Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Вероятность того, что случайная точка плоскости, находящаяся под кривой и (у), окажется в элементарной полосе с основанием (у, у+Лу), очевидно, пропорциональна ш(у), а вероятность попадания точки под кривую ш(у) по условию равна единице, что и требуется. 3. Метод кусочной аппроксимации Существуют различные приближенные приемы моделирования случайных величин; численное решение уравнения х=)»'(у) относительно у при использовании метода нелинейного преобразования, обратного функции распределения; замена непрерывных распределений соответствующими дискретными распределениями, для которых можно указать достаточно простые моделирующие алгоритмы, и другие приемы (1О, 23). Среди ннх универсальным н наиболее простым является метод кусочной аппроксимации, предложенный Н.
П. Бусленко (11). Сущность этого метода состоит в следующем. Пусть требуется получить случайную величину у с функцией плотности ш(у). Предположим, что область возможных значений величины у ограничена интервалом (а, Ь) (неограниченное распределение можно приближенно заменить ограниченным). Разобьем интервал (а, Ь) на и достаточно малых и~нтервалов (а, а +»), т=О, л — 1, а»=а, а„ =Ь, так, чтобы распределение заданной случайной величины в пределах этих интервалов можно было довольно точно аппроксимировать каким-нибудь, простым распределением, например равномерным, трапецеидальпым н т. д.
В дальнейшем рассмотрим кусочную аппроксимацию равномерным распределением (рис. 1.3). Пусть Р— вероятность попадания случайной веди- чины у в каждый из интервалов (а, а +,). Получать реализации величины у с кусочно-равномерным распределением можно, очевидно, в соответствии со следующей схемой преобразования случайных чисел: 1) случайным образом с вероятностью Р выбирается интервал (а, а +1).„'2) ~формируется реализация ьЛу случайной величины, равномерно распределенной в интерва- 22 ле (О, а ы — а„,); 3) искомая реализация 'у получается по формуле у = пни+ "Луп~. Случайный выбор интервала (а, а ы) с вероятностью Р означает, по существу, моделирование дискретной случайной величины, принимающей п значений а, т=О, п '1, с вероятностью Р каждое, что можно сделать достаточно просто (11).
Интервал (О, 1) разбивается на п интервалов (х„ч х„,ы), т=0, а — 1, хе=О, х„=1, длиной х ~1 — х„,=Р,„каждый. Из датчика случайных Ю ат елм» Рис. 1.3, равномерно распределенных в интервале (О, 1) чисел выбирается некоторая реализации ьх. Путем последовательного сравнения кх с х определяется тот интервал (х, х -и), в котором оказывается ьх, !В основу этого процесса положен очевидный факт: вероятность попадания равномерно распределенной в интервале (О, 1) случайной величины в некоторый подынтервал (х , х ы) равна длине этого подынтервала. Рассмотренный выше процесс представляет интерес не только как составной элемент метода кусочной аппроксимации, он широко используется в качестве алгоритма для моделирования дискретных случайных величин и случайных событий 110, '111).
Для моделирования случайных величии методом кусочной аппроксимации наиболее удобно при машинной реализации выбирать вероятности попадания во все интервалы (а, а,аы) одинаковыми (Р =1(п), а число и таким, что и='2'», где 1»' — целое число, меньше нли рав- 23 ное количеству двоичных разрядов чисел, вырабатываемых датчиком случайных чисел (10, 1'11 ~В этом случае величины а должны быть выбраны такими, чтобы а и+1 ге(у)г(у= — =2 ". а При равенстве вероятностей Р для случайного выбора индекса гп можно использовать первые М разрядов числа, извлекаемого из датчика равномерно распределенных случайных чисел.
Используя рассмотренный прием, приходим к следующему способу преобразования равномерно распределенных случайных чисел в случайные числа 'с заданным законом распределения. Из датчика равномерно распределенных в интервале (О, 1) случайных чисел извлекается пара реализаций эхь "хь Первые У=!одзи разрядов числа ~х, используются для нахождения адресов ячеек, в которых хранятся величины а н а +„а затем по формуле ау=а + "хэ'(а +,— а,„) получается реализация "у случайной величины у с заданным законом распределения.
Такой алгоритм является довольно экономичным,по количеству требуемых операций, которое не зависит от числа и, т. е. не зависит от точности кусочной аппроксимации. Однако с увеличением точности аппроксимации возрастает количество ячеек памяти, требуемое для хранения величин а , 1п= =О, п, что является недостатком рассмотренного метода, в особенности при больших и. 4. Некоторые специальные методы моделирования случайных величин Для моделирования случайных величин с заданным законом распределения можно использовать и другие свойства преобразований случайных чисел. Известно, например, что распределение произведения двух независимых случайных величин, одна из которых имеет релеевское распределение (1 4), а другая распределена по закону арксинуса (1.7) с параметрами (О, '/т), т.
е. с ну- 24 левым средним значением и дисперсией, равной '/э, яв* ляется норжальныл (37, 50). Это позволяет формировать нормальную случайную величину путем следующего преобразования системы двух независимых равномерно распределенных в интервале (О, 1) случайных чисел х, и хз. у = е ))' — 21п х, з(п 2ех,. Параметры получаемой этим способом нормальной случайной величины будут (О, о').
Для моделирования случайных величин с некоторыми законами распределения иногда удобно использовать преобразования нормально распределенных случайных чисел. Так, например, случайные величины с релеевским н показательным законами распределения (1.4) и (1.5) можно получить путем преобразования системы двух независимых нормальных случайных чисел х, п хз с параметрами (О, о2) в виде / 2 2 у=у х1-+х,, у=х', +х, (1.1! ) соответственно.
При этом для релеевского распределении (1.4) параметр о 'будет совпадать с параметром о исходного нормального распределения, а для показательного распределения (1.5) параметр Х связан с параметром а исходного нормального распределения соотношением А = '/зо'. Алгоритмы (1 10) и ('1 11) основаны на известных свойствах преобразований нормальных случайных величин 150). Немного изменив эти алгоритмы, можно моделировать случайные величины с другими распространенными законами распределения, а именно, обобщая формулы (~1,10) и (1Л1) в виде у ~У (х +а),+хе у ч~~~ хх (1 12) где хк — нормальные случайные числа с параметрами (О, о'), получим алгоритмы для моделирования случай- ных величин с законом распределения Райса и законом 25 распределения )(г с гп степенями свободы соответственно; аг+а 2м1гг(шГ2) аг ~, агу где 1,(х) — модифицированная функция Бесселя нулево* го порядка; Г(х) — гамма функция.
5. Заключительные замечания Существует довольно большое количество методов моделирования случайных величин. В данном параграфе изложены основные из них, при этом преследовалась цель рассмотреть в первую очередь принципиальную сторону вопроса и привести примеры алгоритмов для моделирования случайных величин с распространенными законами распределения. Более подробные сведения о цифровом моделировании случайных величин читатель найдет в специальных руководствах (10, 23).
Ниже дается краткая сравнительная характеристика рассмотренных методов моделирования случайных величин и некоторые рекомендации для выбора того или иного метода при решении конкретных задач. Если в задаче требуется высокая точность воспроиз. ведения законов распределения случайных величин, то целесообразно использовать алгоритмы, не обладающие методической.погрешностью. К ним относятся алгоритмы типа (1.4) — (1.7), (1.9) — (1.!1), погрешностью которых обычно можно пренебречь, так как она определяется лишь погрешностью выполнения на ЦВМ необходимых нелинейных преобразований и отклонением закона распределения исходных случайных чисел от равномерного (нормального). Примером систем, при моделировании которых может потребоваться высокая точность воспроизведения законов распределения случайных величин, являются системы обнаружения радиосигнала с низкой вероятностью ложной тревоги (порядка 10 — ' — 10-') (бб).
Другим достоинством указанных алгоритмов является простота подготовительной работы, так как преобразования равномерного закона в требуемый закон распределения даются в виде готовых аналитических завнси- 26 мостей. Такого вида алгоритмы, кроме того, позволяют легко изменять форму закона .распределения в процессе моделирования случайных величин, закон распределения которых зависит от переменных параметров. Например, изменение в процессе моделирования функции плотности случайной величины, распределенной по закону Райса, сводится к изменению по соответствующему закону только параметра а в алгоритме (~1.12). Основным недостатком этих алгоритмов является сравнительно низкое быстродействие, так как осуществление на ЦВМ нелинейных преобразований часто требует довольно большого количества элементарных операций. ~В задачах, не предъявляющих высоких требований к качеству случайных величин, для сокращения количества элементарных операций рекомендуется использовать более экономичные приближенные методы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
