Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Алгоритмы даны в формульиом виде. Для пояснения формульных алгоритмов приводятся передаточные функции и структурные схемы дискретных фильтров, осуществляющих операции над входными числовыми последовательностями в точном соответствии с предлагаемыми алгоритмами. Глава первая МОДЕЛИРОВАНИЕ РАДИОСИГНАЛОВ И РАДИОПОМЕХ 1.1.
Постановка задачи Математическими моделями радиосигналов, радиопомех и,различных комбинаций сигналов и помех являются, вообще говоря, случайные функции времени (случайные процессы), которые можно представить в следующем достаточно общем, виде: и(Г)=Рг(зг(Г, хь хг ° ° .), за(ч, уь уги . ° ), . ° ., Ь(1) Ы1) ".). (11) где 1 — непрерывное или дискретное время; зг(1, хь ха,...), за(1, уь уг,,),...— функции со случайными параметрами; Ег(1), йя(1), ...— случайные процессы (шу-.
мы) с заданными свойствами; Рг — символ некоторого преобразования, зависящего в общем случае от времени. Реализации (выборочные функции) случайного процесса являются детерминированными функциями 'и (1) = Р~ (з, (г, ах„'х„...), з, (1, "у„"у„...), ..., гЕ,(1) '%,(1) -]. где "хь "хк ..., "уь ьугч ..., Чт(1), ьсг(1), ...— реализации соответствующих случайных величин и случайных процессов; й — номер реализации. Функции зг(Г), зг(1), ... со случайными параметрами являются разновидностью случайных .процессов, отличающихся способом их задания. В дальнейшем будем их называть параметрически заданными случайными процессами в отличие от случайных процессов йг (1), 5г(1), ..., заданных другими способами, например с,помощью многомерных распределений, и называемых просто случайными процессами. Параметрнческн заданные случайные процессы, у которых случайные параметры статистически независимы между собой, будем Г2 называть непосредственно заданными случайными процессами.
Параметры хы ха. ° . уь уа.. могут быть как непрерывными, так и дискретными случайными величинамй; предполагается, что статистические характеристики их известны, т. е. известны плотности распределения вероятностей ге(хь хг, ...), ш(уь уг, ...), в дальнейшем называемые также функциями плотности. Преобразование г включает в себя операции,осуществляемые при различных, видах модуляции, операции, описывающие взаимодействие сигналов и помех, например суммирование в случае аддитивной смеси, и т. д.
Практически любое колебание, наблюдаемое в некоторой точке радиотракта, может быть представлено в форме (1.1). Целью моделирования радиосигналов и радиопомех является воспроизведение на ЦВМ случайных процессов вида (1.1), математически описывающих радиосигналы и радиопомехи. Воспроизведение на ЦВМ случайных процессов с дискретным временем означает получение значений этих процессов, относящихся к соответствующим дискретным моментам времени. Воспроизведение на ЦВМ процессов с непрерывным временем, строго говоря, невозможно ввиду дискретной природы цифровой машины.
Однако процесс и(1) с непрерывным временем можно с любой наперед заданной точностью заменить соответствующим ~процессом и[пЬв) с дискретным, временем 1 =пЫ (рис. 1.1), где Ы— определенный, разумно выбранный, шаг дискретизации процесса; п — целочисленный аргумент. В результате случайному .процессу и(1) будет поставлена в соответствие случайная последовательность и(п)=и(пзбг) "~, а его непрерывным реализациям 'и(1) '"~ — дискретные реализации "и )п) = Рьы (з, (псгг,: х„ах„...), з, (пй1, ьуы ау„...), ..., ' Е, (пб(), Ев (пас), ...) = Р„(з, (пьхы ьх„..1, за (и, ау ы "у„...), ..., $, '1п), Еа )и), ..1.
ю Здесь и далее заключение целочисленного аргумента в квадратные скобки означает, что речь идет о дискретной функции. "ю Здесь и в дальнейшем понятие непрерывности используется в качестве противоположного понятию дискретности, а не понятию разрывносюч как гао принято в математическом анализе ~3 Случайную последовательность и[п1, порождаемую случайным процессом и(() с непрерывным временем или же непосредственно изображающую случайный процесс а(1) с дискретным временем, будем называть дискретной (цифровой) *1 моделью сигналов, помех или их комбинаций. Задачу моделирования сигналов н помех сформулируем как задачу отыскания алгоритмов, позволяющих формировать на ПВМ нх дискретные реализации.
Рис. 1.1, Следует более подробно пояснить смысл этой задачи. Как уже отмечалось, сигналы и помехи являются случайными процессами, следовательно, задача их цифрового моделирования сводится к нахождению способов формирования на ЦВМ дискретных реализаций соответствующих случайных процессов. В современных электронных цифровых вычислительных машинах источником случайности являются датчики случайных чисел, позволяющие вырабатывать реализации независимых случайных чисел с одинаковым, обычно равномерным или нормальным, распределением. Последовательное обра- '1 Строго говоря, между дискретными и цифроными системами, как это принято в теории автоматического управления (85), существует различие, состоящее в том, что в цифровых системах кроме квантования тю времени присутствует также квантование цо уровню, возникающее при преобразовании непрерывных величин в числа определенной разрядности.
Квантование по уровню сопровождается так называемой погрешностью округления. В дальнейшем, поскольку речь идет о применении универсальных электронных цифровых вычислительных машин, обладающих высокой точностью вычислений, предполагается, что погрешность округления пренебрежимо мала. Поэтому между терминами «дискретная модель» и «цифровая модель» различия не делается, 14 щение к такому датчику можно рассматривать как процесс формирования реализации стационарной последовательности независимых случайных чисел или, другими словами, реализации дискретного белого шума.
Система независимых одинаково распределенных случайных величин и дискретный белый шум — это те дзе (а по существу, одна),довольно элементарные модели случайных процессов, реализации которых можно в настоящее время формировать на ЦВМ непосредственно. Зля формирования на ПВМ дискретных реализаций более сложных случайных процессов, входящих в математические модели радиосигналов н радиопомех, требуется разработка специальных алгоритмов, которые выражают дискретные реализации моделируемых процессов в виде некоторого доступного для осуществления на ЦВМ преобразования реализаций независимых случайных величин.
'Таким образом, задача моделирования случайных сигналов и помех состоит в переходе от обычной формы задания случайных процессов (например, с помощью многомерных распределений) к такой форме задания, при которой дискретные реализации случайных процессов выражаются в явном (по возможности наиболее простом) виде через реализации независимых случайных величин (реализации дискретного белого шума).
Подругому задачу моделирования случайных процессов, изображающих сигналы и помехи, можно сформулировать как задачу нахождения для этих процессов эквивалентных непосредственно заданных случайных процессов. Именно в этом смысле понимается в дальнейшем задача моделирования случайных процессов. Ниже рассматриваются возможные способы решения этои задачи. 1.2. Моделирование непрерывных детерминированныХ процессов Это наиболее простой случай, когда все реализации моделируемого процесса ы(() совпадают. Алгоритм формирования 'последовательности и(а) зависит от того, каким образом задана функция и((). Если функция и(1) задана,в виде аналитического выражения, то последовательность м(п) вырабатывается в соответствии с этим выпажениемг При вычислении и~а'1 могут быть использова- 16 ны арифметические и логические операции, предусм[~- тренные в данной ЦВМ, а также стандартные .подпрограммы для вычисления элементарных и специальных функций.
Если функция и(1) задана графически или таблицей, то оиа либо аппроксимируется каким-нибудь аналитическим выражением и последовательность и[п] формируется описанным выше способом, либо в памяти ЦВМ хранятся ее табличные значения и при формировании и[п] производится выборка нз таблиц. В последнем случае необязательно совпадение шага дискретизации процесса и(1) по времени н табличного шага, так как программа выборки из таблиц легко может ~быть построена с учетом интерполяции функции (см., например,[581).
Выборку нз таблиц целесообразно производить также и при моделировании тех периодических функций, формирование значений которых требует громозлких вычислений (примером могут служить тригонометрические функпии). При этом в памяти ЦВМ хранятся заранее вычисленные значения функции для дискретных моментов времени в пределах только одного периола. Программой предусматривается периодическая выборка из таблиц в соответствии с периодическим изменением функции. Ппи молелировании тригонометрических функций использование такого приема .вместо обращения к стандартным, подпрограммам может сократить время вычисления приблизительно на порядок. В заключение этого параграфа укажем на возможность применения рекуррентных алгоритмов в целях экономии вычислений при моделировании экопоненцнальных и тригонометрических функций. Пусть требуется формировать на ЦВМ дискретную экспоненту и[п] еал Учитывая, что е "= е'е, можно записать л[и-и и~п] =ри[п — Ц, и[01 = 1, (1.2) где л=е .
Следовательно, дискретную экспоненту можно формировать путем умножения ее прелыдущего значения на постоянный множитель (днскретная экспонента — это геометрическая ~прогрессия). 16 Пусть теперь требуется формировать яа ЦВМ одно- временно дискретную синусоиду и,косинусоиду: иДп]=з)п ап, и4п]=сов ап.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
