Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Учитывая, язв з)пап =э(я[а(п — 1)+а1 =э)в [а(п — 1)1 сова+ +сов [а(п — 1)]з(па, соз ап = соз [а (и — 1) + а] = соз [а (и — 1)1 соз ив — з(п [а (и — 1)] з(па, приходим к следующему рекуррентному алгоритму: и, [п]=си,[п — Ц+зи, [п — Ц, и, [01=0, (1.3) и, [п1 =си, [и — Ц вЂ” зи, [и — Ц, и, [О] =1, где с=сева, з=з!па. Применение алгоритмов (1.2) н (1.3), так же как и использование выборки нз таблиц, примерно на порядок сокращает время вычисления дискретных экспоненциальных н тригонометрических функций по сравнению со временем вычисления их по стандартным подпрограммам.
Приведенные алгоритмы экономичны, кроме того, по количеству требуемых ячеек памяти. Алгоритмы (1.2) и (1.3) могут быть, очевидно, использованы и при моделировании функций, представляющих собой комбинации из экспонент, синусоид и косинусоид; например дискретную тангенсоиду можно формировать путем деления и,[п] на из[и] в процессе реализации алгоритма (1.3). Выражения (1.2) и (1.3) будут неоднократно использованы в дальнейшем. 1.3. Моделирование функций, зависящих от случайных параметров и случайных процессов Рассмотрим сначала функцию и(1), зависящую лишь от одного случайного параметра.
При фиксированном значении этого параметра процесс выработки реализации случайной функции не отличается от детерминированного случая. Каждому конкретному значению случайного параметра соответствует конкретная реализация. Выработка возможных значений случайного параметра произ- 3-16() 17 водигся известными методами получения случайных величин с заданным законом распределения (1О, 11, 23]. Основные методы моделирования случайных величин рассмотрены,в $ !.4. Если функция и(1) содержит !У случайных статистически независимых параметров, то для формирования ее дискретных реализаций производится выборка возможных значений й! случайных величин в соответствии с их законами распределения. Задача моделирования при этом в принципе не отличается от задачи моделирования .процессов с одним случайным параметром и не встречает особых трудностей, так как в обоих случаях речь идет о моделировании непосредственно заданных случайных процессов.
Наибольшие трудности, встречаются при моделировании тех радиосигналов и радиопомех, математические модели которых содержат либо множество случайных параметров, статистически зависимых между собой и заданных многомерным законом распределения вероятностей, либо случайные процессы, не являющиеся непосредственно заданными ]случайные процессы 9!(1) ~в выражении (1.1)], либо то и другое. Дело в том, что получение эффективных алгоритмов для формирования на ЦВМ выборочных значений статистически зависимых между собой случайных параметров, т. е, реализаций случайных векторов, и дискретных реализаций случайных процессов,по их многомерным законам распределения является довольно сложной задачей. Дальнейшие же преобразования этих реализаций в соответствии с математическими моделями сигналов и помех, т. е.
согласно общей формуле (1.1), очевидны. Вопросы формирования на ЦВМ случайных векторов и, в частности, реализаций случайных процессов рассмотрены в 9 1.5 и 1.6. Основной материал по вопросам цифрового моделирования случайных процессов помещен во второй главе. 1.4. Моделирование случайных величин с заданным законом распределения Исходным материалом для формирования на ЦВМ случайных, величин с различными законами распределения служат равномерно распределенные в интеввале !8 (0,1) случайные числа, которые вырабатываются на ЦВМ программным или же физическим датчиком случайных чисел.
Существуют различные приемы преобразования случайных чисел с равномерным распределением в случайные числа с заданным законом распределения (10, 23]. Так, например, в качестве нормально распределенных случайных чисел можно использовать сумму нескольких независимых случайных чисел с равномерным распределением (прнближение основано на центральной предельной теореме теории .вероятностей, в силу которой сумма независимых случайных величин при весьма общих условиях имеет аснмптотически нормальное распределение).
Рассмотрим сначала общие, приемы получения случайных чисел с заданным законом распределения из равномерно распределенных случайных чисел. 1. Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения Пусть гв(у) — функция плотности, )г'(у) = ~ ш(г) Ых,'— функция распределения вероятностей случайной величины у, а Ю' †'(х) †функц, обратная функции )г'(у). Тогда случайная величина у= Ю'-'(х) имеет заданный закон распределения ге(у), если случайная величина х равномерно распределена в интервале (0,1) (10]. Например, случайную, величину с релеевским законом распределения, у которой функция, плотности, функция распределения, среднее значение н дисперсия имеют соответственно внд ге(у)=+е '!и, у~О; !г'(у)=! — е, у=»0; !пв =$/ — "а; а = (2 — — ) а'! где и†параметр распределения, можно .получить путем следующего преобразования равномерно распределенной в интервале (О,!) случайной величины х: у = а )/ — 2 1п (! — х) = а ! — 2 1п х 2» !9 Путем преобразований у =Ь з!и я (х — — у)+ а, у = Ь !в я ~х — — ~ + а (1.6) 1 Х / 1 Х можно сформировать случайные числа, распределенные по закону арксинуса и закону Коши соответственно: ге(у) = аЬ у'1 — (у — а)'(Ь' 1 , у — а ! ()Р(у) а'с"" ь + 2 ' т„= а; а'„= Ь'~2; 1 ~Ь [1+ (у — а)~/Ь~! (1.7) ))Р (у) агс(в ь + 2 ' т" а! а оо у а Используя свойство симметрии тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что закон распределения случайных величин у, формируемых согласно алгоритмам (1.6), не изменится, если аргумент п(х †'6) у тригонометрических функций заменить аргументом 2пх.
К сожалению, не всегда существуют элементарные преобразования для получения случайных величин с заданным законом распределения из равномерно распределенных случайных чисел. В частности, у случайных величин с нормальным распределением функция, обратная функции распределения, не выражается в замкну- 20 (переход от 1п(1 — х) к 1п х в последней формуле основан на том, что случайные величины 1 — х и х имеют здесь одинаковые законы распределения). Аналогично случайную величину с показательным законом распределения, у которой е(у)=Хе "", у)0; ЯР(у)=1 — е "", у)0; 1 т„=а„= — „, 1 можно сформировать путем преобразования у= — — 1пх. том виде через элементарные функции. В этих случаях для формирования случайных величин с заданным распределением используются различные аппроксимации функции )ь"-!(у) (10, 23).
2. Метод Неймана Для моделирования случайных величин, возможные значения которых не выходят за пределы некоторого ограниченного интервала (а, Ь) (случайные величины с усеченными законами распределения), а также случайных величин, законы распределения которых можно аппроксимировать усеченными, достаточно универсальным является метод Неймана (103), состоящий .в следующем. ги!у) / > уу лу Рис. 1.2. Из датчика равномерно распределенных в интервале (О, 1) случайных чисел независимо выбираются пары чисел ьх!, Ьхм из которых формируются преобразованные паРы ьх*! —— а+ (Ь вЂ” а) "хь "х"а=в "хм где (а, Ь) — интеР- вал возможных значений случайнои величины у с заданной функцией плотности и>(у); ш — максимальное значение функции 1в(у). В качестве реализации случайной величины берется число ах*а из тех пар 'х"ь "х*„ для которых выполняется неравенство 'х", < и! ("х",).
(1.8) Пары, не удовлетворяющие неравенству (1.8), .выбрасываются. Нетрудно убедиться в справедливости такого метода моделирования случайных величин. Действительно, пары случайных чисел х*!, х"а можно рассматривать как координаты случайных точек плоскости,.равномерно распределенных вдоль осей у и и!(у) внутри прямоугольника аа'Ь'Ь (рнс. 1.2). Пары ха!, х"м удовлетворяющие усло- 21 вню (1.8),— это координаты случаиных точек плоскости, равномерно распределенных .вдоль осей у и ш(у) внутри той части прямоугольника аа'Ь'Ь, которая расположена под кривой ге(у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
