Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 9
Текст из файла (страница 9)
46 (1.43) где т(т) =Я(т)/а~ — коэффициент корреляции исходного случайного процесса. Представляет интерес значение спектральной плотности ошибки интерполяции на нулевой частоте 6 (О). Согласно (! А1) 6„ (О) = 6 (О) ~ 1 — 2, К, (0)1 + 1, Ф (О) К', (О), (1 А4) т. е. спектральная плотность опзибки иа нулевой частоте для всех интерполирующих фильтров с одинаковым ко- эффициентом передачи на нулевой частоте Ке(0) одина- кова. У наиболее распространенных типов интерполирую- щих фильтров, как будет показано ниже (см, табл.
1.!), козффициенты КВ(0) равны, 47 ) 1, )го)= дгФ!в) )О, ! ~>в„, й'оооо Ов) = Ф ° гг (в) Ф (в) (1.45) 3. Частные случаи я (т) ! г гг в ы в 1 Г'а(в) 1 о о ) Ф(со) — оо 2. Оптимальные иитерполирующие фильтры Используя формулу (1.42), нетрудно найти оптимальную частотную характеристику интепполирующего фильтра, обеспечивающую минимальную ошибку интерполяции. Действительно, минимизация дисперсии ошибки о' сводится, очевидно, к минимизации спектральной плотности ошибки 6 (в) при д всех в. Обозначив х= Вело((в), р=1ш Ко()гг), спектральную плотность можно представить в виде 6,=6(1 —,', х')+ (х*+„о) Минимум величины 6, как функции от х,у имеет место при х=6/Ф и 8=0 (в этом легко убедиться, пешая систему уравнений дбд/дх='О,дб /ду=О относительно х и и).
Таким образом, оптимальная частотная характеристика интерполирующего фильтра имеет вид При этом согласно (1.42) и (1.45) минимальная ошибка интерполяции процесса равна гг~„„,= — ~ 6(в) ~1 — — Ф вЂ” ~ сЬ. (1.48) о Частотная характеристика Ко,,(/в) — вещественная неотрицательная четная функция, так как таковыми являются функции 6(в) и гдг(го) в выражении (!45). Следовательно, оптимальная ннтерполирующая функция, равная есть четная положительно определенная функция, т. е.
она относится к классу корреляционных функций стацио- нарных случайных п(гоцессов, Оптимальные интерполи- 4а рующие фильтры с такой импульсной переходной характеристикой являются, очевидно, физически неосуществимыми и для точного восстановления про~цесса требуется бесконечная задержка его во времени так же, как и прн восстановлении процесса в соответствии с теоремой Котельникова. Известно !85), что 6(в)(Л(г)г(в), причем знак равенства имеет место только в том случае, когда спектр 6(в) строго ограничен некоторой частотой вв а шаг лискретнзацин процесса удовлетворяет условиям теоремы Котельникова; гта~п/в,.
Отсюда, используя (1.46), приходим к выводу, что в общем случае не существует такого ингергголирующего фильтра, который обеспечивает безошибочное восстановление стационарного случайного сигнала в принятой схеме восстановления н лишь сигналы с ограниченным частотой во спектром, у которых [85] могут быть безошибочно восстановлены с помощью нптерполнрующего фильтра с частотной характеристикой т.
е. с помощью идеального фильтра нижних частот в со-. ответствии с теоремой Котельникова. Реальные сигналы не могут иметь строго ограниченного спектра (82), поэтому восстановление нх по дискретным данным всегда будет сопровождаться некоторой ненулевой погрешностью. В табл. 1.1 приведены основные характеристики интерполирующих фильтров, соответствующие наиболее распространенным видам интерполяции: ступенчатой симметричной и несимметричной, линейной интерполятгин (см. рнс, 1.5) и интерполяции по Котельникову. Подставляя эти характеристики в формулы (1.4О) — (1.44) прн известных корреляционной функции )т(т) и энергетических спектрах 6(в) и 4(д(в) исходного н соответствую4=! чо 49 фнаьтра о х Ю я' в о с ми м м йЕ 2 о, 1е)>— йЕ ВЕ ОЛЕ Е Е Т йу Е)Е г е)йе а с Д м 3 о м ю' ь~ы с м вй( 5(п— 2 йЕ вйЕ 2 й(, 1в1(ве, О, 1в)> во 1 11 42 ся )! 5!и в,у й(— еусЕ 2 à — — „1()Х О м но 25"о оо о ы ы щю ы и ° .
Я о э ос' о ~~я о о м м о сь гм с о со ) й (в) сув с со )0(в) с(в О 2 2 4' о ж о и Я о. » о о о и сс о г ы о. Д м с о ы о о с о м4Й Ю Ю ы ь о Ж И сь .ь г- Элемент нулевого порядка (песнмметрнчпый) (, оы-.е~<йе, о, е<о, е>йе вй( я(п — Е"се 2 2 йЕ „е 2 йЕ -1(1, 1(1~ йЕ, о, 1(1>йе ау ! Г 2 ! — — ~г(с) с(с й( ) О Тпп ннтерполнрувн(его Элемент нуленога порядка (снмметрвчяый) йе — 1(1, 1е(~йе, о, 1(1>йе Ы/2 2 и 2 ! — —, г(ч) О)с "Гпблица 1.1 Идеальяый фвльтр ввнвпк частот 51и вс' Х вЂ” ' )= Сяс С !цего ему дискретного случайного процесса, легко можно найти корреляцнонно-спектральные характеристики и среднеквадратические значения ошибок при различных методах интерполяции.
Заметим при этом, что энергетический спектр Ф(ы) дискретного случайного процесса, порождаемого непрерывным случайным процессом с рациональным спектром, всегда может быть выражен в замкнутом виде в элементарных функциях (85). В ряде случаев его можно найти по таблицам двухсторонних дискретных преобразований Лапласа (85, стр. 423). В рассматриваемых случаях относительная среднеквадратическая ошибка интерполяции Ь',, выраженная через временные и частотные характеристики, имеет вид, показанный в табл.
1.1. Интересно отметить, что при интерполяции по Котельникову Ь =2е/е', где о = — 3! б,(ш)обе — дисперсия тех составе 2 2 1 Г е ляющих в спектре исходного процесса, частоты которых расположены выше частоты дискретизации. Таким образом, дисперсия ошибки восстановления стационарного случайного сигнала по дискретным данным при интерполяции по Котельникову ровно вдвое больше дисперсии высокочастотных (выше частоты дискретизации) составляюи(их в спектре сигнала.
На рис. 1.7 показаны энергетические спектры ошибок восстановления экспоненциально-коррелированного случайного сигнала, заданного дискретными значениями с шагом Ы=п/2со„у которого !г()=е ! 1, сг(~)= все ш, * (1 47) свао ы — сое(оь! Кривые вычислены по формуле (1.41) с использованием табл.
1.1 и их номера совпадают с номерами интерполнрующих фильтров в этой таблице. Нулевым номером обозначен спектр ошибки восстановления прн оптимальной частотной характеристике нптерполирующего фильтра (1.45). Тонкой линией показан нормированный спектр исходного случайного процесса 6(н)/6(0). Рядом с номерами даны соответствующие значения относительной 52 среднеквадратической ошибки восстановления, аналити.
ческие выражения для которой прн произвольном шаге дискретизации имеют соответственно вид Е Све — (1+о) Е ' е о —,,1,, — в 2~1 — ! е ). е; о— 2. Ь =2~1 — 2 (1.48) 3. Ь= +4 о 5+с ! — е — е е е о 6 4. йо =2 ~1 — — агой,е/е~~ = —,с=0„4е, где е=оэ,М вЂ” нормированный шаг дискретизации, равный отношению шага дискретизации Ь1 к величине интервала корреляции процесса на уровне 1/е. е." со ис Рис. 1.?.
В (!.48) справа даны асимптотические значения ошибки интерполяции при малых е. Асимптотическимн формулами практически можно пользоваться вместо точных формул при е(!. Из рис. 1.7 видно, что в рассматриваемом примере линейная интерполяция по величине ошибки восстановления весьма мало отличается от оптн- 53 мальной интерполяции. В пределе при Лà — аО согласно (1.47) линейная интерполяция является в данном случае оптимальной.
Наибольшая погрешность восстановления имеет место при использовании ступенчатой несимметричной интерполяции, Интерполяция по Котельникову в отношении точности занимает здесь промежуточное положение между ступенчатой симметричной и линейной интерполяцией. Вообще же в этом примере значения ошибок довольно большие и слабо зависят от вида интерполяции. Это объясняется тем, что, во-первых, выбранный для примера процесс имеет интенсивные высокочастотные составляющие (спектральная плотность его в области высоких частот убывает всего лишь как 1~ыт), во-вторых, шаг дискретизации выбран слишком большим (коэффициент корреляции между соседними дискретами процесса равен "=О,2), В заключение можно сделать вывод, что полученные здесь формулы оценки погрешности интерполяции позволяют в каждом конкретном случае достаточно просто найти ошибку восстановления стационарных случайных сигналов по дискретным данным при различных видах интерполяции.
Полученные результаты будут использованы в В 3.7. Глава вторая МОДЕЛИРОВАНИЕ ТИПОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 2.1. Постановка задачи Рассмотренные в первой главе методы моделирования случайных векторов в рамках многомерных распределений и рамках корреляционной теории, вообше говоря, пригодны для моделирования случайных процессов, заданных на конечном интервале времени. Однако при формировании реализаций большой длины эти методы, как было отмечено, требуют большого количества вычислений и трудоемкой подготовительной работы, что затрудняет их практическое использование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
