной последовательности случайных чисел по формуле (2.48) Отметим, что в зтам случае прн моделировании нормального случайного процесса исходная последовательность х[л] может иметь равномерное распределение, так как при суммировании йг равномерно распределенных случайных чисел с адинаковычи параметрами закон распределения суммы будет близок к нормальному уже при У=3.
Так, например, если последовательность Х[л] имеет равномерное распределение в интервале (О, 1) (случайные числа нз датчика), то для моделирования нормального случайного процесса с треугольным законом корреляции можно воспользоваться алгарит. мам л ] $ [ и ] е ~ / й Г ~ ~ Х [ Л й ] 2 Л ) 3 а=а Этот алгоритм не требует нормализации исходной последовательности: формирование корреляционных связей и нормализация производятся одновременно. Приведенный пример указывает на то, что необходимую весовую функцию формируюцгега фильтра в некоторых случаях можно находить, подбирая такую дискретную функцию с[л], которая при свертке с собой, согласно (2.10) или (228), дает требуемую корреляционную функцию к[л].
2.3. Моделирование стационарных случайных процессов с помощью рекурреитных разностных уравнений Рекуррентные алгоритмы вида (2.2) пригодны только для моделирования случайных процессов с рациональным спектром. Применение рекуррентных уравнений наиболее эффективно, когда корреляционные функции моделируемых процессов имеют невысокий порядок, определяемый числом полюсов спектральной ~функции, так как в этих случаях моделирующие алгоритмы очень просты, не имеют методической погрешности и их параметры удается выразить в явном виде через параметры корреляционной функции. Отсутствие методической погрешности понимается здесь в том смысле, что дискретные реализации ьягт], полученные иа ЦВМ, и последовательности ьй(пай) выборочных значений процесса й(1) в точности совпадают при любом шаге гтй если пренебречь погрешностью 80 округления чисел в ЦВМ и считать исходные случайные числа х[п] строго независимыми и нормальными.
Рассмотрим два метода получения параметров рекуррентных алгоритмов по заднным корреляционной функции ]т(т) и энергетическому спектру 6(аз) моделируемого непрерывного процесса. 1. Получение параметров рекурреитных алгоритмов методом факторизации где (за многочлены относительно т [при кратных корнях гтз(]и)] Для вещественных процессов комплексной записи (2.36) соответствует вещественная форма записи г<(с) =Х [Аа'(с)созцас+Ва(ч)а[язв[ с[] е где Аг,(т) и Вь(г) — многочлены относительно т. Таков общий внд корреляционной функции случайных процессов с рациональным спектром.
Корреляционная функция соответствующих дискретных процессов й[п]=$(пгзй) в общем виде запишется ;, [п] — ~ (Аа [и] соз пап+ В, [и! зш ра [п[) е Ра("', (2.50) где Аь [и], Ва [п] — дискретные многочлены; пь = аавг, ра —— раог — безразмерные параметры. Для дискретного случайного процесса й[п] по аналогии с непрерывным случайным процессом й(1) вводится понятие спектральной плотности (энергетического спектра) в виде (см., например,[85]) з=е '", (2.51) Ф (ю) = ~„ В [и] е 1 " = ~ )т'[и] г"„ Я=СО 6 — 160 Пусть й(1) — непрерывный стационарный случайный процесс с рациональной спектральной плотностью (2.33). Можно показать [30], что корреляционная функция этого процесса имеет вид Я(с)=ХСае ", ха=па+]ра, рв".>О, (2А9) где м = г пг — безразмерная частота.
Спектральная функция Ф (м) дискретного случайного процесса согласно определению (2.51) является двусторонним дискретным преобазованием Лапласа от его корреляционной функции. одобно энергетическому спектру 6(а) непрерывного случайного процесса функция Ф(~о) неотрицательна. Эти две функции, как известно [85], связаны следующим соотношением: б(Ф(мЯ= ~ 6(а — 2а,п), а= — Ог где е, = к/Ы вЂ” частота дискретизации, Можно показать «30], что спектральная плотность Ф (г ) дискретного случайного процесса с корреляционной функцией вида (2.50) является рациональной функцией относительно я = е Ф (а) = (' 1 =, 1'1 =Р(г), (2.52) В/ (е-~ =1 в'(г) где А'(г) =А',+А',з+ ... +А'пг'; В'(г) =В' + В',г+ ... +В', г Для вещественных процессов все коэффициенты А'„А',„ В',, В', — вещественные числа.
Известно [85], что при воздействии дискретного белого нормированного шума х[п] на дискретный линейный фильтр с передаточной функцнеи на выходе фильтра будет дискретный случайный процесс со спектральной плотностью, равной квадрату модуля передаточной функции: Если А(г) и В(г) — полиномы, то спектральная функция (2.53) является рациональной, Сравнивая (2.53) 82 с (2.52), видим, что дискретный процесс 5[п], порождаемый непрерывным случайным процессом В(1) с рациональным спектром, можно получить, пропуская дискретный белый шум через дискретный линейный фильтр с рациональной передаточной функцией К.(г), удовлетворяющей условию ]К.(г) ]г=Р(г) или~ (2,54) Зная дробно-рациональную передаточную функцию К„(г), путем идентификации легко можно найти параметры рекуррентного алгоритма вида (2.2) для осуществления на ЦВМ дискретной фильтрации.
В этом и состоит суть рассматриваемого метода моделирования случайных процессов [77, 101]. Подготовительная работа здесь включает в себя три этапа. 1. Нахождение спектральной плотности Р(г) (если она неизвестна) моделируемого процесса Яп] по корреляционной функции Яи] с помощью двустороннего дискретного преобразования Лапласа (2.51). 2. Факторизация спектральной функции Р(г), т. е.
разбиение ее в соответствии с (2,53) на два сомножителя: 3. Преобразование передаточной функции К„(г) к виду (2.4): аг+ а,г+ ... + а,г' Ка(г)= 1-(-ь, -1-...-(-ь с целью получения параметров ах и Ьг моделирующего рекуррентного алгоритма вида (2.2). Последний этап сводится к простой нормировке путем деления числителя и знаменателя передаточной функции К„(г) на коэффициент при нулевой степени я в знаменателе. Более сложными являются первый и второй этапы. На первом этапе требуется привести к замкнутому виду бесконечную сумму (2.51). Для этого можно использовать таблицу изображений функций в смысле дискретного преобразования Лапласа.
Такие таблицы имеются, например, в «85]. Если таблицы содержат лишь в* 83 односторонние преобразования Лапласа, то для получения двухстороннего преобразования можно использовать соотношение Р (г) = Р+ (г) + Р+ (г ') — Я [О], (2,56) где Р+ (г) — ~ )'> [и] гв (2.57) я=о — одностороннее г-преобразование корреляционной функции. Для нахождения изображения Р(г) корреляционную функцию Яп], заданную в виде (2.50), в общем случае целесообразно представить в комплексной форме (2.49). Тогда ряд (2.51) разобьется на сумму рядов вида СО Р~ (г)=~ и" е * га, «=о изображение которых ([85]"), стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
