Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 12
Текст из файла (страница 12)
При ю,-+со Ьг -+ О, при р - со Ьг -~ О, так как з,„ (х) -+ з,(х). Следовательно, при увеличении значений ы, н р суммарная потреш. ность Ь' может быть сделана сколь угодно малой. Следует заметить, что погрешность Ь' строго равна нулю в случаях, когда спектр моделируемого процесса ограничен частотой ыы а разложение (2.18) содержит лишь конечное число членов, равное р.
Однако это специальные случаи, и обычно погрешность Ь' яе равна в точности нулю. для вычисления погрешности й' разложим функцию йзз (х) = =лог(х) — з~ г(х) в ряд Фурье иа интервале ( — 1,1) с коэффициентами разложенйя 1 Ьс [й] - — ~ йз (х) е-)а '(х.
2 ! 70 В силу четности функции Ьзз(х) коэффициенты йс(Ц буду! вещественными и равными 1 1 В! = 1 "'! ) - ~ - [ 4 ! )!г о ! 50 (х) соя йвх!(х с * [й] сэ [Ц ~ о где с', [й] — коэффициенты Фурье в разложении функции ~~(х) на интервале ( — 1,1), а с.[Ц вЂ” уже используемые ранее коэффициенты [формула (2.24)]. Согласно равенству Парсеваля среднее значение квадрата функции по некоторому промежутку равно сумме квадратов модулей коэффициентов разложения функции в ряд Фурье на этом промежутке, тогда можно записать Д = =,ЕДС [Ц = =,Е(с!. [Д] -с.[й!)з. г Учитывая, что с [й! =О при ]А]) 2р, окончательно получим гр Ос 1=Ь[ДО!с.м —.ич.~ 2) г'.в!г] ю7! -гр а=яр+! Пример 1. Пусть требуется имитировать на ЦВМ стационарный нормальный случайный пронеся, корреляционная функция и энергетический спектр которого имеют вид 6(еэ) = — е ~ ' ~ (2.29) эз й(с) =— !+ыгчз ' 71 Нетрудно найти абсолютную величину отклонения функции корреляции Я.[п]=Я.(пА1), получаемой прн двнном методе моделирования, от заданной функции корреляции )г[п]=!)г(дйг).
В самом деле, значения корреляционной функции Я,(п] совпадают со значениями коэффициентов с.[н], что следует из сравнения свертки с,[п! э~ с![а! [формула (2.25Ц с (2,!О). Поэтому й(7 [и] = )([и! — )7 ! ! =)7 [и] — [и!. (2 28) Вычисление свертки с.[п]=с![в! з[сс![л] сводится к перемножению матриц, аналогичных матрицам (2.11). Относительную ошибку формирования корреляционной функции определим в виде Ьг [и] Ьк [а]гй [О! = Ь)г [л]/эз. (2.30) ( 1))й),-мз сь [й] = 2лти з ] 1,/, (2.31) 3/2 се [й] = 2 7 2 + 41.124 (2.32) Таблица 2.1 9 10 о 0,022 О,ШО О, 019 О,ОО[ о,оао сл[л) и [л) л[л) а Л[л[ с',[л1 0,839 0,358 0,988 0,088 ),ВВ 0,882 0,012 0,000 0,990 0,889 О,ШО 0,342 0,349 О,ОО7 0,345 о,шз 0,192 О,!92 0,0[В О,Ю4 0,027 О,нз 0,118 0,080 о,!17 0,003 0,032 О,О29 О,ОЗ2 О,са О,ООО О.ОМ 9,021 0,025 0,021 9,028 О,ПП 0,024 О,ШО 9,032 О, 050 0,008 о,оа 9,034 0,042 Используя формулу (2.20) при произвольной пока м„получим 1 и 3 2 — — т)х)/2 34(х)= ~ 64(м,х)~ =е ргте гле Тогда с, [й] = е Ут ~ е ! "/2 соз йях1/х, Интеграл (2.30) является табличным [25].
После несложных преоб- разований получим При достаточно большой 01с уЪ! и выражение для са[й] упро- щается Вычислив по (2.31) или (2.32) весовую функцию са[й], можно сформировать методом скользящего суммирования последовательность 9[л] с требуемой корреляционной функцией. Величина погрешности метода будет зависеть при этом от выбора значений у н р.
Для примера выберем р=5, частоту юс будем отсчитывать на уровне 0,01 от максимума б(ю), что равносильно выбору 7=4,6. Значения с,'[и], )1[л], )7.[л] и Л/[[и], рассчитанные при выбранных р, у и 02=1 по формулам (231), (2,29), (225) и (228) соответственно, сведены в табл. 2.1. Из таблицы следует, что при выбранных р и у погре[нность формирования корреляционной функции составляет пескольно процентов, при этом в области чалых значений корреляции погрешность возрастает. 72 Для расчета отнссительной средисквадратической погрешности при а'=1 яайдем: 84 = ~ 34 (Х) 4/х = 72 ~ е ! НХ = — = 2,3; — 2 л 2 о о 2 73 Р Ь~= = 34(х)4)х=-= е ~1~4[х=е 21=10-4 Ь = 10эю 84 94 1 1 ! 1))л)е-1 с'л [и] = ~ 3 О (х) соз пяхг/х = 7', + о Значения с'.[л] при 7=4,6 для и=0,1, ..., 1О помещены в табл. 2,1.
Используя табличные значения с'.[л] и /4.[л]=с.[л], получим !о ~ (с', [и] — с [л])' = 8,5 1О -!о Величину второй суммы в формуле (2.27) оценим следующим об- разом 2 ~ (с', [и] Р = 274 2р+1 яр+1 Ое СО 2р+1 2р.!.1 2рч-1 11 2.4, 64 яч кч 1 — — — — 10,5 10-4. (90 ~ ] 1 Следовательно, погрешность за счет ограничения ряда се[а] согласно (2.27) оценивается величиной 8,5 !0-1+ !0,5 )О- ° 52 — — 2 3 — — -8,3 1О" .
Общая погрешность Ьз = йз+ 52 = 8 4 10-4, Л = О 09, Из расчетов видно, что величина относительной среднеквадратической погрешности А несколько больше величины относительной погрешности формирования корреляционной функции Ы[л], но имеет тот же порядок. Итак, описанный метод определения весовых коэф- фициентов приводит к приближенным формулам сколь- 3ян[его суммирования для моделирования стационарных 73 нормальных случайных процессов. При етом может быть достигнута сколь угодно высокая степень приближения.
Заканчивая рассмотрение этого метода моделирования, заметим, что в основу его положена идея формирующего фильтра, включающая трн момента: 1) пропускание !белого шума через линейный непрерывный фильтр; '2) подбор такой передаточной функции фильтра, которая обеспечивает энергетический спектр шума на выходе, равный энергетическому спектру моделируемого процесса; 3) дискретизация процессов с целью воспроизведения фильтрации на ЦВМ. Особенностыд при этом было то, что формирующий непрерывный фильтр отыскивался для простоты в классе физически неосуществимых линейных фильтров с четной импульсной переходной характеристикой. !При моделировании случайных процессов с рациональным спектром можно найти физически осуществимые непрерывные !формирующие фильтры, используя метод факторизации. 3. Получение весовых коэффициентов методом факторизации В рассматриваемых выше методах синтеза формирующих дискретных фильтров для моделирования случайных процессов путем скользящего суммирования не использовались специальные свойства кцрреля!ционных функций моделируемых случайных процессов.
На практике значительный интерес представляют стационарные случайные процессы, у которых корреляционные функции таковы, что преобразования Фурье от них являются рациональными функциями, т. е. ~11 (х) е !"' !1ь = ~' (е), (2.33) где 6!(а) и 6х(ы) — полиномы степени 1' и т'>1' соответственно. Это свойство позволяет синтезировать формирующие фильтры для моделирования случайных про. цессов данного класса другим по сравнению с описанными выше способом, основанным на следующих фактах. 74 Случайные процесеы с рациональной спектральной плотностью (2.33) наблюдаются, как известно, на выходе линейных систем с постоянными сосредоточенными параметрами при воздействии на входе белого шума. Передаточная хрункция К(]ьз) таких систем является дробно-рациональной!функцией вида К(] )= ',",',."„',.
(2.34) где К!(]в) и Кх(]ь!) — полиномы по ]в степени 1 и л!>1 соответственно. При воздействии белого шума с единичной спектральной плотностью на систему с передаточной функцией (2.34) на выходе системы будет случайный процесс с энергетическим спектром (2.35) Произведя в (2.35) умножение,,получим (2.33). При моделировании случайных процессов с рациональным спектром фильтр с передаточной функцией (2.34) целесообразно взять в качестве формирующего, но для этого нужно, зная дробно-рациональную спектральную функцию (2.33), найти передаточную функцию (2.34) формирующего фильтра. Последнее можно сделать путем факторизации спектральной функции 6(е), т.
е. разложении ее на множители вида 6(ы) а' Дв) К' 0и) к' ( )и) . (2 36) 0 ( ) К*0 й) К1( — )е) Множитель К!'(]ы)/К,(]ь!) в формуле (2.36) и будет передаточной функцией К(]в) формирую!цего фильтра (см. (2.33) и!:(2.35)]. Порядок проведения факторизации следует из теоремы о разложении неотрицательных дробно-рациональных функций на множители [30, 70]: всякая неотрица.- тельная дробно-рациональная относительно ы функция и П( — «) '(") =С' ь=,' (2.37) 0 (<!) и!' Ц (и — и'и) ь=! 75 может быть представлена в виде где р, — полюсы передаточной функции (2.33) (кории знаменателя) кратности г каждый (г! + г, + ...
+ г, = гп); =С С,(м) П (оч — оччгч) о=! где С' и С вЂ” некоторые константы; о!!о и !ото =те из корней ог'!о и о!'ы в первоначальном представлении дробно- рациональной функции (2,37), которые лежат в верхней полуплоскости. Согласно этой теореме для нахождения передаточной функции непрерывного формирующего фильтра методом факторизации нужно найти корни ог'!о и огоо числителя 6! (гл) и знаменателя 6з(о!) соответственно заданной дробно-рациональной спектральной функции (2.33); выбрать из них корни оо!о и ыы, лежащие в верхней полу- плоскости (корни с положительной мнимой частью), и записать искомую передаточную функцию в виде П() — 1 .) П(Р— Р ) К(1 )=УС =„~С '=.' =К(п), П(1 — 1 -) П (Р— Р.) о=! о=! (2.38) Р,з — ) мчю 7!ь — )мчю При этом множитель С должен выбираться из условия )К()го) (о=6(о!). 8 ч г — ! й (() — ~ ~)~~ С вЂ”, е'ч Р=О (2.39) После тото как найдена .передаточная функция непрерывного фильтра, нетрудно получить весовые коэффициенты в:формуле сколызящето суммирования.
В самом деле, импульсная переходная характеристика 'формирующего фильтра согласно известной теореме разложения (41) имеет вид гч !ч ! С„=..., „, [К()э)(р — р„) "] ~ . (2.40) Р' 1 Р=Рч Пусть на входе фильтра с импульсной переходной характеристикой (2.39) воздействует непрерывный белый шум с единичной спектральной плотностью, т. е. с корреляционной!фуикциен Й,(т) =Ь(т). (2.41) о(() = ~Ь (т) х (г — т) о(т.' о (2 42) Шум х, (З) с корреляционной функцией (2А!1) имеет бесконечную дисперсию.
Это создает неудобства при дискретизации уравнения,(2.42). Для упрощения, так же как это было сделано в п. 2 данного параграфа, заменим белый шум х„(о) с неограниченньгм спектром белым нормальным шумом хо(!) с ограниченным частотой е, спектром и выберем частоту ы, так, чтобы в полосе ( — го„о!,) находилась згодавляющая часть мощности процесса 5((). Тогда процесс $(!) с достаточной точностью можно представить в виде й (() = ~ й (т) х, (( — т) дт, о (2,43) где нормальный шум х, (г) имеет конечную дисперсию, равную Очч о = — (площадь прямоугольника с основанием 2оч, и единичной высотой, поделенная на 2я), и некоррелированные в точках г„=- лог = и — значения.
Заменяя теперь интеграл (2.43) чоч Тогда случайный процесс 5(() на выходе фильтра 'будет иметь заданный энергетический спектр 6(го). Для получения алгоритма формирования дискретных реализаций этого процесса запишем'процесс !фильтрации белого шума в виде интеграла Дюамеля Пример 2. Найдем весовую функцию для моделирования случайного процесса с корреляционной функцией и энергетическим спектром вида к()= -" ", (2.45) 2м, 6(ы) =— Корни знаменателя спектральной функции 6(м) равны ыьз )го Передаточная функция формнрующгео фильтра согласно (2.33) имеет вид ! К(р) =-~ С р+ Юч Нз условия )К()м) («=6 (м) следУет УС = Узмь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
