Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Из ннх хорошие результаты дает метод кусочной апцроксимацни. 1.5. Моделирование случайных векторов по заданным многомерным распределениям Задачи моделирования на Ц~ВМ случайных векторов и случайных процессов, заданных на конечном интервале времени (О, Т), в принципе не отличаются, так как дискретные реализации случайных процессов, ограниченных во времени, можно рассматривать как выборочные значения У-.мерных случайных векторов, где А7=Т/бз. 'Существует два основных метода моделирования на Ц~Вгт( случайных векторов с заданным многомерным распределением.
1. Метод условных распределений Этот метод дает уиизсрсальиый алгоритм (1О, 11), позволяющий з принципа моделировать многомсрныс случайиыс зсличины с произзольио заданной многомерной функцией плотности. Алгоритм оспозаи на рскуррситном вычислении условных плотностей всроятностсй для координат формируемого вектора. Пусть случайный вектор задан своей й(-меркой функцией плотности е(кь ..., кп). рассмотрим сначала двумерный случай, ногда вектор имсст всего лишь двс координаты к, и хг.
Одномерная функция плотности случайной величины к~ имеет аид СО га (х,) = ~ ш (х,,х,) охг, (1.13) Используя описанные выше способы моделирования случайных величин с заданным законом распределения, сформируем реализацию 'х, случайной величины хз с функцией плотности (1.13). Затем найдем условное распределение случайной величины х» ш(х,]'»,) =ш('»з,хз)/ш('»з), произведем выборку 'хз случайной величины х, с функцией плотности ш(хз]зхз) и т.
д. Полученная .таким путем последовательность пар чисел "х„"хь й=!, 2,..., будет иметь, совместную функцию плотности ш (хз, хз] . Аналогичные соотношения имеют место н для многомерных векторов, Например, если задана совместная функция плотности ш(хь хь х,) трехмерного вектора, то выборка троек чисел осушествляется в соответствии с функциями плотности зе ез ш (х,) = ~ ) ш (х„х„хз) з(хзз(хз, ш (х, ]ь»,) = ~ ш (зх„х„х,) дх,/ш ("х,), (1.14) ш (.зз]зх, ьх,) = ш (ьх, ь»з,хз)/ш ("х,) ю (ь», ] ь»з).
Описанный прием позволяет в принципе моделировать многомерные случайные величины с произвольно заданной функцией плотности. Однако практическое использование этого способа связано с весьма громоздкими вычислениями, за исключением тек, сравнительно редких случаев, когда интегралы в выражениях типа (1.13), (1 ~14) берутся в конечном виде.
В противном случае приходится прибегать к приближенным вычислениям. При больших значениях Аг эти вычисления, как правило, оказываются также очень громоздкими и совершенно непригодны для практического использования ВО], Значительно более приемлемым для практической реализации является метод 'Неймана (!03] (см. й 1.4), обобшенный на многомер. ный случай (23]. 2. Метод Неймана Пусть пз(у„..., у„) — Аг-мерная функция плотности слу. чайного вектора ]] уь 1] й = 1,У с областью определения (аь, Ь ) случайных когюдинат у„, й='1, ~Ч. По аналогии с одномерным случаем для уформнрования реализаций вектора !! ув 1] за= ],Лг на ЦВМ 'вырабатывается Аг+ 1 случайных чисел х„х, ! 'гравномерно распределенных в интервалах (аз, Ь,), (а„Ь,),, (а„, Ьм), (О, им) соответственно, где вз„— максимальное значение функции тв(уз, ..., узг).
Яв В качестве реализаций случайного вектора ]]уа~]л=], Ф, распределенного по закону пз(уь ..., ум), берутся реализации случайного вектора ]]хл]!кьы], А(, удовлетворяющие условию хпчз(св(хь ..., хм), Реализации случайных чисел т„хчч!, не удовлетворяющие этому условию, выбэасываются. Идея метода такая же, как и в одномерном случае (1.4), с той лишь разницей, что здесь имитируются случайные точки, равномерно распределенные не на плоскости под кривой св(у) (см.
рис. '1.2), а в ](1+1-мерном объеме под ЬУ-мерной поверхностью пз(уз, ..., ум). 1.6, Моделирование случайных векторов в рамках корреляционной теории С практической точки зрения способы получения возможных значений составляющих случайного вектора в рамках корреляционной теории оказываются более приемлемыми, чем в рамках многомерных распределений. Эти способы (первые) применимы в тех моделях, в которых достаточно обеспечить лишь заданную матрицу корреляционных моментов случайных векторов (или заданную корреляционную функцию при моделировании случайных процессов). Значение этих способов возрастает в связи со следующими обстоятельствами. Во-первых, нормальные случайные векторы и процессы, играющие очень важную роль в приложениях, однозначно задаются матрицей корреляционных моментов, и, следовательно, моделирование их в рамках корреляционной теории равносильно моделированию по заданным многомерным распределениям.
Во-вторых, ненормальные случайные векторы часто появляются в результате некоторых преобразований нормальных случайных векторов. Назовем такие ненормальные векторы клазилормалькыми. Моделирование квази- нормальных случайных векторов сводится к моделированию нормальных случайных векторов с последующим воспроизведением заданного преобразования и может быть осуществлено в рамках многомерных распределений, для чего, очевидно, достаточно обеспечить лишь необходимые корреляционные связи исходных нормальных векторов. Примером квазинормальных случайных векто- лв ров является последовательность значений огибающей суммы гармонического сигнала и узкополосного нормального шума.
Эта последовательность подчинена, как известно, многомерному закону распределения Райса (при отсутствии сигнала — многомерному закону распределения Релея), Огибающая легко выражается через квадратурные составляющие колебания, распределение которых нормальное. В-третьих, многомерные законы распределения случайных векторов, не являющихся нормальными нли квазинормальными, весьма трудно получить теоретически н экспериментально.
Исключение составляют лишь ненормальные случайные процессы, которые являются (илн могут считаться) марковскими случайными процессами невысокого порядка; их многомерные распределения найти сравнительно несложно [78). Корреляционные же моменты обычно определяются значительно проще. Поэтому практически в ~этих случаях многомерные законы распределения, как правило, неизвестны, и задача моделирования случайных векторов имеет смысл лишь в рамках корреляционной теории. Рассмотрим возможные методы моделирования на Ц~ВМ многомерных случайных векторов в рамках корреляционной теории. 1. Метод линейного преобразования Это один из наиболее известных методов зрормирования реализаций случайных векторов (10, 1 Ц.
Основная идея его состоит в том, чтобы, выработав АГ независимых случайных величин хь хн с параметрами (О, 1), подвергнуть их такому линейному преобразованию А, после которого полученные величины у„ун имели бы наперед заданную корреляционную матрицу !! й((=((Р„~((~ ' = )(М~у„у ) !)~ где М вЂ” символ математического ожидания. Известно 1481, что произвольное линейное преобразование А У-мерного вектора !)х!! сводится к умножению его на некоторую матрицу М-го порядка: !)у!1 =!)А(! !!х(1, (1.18) зо у, =а„х„ у,=а„х,+а„х„ (1.16) у„=-а,х, + а,х, + ... +а„х .
Элементы а„„, матрицы !) А )! найдем нз условий: М ~уду ) = Я дд,М (х„худ) = з„,у, — — ' ' (1.17) Из условий 2 2 М (у, ) = ан= )т„, М (у ув) =а ам =)т в М (у,) =а„+а„=Й„ получим а„=)/зс„; а„=(1„(11К„; а„=~/ʄ— К„~К„, (1.18) (1.18) Аналогично можно найти: зз) ~ . ужвз — Лзвдзв яз, азв= вз/г" „а..= ~~зз Лзз г (1.20) вв ззз л л' О ЗЗ (Рвв Рзз)з вязз)з з !21язз Действуя таким образом, можно последовательно определить элементы всей матрицы ))А)). Тогда алгоритм выработки реализаций случайного вектора с заданной корреляционной матрицей сведется к умножению реализаций вектора с независимыми случайными координатами на матрицу )!А!). Составляющие вектора ))у~) будут з! где )) х )) = !! х„)) и =1,Л~, )) у )) = !) у„!) и =1,У вЂ” матрицы-столбцы с элементами х„х .
у„у„соответственно;))А))= т= ),зз' = )! азз !! ' †квадратн матрица преобразования. и= СЛз Выберем матрицу преобразования )! А )) треугольной, тогда 2. Метод канонических разложений Пусть непрерывный центрированный случайный процесс 4(1) задан каноническим разложением Е (1) = Е УИь (1) ь=! (1.2! ) где Уь — некоррелированные случайные коэффициенты с параметрами (О, оь); !рь(1), А=1, 2, ...— система не- которых детерминированных координатных функций.
32 иметь нулевое среднее значение. Вектор с ненулевым средним значением получается путем сложения 1)у~~+ + ~!лг„~~, где !!!пД вЂ” вектор-столбец средних значений случайного вектора Ь1!. Операция умножения матрицы на вектор выполняется на ЦВМ по стандартной программе. Можно построить стандартную программу и для вычисления элементов матрицы !1А)~ по заданной корреляционной матрице, Отметим, что рассмотренный процесс моделирования позволяет получить лишь необходимые корреляционные связи между координатами случайного вектора. Законы распределения координат не принимаются во внимание, поэтому законы распределения координат исходного вектора могут быть произвольными, например равномерными.
Требуется только, чтобы случайные координаты х„ вектора ~~х~~ удовлетворяли условию (187). Если законы распределения координат исходного вектора принять нормальными, то искомый вектор также будет нормальным (нормальный закон, как известно, инвариантен по отношению к линейному преобразованию). Рассмотренный способ образования возможных значений случайного вектора при больших Ф становится неудобным для машинной реализации, потому что запоминание элементов матрицы требует очень большого объема оперативной памяти ЕФ(!1!'+1)12 ячеек) и большого объема вычислений. !Поэтому в ряде случаев оказывается более удобным моделирование случайных векторов по каноническому разложению соответствующих этим векторам случайных процессов (28, 68]. Из условия некоррелированности коэффициентов Уь следует аналогичное каноническое разложение корреляционной функции случайного процесса З(1): Я(1,Ф') =М(Е(1) Е(1')) = ~~~, а~~рь(1) !рь(1), (1.22) а=! Задание случайного процесса в виде канонического ,разложения — это и есть параметрическое задание слчайного процесса, о котором шла речь в $1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
