Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 7
Текст из файла (страница 7)
У ниче Моделирование случайного процесса, заданного ка ноческим разложением, осуществляется довольно просто: в процессе формирования дискретных реализаций Е(п) (в процессе выработки координат случайного вектора) они вычисляются по формуле (1.21) непосредственно. При этом в качестве У» используются выборочные значения некоррелированных случайных величин с параметрами ~(0, оь).
Бесконечный ряд (~1.21) при вычислениях приближенно заменяется усеченным конечным "яд П р ом. одготовительная работа при моделировании случайных векторов методом канонических разложений заключается в выборе системы координатных функций и в нахождении дисперсий а, т. е. в осуществлении непосредственно канонического разложения. Часто в качестве координатных функций выбирают систему ортонормированных функций, т. е. функций, удовлетворяющих условию ~ Рп() рта(1)«1=8ню= (О, пф и. Разложение случайного процесса в ряд с некоррелированными коэффициентами по ортонормированной системе функций всегда может быть произведено (теорема Карунена — Лоева), При этом дисперсии находятся как собственные значения, а функции !рь(1) — как собственные функции интегрального уравнения (28, 68) ( )~ (1,1') ~ (1 ) р(1') ж =2р (1), (1.28) !т! где Т вЂ” интервал разложения (в том числе и Т=аа); р(1') — произвольная неотрицательная функция веса.
мощью 1.23, б, их К сожалению, разложение (1.21), получен ( . ), ольшс применяется при теоретических з — !зо 33 (1.25) с корреляционной матрицей й(т) = Х,укра (г), а=! (1.24) (1.26) Зв 34 исследованиях, а практическое использование его затруднено, так как не существует достаточно простого общего способа решения интегральных уравнений вида (1.23). Сравнительно несложное решение можно получить лишь в некоторых специальных случаях, например для стационарных случайных процессов с рациональной спектральной плотностью. Существуют приближенные способы получения канонических разложений случайных процессов. Среди них наиболее удобным для моделирования случайных векторов и случайных процессов является способ канонического разложения случайных функций в дискретном ряде точек, предложенный В.
С. Пугачевым. Описание этого способа и порядок его практического использования дается в (68, ~ 58, 591 Мы приведем здесьлишьокончательный алгоритм вычисления дисперсий о некоррелиро- 2 ванных случайных коэффициентов )гь и координатных функций грв(1) в разложении (1.21). Пусть задан случайный процесс й(1) с корреляционной функцией их((, (') и пусть на временной осн задана последовательность точек г„, и= 1, Ж, (не обязательно равностоящих) . Требуется аппроксимировать случайный процесс $(() случайным процессом «*(1), представленным в виде разложения (1.21) и таким, что его корреляционная функция Яч((„!') совпадает с Р(г, г') в заданных дискретных точках, т. е.
Я" (1„,(' )=К((„,Р ),и=1,й,т=),)У. Такому условию, как показано в (68), удовлетворяет каноническое разложение с конечным числом слагаемых, равным числу дискретных точек У: причем дисперсии коэффициентов и координатные функ- ции в разложении (1.24) могут быть найдены по следую- щим рекуррецтным формулам: о, =)хз(г„(г,), гр,(г) = — (хг(г,г',), в оа =Я ((к, (гв) ~; о~,Р, ((в), й =2,,Ч, г=! а — ! г„!!1= — ', [!х(сг,! — )зггс!Чв(Ы1, !=за. а г=! Существенным достоинством данного способа является то, что он позволяет получить каноническое разложение с помощью обычных алгебраических операций, не прибегая к решению интегральных уравнений, и особенно удобен при небольшом числе дискретных точек.
При большом числе дискретных точек данный способ требует довольно громоздких вычислений. Корреляционная функция случайного процесса, каноническое разложение которото получается по формулам ('1.25), в промежутках между дискретными точками, вообще говоря, не совпадает с корреляционной функцией исходного процесса. Однако если дискретные точки выбираются так, что значения процесса в этих точках имеют высокую корреляцию между собой, то совпадение корреляционных функций в промежуточных точках будет достаточно хорошим. Это позволяет использовать процесс «*(!) не только для формирования значенийпроцесса $(() в заданных дискретных точках, но и в промежуточных точках. 'Пусть требуется формировать на БВМ значения процесса $(!) только в заданных Ф дискретных точках гз, т.
е, требуется получать выборочные значения дг-мерного вектора [!у([=)[у„[[„,— = )[й(1„) [1 „1, — — [[$ [п) 1[, п=!,У, т = 1, Ь' )[и[[=[!(г [! — =и'[п т) п=! йГ т=1 йГ п=!,М где гг[п, т)=М (Цп)й[т)] — корреляционная функция дискретного случайного процесса $[п)=,$(!з). Используя данное каноническое разложение, получим следующий моделирующий алгоритм: в котором дисперсии аа некоррелярованных случайных козффнциен- 2 тов а» и дискретные координатные функции фа (и] находятся нз соотношений: а =Я[1,1], т, [п]= — х)7 [и,1], а, а — ! аа — п[д 7«] — 2а а[, з [й[ (!.27) е †! у»[п] = —,[(В[п,й] — 7'!2«[п] т«[л] . л=2,Л'. а 1=! Алгоритм (1.26) мон«ио записать н виде и уа = Х а»х»т» [и] ', а=! (1.
28) где х„х, — некоррелнрованные случайные величины с параметрами (О,1). Если моделируемый процесс является нормальным, то, положив закон распределения случайных коэффициентов У» в каноническом разложении по данному способу нормальным, придем к алгоритму, позволяющему точно, т.
е. в рамках многомерных распределений, а не в рамках корреляционных приближений, формировать на Ц~ВМ дискретные реализации стационарных и нестационарных нормальных случайных процессов, заданных на конечном интервале времени. При формировании по этому способу реализаций случайных векторов подготовительная работа по объему вычислительных затрат примерно такая же, что и при формировании случайных векторов с помощью линейного преобразования, описанного выше. Однако необходимое количество ячеек памяти в данном способе может быть значительно меньшим.
Это имеет место в тех случаях, когда координатные функции «р»(1) удается выразить достаточно простыми аналитическими выражениями. В противном случае значения М координатных функций з М дискретных точках потребуется запоминать в виде таблиц. Поскольку при этом нужно помнить еще М дис- 36 персий и коэффициентов У», то всего в общем случае потребуется М(М-[-'1) ячеек, Сходство рассматриваемого способа моделирования случайных векторов со способом линейного преобразования является не только внешним. Оказывается (в этом проще всего можно убедиться на примерах), что алгоритм (1.16) и алгоритм (1.2В), в котором о„и «рв[п) определяются по формулам (1.27), в точности совпадают, т.
е. аы —— в«пз«[1), аз«=в!«р«[2), азх —— вярх[2) и т. д. Таким образом, формулы (1.27) являются разновидностью формул (1.19) для вычисления элементов а„ матрицы преобразования А. 3. Метод разложения в ряд Фурье Для стационарных случайных процессов наиболее простым частным случаем общего ортогонального разложения (1.27) на конечном интервале (О, Т) является разложение, в котором собственными функциями являются синусы и косинусы (разложение случайных процессов в ряд Фурье).
Каноническое разложение случайного процесса имеет при этом вид а(1)=~ У»созе»1'+(1»з(пе»1, 0<1<Т, (1,29) где Ую (1» — случайные амплитуды гармоник; ш»=йы!— частоты гармоник, кратные основной частоте «в!. [При — оо(1<оп реализации случайного процесса (1.29) являются периодическими функциями с периодом Т! —— 24в!. Предполагается, что период Т, в общем случае не совпадает с интервалом разложения Т и его нужно выбрать. Сделать выбор величины Т, и найти алгоритм канонического разложения (,1.29) позволяют следующие соображения. Поскольку коэффициенты Уш (1» некоррелированы, то корреляционная функция случайного процесса (1.29) согласно общей формуле (122) имеет вид Р(11) ='Я Р [Ув) сев т»1 соз ау'+ Р ((1») з!пе»уз(пте(', а=о где Р(У»), Р(0») — дисперсии коэффициентов Ув и '(Ув.
зу При равенстве дисперсий в парах коэффициентов $'о и Уо с одинаковым индексом случайный процесс (1.29) является стационарным в широком смысле, так как его корреляционная функция зависит лишь от разности аргументов ( и 1': )'!(1,Г) = ~ а (соя аь1 сов ао4'+ з!пео! з!паоГ) = = ~; о' соз е„(! — Г) = Х~~ о' соз еоо = !г (~), где о =! — г'. При этом корреляционная функция )г' (о) является периодической с периодом Т„ равным пеоиоду пооцесса 2(2), а дисперсии о равны коэффициентам разлоо женин корреляционной функции Д(о) в ряд Фурье по косинусам. Изменениям аргумента корреляционной функции )г(т) в пределах периода, т.
е. от — Т42 до Т,~2, соответствует изменение времени г н !' в пределах полупериода, т. е. в пределах интервала длиной Т1(2. Все это подсказывает следующий путь канонического разложения стационарного случайного процесса в ряд вида (1.29) на интервале (О, Т). Зная величину интервала разложения Т, находим коэффициенты разложения корреляционной функции )г(т) заданного процесса в ряд Фурье по косинусам на удвоенном интервале ( — Т, Т) по формулам: т "= т ~ (()~ъ о (!.30) ао — — т 1 К()совы, 2,,= т, й — — 1,2, 2 Г о о Полученные коэффициенты ао принимаем в- качестве дисперсий о коэффициентов Ъ» и Уо в искомом разложении. Если величина интервала Т выбрана такой, что при (т( )Т значения корреляционной функции равны нулю или пренебрежимо малы, то верхний предел в интетра- зв лах (1.ЗО) можно ~положить равным бесконечности.
Тог- да о т ) () 2Т о СО оо т ~ ~(о)созйаА'= т 2 г 6 (ое,) о "" '(") = Р(')"'"'=2~'(') соз-"' — энергетический спектр,моделируемого случайного процесса. Следовательно, в этих случаях дисперсии о„ с точностью до множителя совпадают со значениямй функции спектральной плотности 6(е) моделируемого случайного процесса в точках гоо=йе,=Ы~Т, А=О, 1, ... Это при известной функции спектральной плотности де- 2 лает процесс вычисления дисперсий о весьма простым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
