Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 8
Текст из файла (страница 8)
ь Заметим, что при разложении нормального случайного процесса в ряд (1.29) коэффициенты Рь и Уо будут нормальными случайными величинами. Рассматриваемый метод моделирования стационарных случайных процессов достаточно прост по своей подготовительной работе. После получения дисперсий <Р дискретные реализации случайного процесса при постоянном оиате дискретизации Ы=Т/)У 'формируются согласно алгоритму $(л) =~~~ Часов — +Раз!п —, и=1,М, (1.31) (=о где У» и У» — некоррелированные случайные числа с параметрами (О, о',). Разложение (1.29) можно, конечно, использовать и для получения дискретных реализаций процессов в не- равноотстоящих точках. Число слагаемых в формуле ('!.31) практически целесообразно выбирать нз условия 1 — — ~~'о (о, )1(о) Д~ о о=о где о — достаточно малая величина.
Это неравенство вырй жает тот факт, что сумма дисперсий о' должна быть равна дисперсии моделируемого процесса. При моделировании нормальных случайных процессов распределение коэффициентов р'д и Уь должно быть нормальным. В этих случаях иногда удобно представить алгоритм (1.31) в виде Г Ьи ч [и[ = 1~11 Ео сов ~ — + аз ), [, Л1 о=о где Еь — случайные коэффициенты с релеевским распределением (1.4), у которого параметр о равен аь! аь— случайные фазы гармоник, независимые от Еь н распределенные равномерно в интервале (О,'2п). Интересно заметить, что если в разложении (1.32) коэффициенты Еь выбрать неслучайными, т. е. положить $, [и[=~~~ Сьсоз( — +22) (1.33) о=о н выбрать значения Со из условия С =22, оставив фазы 2 2 случайными равномерно распределенными в интервале (О, 2л), то корреляционные функции процессов $[л[ н 31 [я[ будут одинаковыми.
Этот факт положен в основу метода моделирования, описанного в [1105[. Алгоритм (1.33) требует меньшего объема вычислений, чем алгоритмы (1.31) и (1.32), так как содержит в два раза меньше случайных коэффициентов, реализации которых необходимо формировать на ЦВМ при моделировании. Однако алгоритм (1.33) не позволяет, строго говоря, формировать реализации случайных процессов с нормальным распределением, хотя при большом числе слагаемых с приблизительно равными коэффициентами в силу центральной предельной теоремы закон распределения формируемого процесса будет 'близок к нормальному. Недостатком рассмотренного способа моделирования является необходимость учета большого числа слагаемых в формулах (1,31) — (!.33), когда интервал разложения Т во много раз превышает время корреляции тоор моделируемого процесса.
Последнее объясняется тем, что прн Т(тоор»1 ряд (!.29) сходится, вообще говоря, мед- 40 лепно и, следовательно, для получения приемлемой точности в сумме (1.29) приходится учитывать большое число слагаемых. Алгоритмы (1.31) — (1.33) включают в себя операции вычисления тригонометрических функций, для выполнения которых на БВМ используются стандартные программы, насчитывающие десятки элементарных операций.
Это также увеличивает объем вычислений и снижает эффективность алгоритмов,(1.31) — (1.33). Если память машины достаточна, то для сокрашения объема вычислений при многократном формировании реализаций случайных векторов значения тригонометрических функций в дискретных точках, однажды вычисленные, можно запомнить и использовать в готовом виде для дальнейших вычислений (см. 3!.2). Пои постоянном шаге дискоетизацни объем вычислений можно значительно уменьшить, если исключить многократные вычисления тригонометрических функций от аргументов вида —, и=!,М, используя рекуррентный алгоритм (1.3). Йол У При этом достаточно вычислить лишь значения тригонометоо рических функций при а=1, т. е. с,[Ц=соз —, и ьо зо]Ц= з1п — для всех й.
Коэффициенты со [Ц и зь[Ц, в свою очередь, можно также вычислять рекуррентно для й= =2,гп, зная с, [Ц =сов —, и з, [Ц =э!п —,. Использование рекуррентных 'формул (1.3) вместо прямого вычисления тригонометрических функций на каждом шаге сокращает количество элементарных операций для формирования реализации случайного процесса по алгоритмам (~1.31) †(1.33) па порядок и более в зависимости от того, сколько элементарных операций насчитывают программы вычисления тригонометрических функций. 1.7. Погрешность восстановления непрерывных сигналов по дискретным данным Прн выборе шага дискретизации непрерывных процессов, в частности сигналов и помех, необходимо оценить погрешность замены непрерывных процессов дис- 41 (1.34) "аФ и йу ИФ йтйй с г Рнс.
1.4. ~Щ -лт, ,аль Рис. 1ЗЬ (1.35) кретными. В настоящем параграфе рассматриваются вопросы оценки этой погрешности. Пусть непрерывный процесс и(1) изображается на ЦВМ в виде последовательности его значений и[я]= =са(вМ) в равноотстоящих точках 1„=вИ. Ясно, что дискретный процесс лишь приближенно изображает непрерывный процесс. Требуется найти количественную меру этого прт1ближения, т. е.
найти погрешность дискретизацию 'Величина погрешности дискретизации, очевид- ипд «уа/ О п а - с но, зависит от того, что понимается под погрешностью. Определение погрешности дискретизации зависит от той задачи, в которой используется дискретный процесс вместо непрерывного. 'При рассмотрении некоторой конкретной задачи погрешность дискретизации целесообразно определить как величину отклонения результата ее решения при использовании дискретного процесса от результата решения этой же задачи при использовании непрерывного процесса.
Поскольку задачи могут быть самыми разнообразными, то определить заранее, к чему может привести дискретизация, не представляется возможным. Поэтому обычно под погрешностью дискретизации процессов понимается та погрешность, с которой может быть восстановлен непрерывный процесс по его дискретным значениям, т.
е, понимается погрешность 'в задаче интерполяции непрерывного процесса по дискретным точкам. 'Восстановление непрерывного процесса м(1) по соответствующему ему дискретному процессу и(л] обычно мпжно представить как пропускание последовательности «мгновенных» импульсов (6-функций) с огибающей и(я] и периодом б) через линейный 'интерполирующий фильтр (ИФ) (воостанавливающий элемент) с некоторой 42 ймпульсной переходной характеристикой (интерполирующей функцией) йь(1). Этому соответствует схема восстановления, показанная на рис. 1.4. Она содержит ключ, замыкающийся в моменты времени 1„=лЛ1, и интерполирующнй фильтр ~(восстановление как процесс прерывания и сглаживания (49]). В результате восстановления образуется сигнал и, (1) = ~ и ]и] й, (1 — пд(). а==ос В соответствии с данной схемой осуществляется восстановление процессов прн наиболее распространенных видах интерполяции: ступенчатой несимметричной и симметричной (метод прямоугольников, рис.
1.5,а, б), линейной (метод трапеций, рис. 1.б,в) и др. Ошибку интерполяции Ли(1) = м(4) — и, (1) можно рассматривать как выходной сигнал схемы, представленной на рис. !.6, при воздействии на входе сигнз. ла и(1). Ниже найдены достаточно простые общие выражения для корреляционной функции, энергетического спектра и дисперсии ошибки Ли(4) в предположении, что и(1)— стационарный центрированный случайный процесс. Из общих соотношений в качестве примеров выведены частные соотношения, соответствующие наиболее распространенным типам ннтерполирующих фильтров. 43 Аналогичная задача, но иными методами, решалась в работах [18, 26, Зб, 72, 81[. Однако в них получены более сложные, а в ряде случаев лишь частные и приближенные решения.
Здесь предложен новый подход к рас- Рис. 1.6. сматриваемой задаче, позволяющий найти ее общее точное решение, отличающееся, кроме того, тем, что из него следует простое решение задачи оптимизации характеристик интерполирующих фильтров по критерию минимума среднеквадратической ошибки интерполяции. 1. Основные соотношения Ошибка интерполяции,Ли(1) при принятых условиях является нестацнонарным случайным процессом.
Корреляционная функция ~этой ошибки по определению равна сс (Г,а) =М(сси(с) Ьи(с+и)). (1.Зб) с)с (а) = — ~ Л„(1, с) сй. О (1.37) Выразим корреляционную функцию 17 (а) через корреляционную функцию )4(с) исходного случайного процесса, шаг дискретизации л1 и интерполирующую функцию йО(1). 44 На практике удобно пользоваться усредненной по аргументу 1 корреляционной функцией [83). В данном случае функция )4 ((,а) будет, очевидно, периодической по аргументу г' с периодом йГ, поэтому для получения усредненной корреляционной функции И,(с) достаточно усреднить )с (Г,с) в интервале (О,й(): Подставив в (1.37) выражения (1.34) — (1М) и учи.
тывая свойство линейности операции статистического усреднения, после простых преобразований получим 00 СО м Кл(т)=~()+ — „9', ~', К[в — т[~й.(1 — П )Х 1 в1 ис= — со л=-со О и хй,(г+ — тйг)уг- —,', Е ~к(г — Юй.(г+.— пзбг)а— а= — со О оо Ы 1 в-л — — ~ с)с (1+ а — ио)) й, (1 — иос) с)Г. (1.38) и= — со О Выражение (1.38) путем замены переменной интегрирования по формуле 1 — пЛ)=8, а переменной суммирования в двойной сумме по формуле и — т=) преобразуется к виду со оа 10+) )и )са (л) =1)'(с)+ 6) ~ Н [т[ ~ с[ й,(9) й~(9+ с— 00 )л+ ))0) — та() г)9 — 61 ~) ~ А'(9) й, (9+ с) д9— ! со 100))ас а) ~)1 ~ )((9+и)йа(9))(9. (1.39) и= — со ли Полученное выражение упрощается, если воспользоваться очевидным тождеством со )л.)-))Ы [(9)З9= ~Ц9)(9 и= — со от — со и обозначить операцию свертки двух функций 1,(1) и ),(г) следующим образом: (, ()) ~ ), (1) =- 1 ), (9) ), (1 — 9) З9 =- ~ ), (1 — 9) [, (9) (9, 45 а именно Я, (~) = !с (~)+ — ', '[~~~ /г [т] д, (~ — ай!)— — —,! )т'( ) ь л ( ) — 41 /г ( ) ~ й,( — ), (1.40) где й",(с)=ЙО(О) т.й,( — т).
При записи предпоследнего слагаемого в формуле (!.40) использовано свойство четности функции !т(т). Используя известные теоремы о нарах функций, сопряженных по Фурье (см., например, [22]), в частности равенство Пуассона, нетрудно найти общее выражение для энергетического спектра ошибки интерполяции, имеющей корреляционную функцию (!.39): 6, ( ) = ~ ЙО (с) Е !"'дт = 6 (в) + — ' Ф (в) ~ К, (!в) [ 1 1 6(в) КО (]в) с 6(в) Кс( — !в) = =6(в) [1 ОКО ()в)]+ — Ф(в)~К (!ОО) ~* (1 41) Положив в формуле (1.40) т=0, получим выражение для средней за период И дисперсии ошибки интерполяции сс = /г (О) = а'+ — ~~! ! /! [т] дО [т]— ОС вЂ” — ОС вЂ” — ~г(В) й,(В),!В, где дО[т]=дО(тд!); Ос=!г(0) — дисперсия исходного слу- чайного процесса, С другой стороны, СО СО О' = — ' ~6 (в) й = — ~(6(в) ~! — — !ссе К,(рО)1+ о о + —,', Ф(.НКО(] И ~ /в. (1А2) Относительная среднеквадпатическая ошибка интерполя- ции, определяемая как й, =О,/Ос, ИМЕЕТ ВИД ОО СО Ь',=1+ —, ~~)~~ г[т] дО[т] — = ~г(В)йО(В)сХВ, где 6(в) = ~ Й(с) е '"'ЫΠ— энергетический спектр исходного случайного процесса и(!); ОО СО Ф(в)= ~с~ ~Я[т]е '"""= д, ~~1~ ~6!в — 2тв,) — энергетический спектр дискретного случайного процесса и[и]; в, =Ос/дг — частота дискретизации; СО К, (]в) = ] й, (г) е имсзг — спектр интерполирующей функции йе(!) (частотная характеристика интерполирующего фильтра).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
