Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 10
Текст из файла (страница 10)
К сожалению, более простых методов получения неограниченных во времени дискретных реализаций случайных процессов с заданным многомерным законом распределения или же с заданной корреляционной функцией )с(Г, 1') до настоящего времени не известно. Однако на практике столь широко поставленные задачи моделирования случайных процессов встречаются редко. Чаще требуется моделировать случайные процессы, относящиеся к определенному, более узкому классу случайных процессов, например: стационарные нормальные случайные процессы; стационарные процессы, не являюшиеся нормальными, но порождаемые нормальными в нелинейных системах; нестационарные нормальные случайные процессы со стационарными црнрашениями; многомерные стационарные нормальные случайные процессы (т.
е. несколько стационарных и стационарно связанных случайных процессов); марковские процессы; случайные потоки и др. Для этих классов случайных процессов можно указать достаточно эффективные моделирующие алгоритмы. ~В настоящей главе рассматриваются вопросы моделирования названных классов случайных процессов. Кроме этого, рассматриваются принципы моделирования случайных полей, т. е. случайных функций нескольких переменных.
Основное внимание уделено методам моде- бб Е[п)=~, 'с„х[п — й[, (2.1) К+(г)=с!г+...+с г, (2.3) с!+ а»+ . + л!Ы К () — !+ь,.+... +ь„ (2.4) !7(», Ь!1) г!(», (нП ' 57 лирования стационарных нормальных случайных процессов, так как эти процессы, с одной стороны, имеют наибольшее распространение в качестве математических моделей различного рода флюктуаций в радиотехнике, а с другой стороны, имея эффективные алгоритмы для моделирования стационарных нормальных случайных процессов, можно сравнительно просто получить алгоритмы для моделирования других классов случайных процессов, именно тех случайных процессов, которые можно рассматривать как порождаемые стационарными нормальными процессами при различных линейных и нелинейных преобразованиях.
Для стационарных нормальных случайных процессов в последнее время найдены весьма экономичные моделирующие алгоритмы. В основу этих алгоритмов положено линейное преобразование стационарной последовательности х[п) независимых нормальных случайных чисел (дискретный белый зпум) в последовательность Цп), коррелированную по заданному закону.
При этом оператор линейного преобразования записывается либо в виде скользящего суммирования с некоторым весом сь=с[й[ либо как ренуррентное уравнение вида Е [п[ = а,х [п[+ а, х [п — 1[+ ... + а!х [п — ([в — Ь,Е[и — 1[ — Ь,Е[и — 2[ †... — Ь Е[п — и[= т = ~~ аьх [п — 'й) — ~ ЬьЕ [и — й[. (22) Вид корреляционной функции случайного процесса, моделируемого с помощью алгоритмов (2Л) н (2.2), определяется набором значений параметров аы Ь|, н сь и их количеством, которое обычно невелико.
Алгоритмы (2.1) и (2.2) отличаются простотой и позволяют формировать дискретные реализации случайных процессов сколь угодно большой длины. Начальные условия в,рекуррентном уравнении (2.2), т. е. предыдущие значения последовательности Е[п[ прн 66 вычислении первого значения этой последовательности можно выбирать нулевыми. При этом будет иметь место некоторый переходный процесс, в результате которого начальный участок моделируемого процесса будет искаженным. Однако после окончания переходного процесса последовательность Е[п[ становится стационарной. В $2.6 будет показано, каким образом нужно выбрать начальные условия, чтобы избавиться от переходного процесса.
Параметры аы Ьь рекуррентных алгоритмов и дискретная весовая функция сд в формуле скользящего суммирования определяются на этапе предварительной подготовки к моделированию. Различие между предложенными методами моделирования состоит в путях перехода от заданных корреляционно-спектральных характеристик к параметрам алгоритмов, т. е. в подготовительной работе.
Уравнения (2.1) и (2.2) описывают поведение некоторого дискретного (импульсного) линейного фильтра [Вб), который из дискретного белого шума, подаваемого на его вход, формирует на выходе дискретный случайный процесс с заданными корреляционно-спектральными характеристиками.
Передаточные функции этих фильтров в смысле дискретного преобразования Лапласа имеют соответственно вид Функция К. (з) определяется как отношение дискретного преобразования Лапласа (нначе г-преобразования илн 0-преобразования [85[) выходного сигнала к дискретному преобразованию Лапласа входного сигнала. Если входной и выходной сигналы обозначить соответственно через х![и) н х,[п[, то где (2.5) (2,6) и=ь 0 (х, [лИ = ~' х, [л) е-е — ~~ х [л) г .
»=0 и=ь »О »О в(.ю=Х .[) "— Е .[)" ранее), легко можно изобразить структурные схемы дискретных фильтров, описываемых уравнениями (2.1) н (2:2) и имеющих передаточные функции (2.3) и (24) соответственно (рис. 2.1 и 2.2). На этих рисунках элемент вычитания в отличие от элементов суммирования зачернен. д — комплексное число, реальная часть которого выбирается из условия сходимости рядов (2.5) и (2.6). Аргумент г передаточной функции является комплексной переменной, модуль которой равен единице.
Символ гь можно рассматривать как изображение оператора, который осуществляет задержку входного сигнала на й периодов, так как смещение функции х[л] на й периодов соответствует умножению ее изображения на г", т. е. В (х [и — й)) =гЧ» (х [л)). Дискретное ' преобразование Лапласа обладает свойствами, во многом аналогичными свойствам обычного преобразования Лапласа [85). Кроме отмеченных выше, в дальнейшем нам потребуется еще знать свойство линейности (изображение суммы дискретных функций равно сумме изображений слагаемых и умножение функции на постоянный множитель соответствует умножению Щ=]. с» х[л-«] Рис. 23. ее изображения на этот же множитель), а также то, что дискретная передаточная 1функция системы последовательно (параллельно) соединенных дискретных линейных фильтров равна произведению (сумме) дискретных передаточных функций отдельных фильтров.
Используя эти свойства г-преобразования (в том числе и отмеченные 58 / ~[и»'"-Е а»»[и- «) 1 Ъ»»»[е-«»» Рис. 2.2. Как следует из рис. 2.2, рекуррентное уравнение (2.2) описывает процессы в замкнутой линейной дискретной системе, .в отличие от формулы скользящего суммирования (2 1), описывающей поведение разомкнутой дискретной линейной системы. ~Процесс перехода от передаточных функций вида (2.3) и (2.4) к уравнениям (2.!) и (2,2) соответственно, описывающим процесс дискретной фильтрации во времени, очевиден; он называется идентификацией дискретных передаточных функций [35). Задачу цифрового моделирования случайных процессов с помощью скользящего суммирования и рекуррентных разностных уравнений можно рассматривать как задачу синтеза линейного дискретного формирующего фильтра, который преобразует дискретный белый шум в коррелированный дискретный случайный процесс с заданными корреляционно-спектральными характеристика- вв У[0]=сс+, +с'„, Р [Ц'=с,с, + + с, с, (2.9) !т [У вЂ” Ц=с,с, И[У]=0, где Р [и] =!с(пбс).
(2,! 0) 61 ми. В случае моделирования многомерных процессов ставится задача синтеза соответствующих многомерных формирующих фильтров. Ниже рассматриваются различные методы решения этих задач применительно к моделированию стационарных (в том числе и многомерных) и нестационарных нормальных случайных процессов. Для .моделирования ненормальных случайных процессов предлагаются нелинейные дискретные формирующие фильтры. В основном рассматриваются дискретные случайные процессы, порождаемые непрерывными.
При синтезе дискретных формирующих фильтров широко используются свойства исходных непрерывных процессов и систем. 2.2. Моделирование стационарных случайных процессов методом скользящего суммирования Пусть задана последовательность х[п] независимых случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (ортонормированная последовательность случайных величин или нормированный дискретный белый шум). Корреляционная функция последовательности х[п] имеет вид В[и]=М~х[й]х[й+п]]=3„=~ ' ' (27) 11, и=О, ~0, а;ЫО. Сформируем из последовательности х[п] согласно алгоритму (2Л) новую последовательность 5[п]: 1 [а] = с,х [и — Ц + ...
+ с х[п — У], 1[и+Ц=сх[и]+...+смх[и+! — У], (28) Случайная величина Ца] получается путем суммирования (с весами сь с„) У независимых случайных чисел, представляющих собой отрезок последовательности х[п]. При этом для вычисления очередного значения Цп+Ц исходная последовательность х[п] сдвигается на один элемент вправо, так что значение х[и У] выбрасывается. Зависимость (коррелироваииость) между слу- 60 чайными величинами $[п] и $[а+й] обеспечивается за счет того, что в образовании их участвует й общих случайных величин последовательности х[а]. При й=У значения Цп] и Ца+й] становятся некоррелированными, Характер корреляционных связей процесса $[а] определяется, очевидно, лишь выбором значений коэффициентов с„и ие зависит от закона, распределения исходных случайных чисел х[п!. Если исходные случайные числа распределены нормально, то в силу линейности преобразрвания последовательность Цп] будет нормальным случайным процессом.
Случайная последовательность коррелированных чисел Ца] имитирует в точках 1 =пЛ6 значения некоторого стационарного случайного процесса $(1) с корреляционной функцией Р(т), которая в точках т„=аА~ определяется, как легко 'видеть, соотношениями: Действительно, накладывая условие (2.7) иа систему (2.8), получим (2.9). Вычисление корреляционной функции !с[а] по формулам (2.9) является, по существу, операцией свертки дискретной функции с„= с[п] с дискретной функцией с3п]=с[ — п], т.
е. Р [и] = с [а] эк с [и] = Е с [й] с [а — й], и ='О, У вЂ” 1, г~л+~ э — и Ес[й]с [а — й], п=О,(У вЂ” 1). Вычисление корреляционной функции Я(л) по формулам (2.9) можно свести также к перемножению матриц: Л [О] и [1] с, с, с, ... сн ~ ам с, ... с, О Са )1 [У вЂ” 2] я [ж — ц с,, с ... О О с О ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
