Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 11
Текст из файла (страница 11)
О О з У вЂ” 1 сн (2.1 1) Таким образом, методом скользяще~о суммирования по алгоритму (2.!) можно формировать дискретные реализации стационарных нормальных случайных процессов с ограниченной во времени корреляционной функцией, определяемой выбором весовых множителей са. Если коэффициенты св заданы, то корреляционную функцию случайного процесса, формируемого методом скользящего суммирования, легко можно найти из соотношений (2.9) — (2.11).
Но это лишь задача анализа. Для моделирования случайных процессов методом скользящего суммирования требуется решать задачу синтеза: по заданной корреляционной функции ]т(и] найти нужные коэффициенты (весовую функцию дискретного фильтра), — которая, как и многие другие задачи синтеза, значительно сложнее задачи анализа. Рассмотрим возможные пути ее решения. !. Получение весовых коэффициентов путем решения нелинейной алгебраической системы уравнений Наиболее простым по своей идее способом синтеза дискретного фильтра с заданными свойствами является получение коэффициентов са из решения нелинейной алгебраической системы уравнений (2.9).
В работе [69] привалены три метода получения приближенного решения этой системы иа ЦВМ. Однако получение весовых множителей таким путем требует довольно значительной вычислительной работы. Если в задачах, использующих молель случайного процесса, требуется изменить шаг дискретизации, то это связано либо с повторным решением укззанной системы для соответствующего шага, либо с применением интерполяции моделируемого процесса по дискретным точкам, иайленпым с прежним златом После того как подготовительная работа закончена, процесс формирования реализаций случайного ппоцесса методом окользяше- 62 го суммирования (2.1) осуществляется весьма просто, Л[ля запоминания коэффициентов са и текущих значений последователвиости х[л] требуется 2М ячеек памяти.
Обычно число М невелико, напри. мер 5 — '1О. 2. Получение весовых коэффициентов путем разложения функции спектральной плотности в ряд Фурье В [12) предложен новый подход к отысканию весовых коэффициентов сы позволяющий свести подготовительную работу к вычислению значений са по формуле, а именно весовые коэффициенты находятся как коэффициенты Фурье в разложении в ряд, по косинусам функции спектральной плотности 6(ш) моделируемого процесса, возведенной в степень !/з, т. е. аа 1 и га, эцз йна си= — ~ ~ — '6(а)1 соз — 'а(а, а,= — (2.12) а — ц ' о Выражение (2.'12) можно получить, исходя нз следующих соображений.
Пусть для моделирования задан непрерывный стационарный центрированяый нормальный случайный процесс 5(() с энергетическим спектром 6 (а) = ~ 1[(в) е 1 ~(т. со Обычно спектральная плотность 6(а) при достаточно больших а убывает и, начиная с некоторой частоты а„становится пренебрежимо малой, Тогда случайный процесс $(() с достаточной точностью можно заменить (погрешность замены будет оценена ниже) процессом 5а(г) с энергетическим спектром Будем рассматривать случайный процесс Кз(й) как результат воздействия непрерывного нормаль- ного белого шума х(1) с ограниченным частотой а, спек- 63 тром на непрерывную линейную систему, передаточная функция которой определяется соотношением 6,] К (]м) ['=6,(м), (2.13) где 6ч — спектральная плотность белого шума (рис.
2.3). Соотношение (2ЛЗ) выражает известный из теории случайных процессов факт: энергетический спектр шума на выходе линейной системы эуэ/ равен произведениюэнера ~„. )[г () гетического спектра входного шума на квадрат модуля передаточной функции (комплексной ча"йч Ю стотной характеристики) системы. г .хз. Условию (2.13) удовлетворяет бесконечное множество линейных систем, которые отличаются друг от друга фазо-частотными характеристиками, являющимися аргументами комплексной фуакции К()гэ).
Выберем одну из этих систему (систему Кэ) с фазо-частотной характеристикой, равной нулю. Передаточная функция такой системы вещественная. Чтобы удовлетворятьусловню (2.! 3), она должна иметь вид Ко (1 "') — ~ о 6о [(м) ~ Импульсная переходная характеристика, соответствующая передаточной функции (2Л4), равна СО а й(1)= —, ~К,(1 )е" а = — ~ ~ — „, 6„'( )~ г<г — СО о (2.!4) (2.15) Последнее равенство в формуле (2.15) написано в силу четности функции Кч()ш).
Заметим, что система К, физически не осуществима, так как ее импульсная переходная характеристика, определяемая формулой (2.15), от.- лична от нуля не только при положительных, но и при отрицательных значениях 1, причем й(1) =Й( — 1), Однако в данном случае это обстоятельство не является ограничением.
04 (2.16) х (1) = ~ х [и] 1„(1), где 1. (1) = —,' ми [м, (1 — пы)1 М= —; е (~ — лИ) ' м,' х [и] = х (пМ) — последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с параметрами (О,а'); вс а' = — б,де=6, — "' — дисперсия шума х(1). Соотношение (2.16) выражает непрерывный белый шум х(1) с ограниченным частотой а, спектром через дискретный белый шум х[п], значения которого совпадают со значениями х(вЫ). В дальнейшем будем предполагать, что последовательность х[п] ортонормирована (о'=1), тогда 6,= —" =М. ~с Выразим реакцию системы Кч на воздействие х(1) в виде интеграла Дюамеля: 1, (1) = ~Ь (ч) х (1 — ч) г(ч. Отсюда $, [п] = ] й (ч) х (пМ вЂ” ч) и'ъ. Для нахождения последовательности Вз[п] функцию й(1), которая в силу (2.'15) имеет ограниченный спектр, запишем в виде ряда Котельникова: Ь (1) = ~ Ь [п] 1'„(1), (2.18) б — 100 бб Покажем, что дискретные значения Е,[п] процесса 1,(1) на выходе системы К, в точках т„=по(=п — можно а>о точно выразить через дискретные значения входного процесса и дискретные значения импульсной переходной ха.
рактеристики системы. Запишем случайный процесс х(1) на входе системы Кч в виде ряда Котельникова: где й [и] =й(пЫ) = — Ко(]оо) соз ~™ аао Подставив в (2.17) ряды (2.16) и (2.18), получим $, [П] = ~Х„' ~ Ь [й] Х [т] ])х (ч) !' (ПдМ вЂ” ч)й . а= — оо ао=-оо — ос Поскольку )„а(пЬг — т) =) (т), то на основании соотношения ортогональности функций [ы(1): ~[. (!) [.. (1) й(= — „' 6..., где 1, й=п — и, О, йфп — и, окончательно будем иметь %, [и] = ~ с, [й] х [и — й], (2.19) Здесь 'оо со [и] = — и Я = — [ Ко (1 оо) соз ~— аоа = аао ооа ооо а ! 1 Р гао, зиг лом = — ! [ — '6(м) ~ соз — йао=']з,(х)созЬсхах, (2.20) оао о о где з,(х)=К,()аа,х)=[ — "' 0(е,х)1 х = — — безразмерная частота.
ооо Отметим, что формула (2.19) совпадает с известной формулой прямоугольников для приближенного вычисления интеграла, если шаг дискретизации подынтегральной функции й(т)х(! — т) выбрать равным Лй Приведенный выше вывод показывает, что формула прямоуголь- 66 ников с шагом Ы=п/а», в применении к интегралу (2.17) дает точный результат, если функции йЯ и х(1) имеют спектры, ограниченнме частотой азо =ну~Я.
Коэффициенты са[Ц как это следует из формулы (2.20), совпадают с коэффициентами Фурье в разложе- нии функции Ка()аз) на интервале ( ы„ато). Следова- тельно, со[к) — «О при й — а-оо. Как правило, коэффигхи- енты са[й] достаточно быстро убывают. Так, например, если функция Ко(1ы) непрерывна, то для с4я] имеется оценка [76]: са [я]('Я(йа, где Я вЂ” некоторое положительное число. Поэтому обычно достаточно ограничиться в (2.19) не- большим количеством членов и тогда можно записать ео [и] = 6„[п] = ~~~ с, [Уг] х [п — й], (2.21) ь= — р Поскольку исходная последовательность х[п] стационар- на, то статистические свойства последовательности $ [п] не изменятся, если алгоритм (2.2!) записать в ви- де, аналогичном (2.1), т.
е. и ' $, [п]=~„'сьх [и — я], (2.22) А=! где )а' = 2р+!1, с„= сДИ вЂ” р — а!]. Практически параметр р, ограничивающий число ве- совых коэффициентов со[Ц можно выбирать из условия Р ! — —,[)~~с [й] (в, (2.23) — Р где о' — дисперсия моделируемого, случайного процесса; е — некоторое малое число (погрешность). Неравенство (2.23) основано на том, что сумма квад- ратов весовых коэффициентов со[к] должна быть равна дисперсии моделируемого случайного процесса (см.
(2.9)]. В рассматриваемом методе моделирования подготови- тельная работа состоит в вычислении интеграла (2.20) по известной функции спектральной плотности модели- руемого процесса. Подготовительная работа может быть проделана,без применения ЦВМ, если интеграл в (2.20) беретсн в явном виде. Если же интеграл (2,20) не явля- ла 67 ется табличным и не выражается в элементарных нли ранее табулированных специальных функциях, то при нахождении коэффициентов соЯ может оказаться целесообразным аппроксимировать Ко(]ш) некоторой функцией, разложение которой в ряд Фурье заранее известно. Обычно, котда частота ш, выбрана достаточно большой, верхний предел в интеграле (2.20) можно положить равным бесконечности, что часто облегчает вычисление этого интеграла, хотя и вносит некоторую погрешность.
В случаях, когда спектральная плотность задана графически или таблицей, коэффициенты со[й] могут быть найдены известными методами приближенного гармонического анализа. Заметим, что поскольку дискретная весовая функция со[й] является четной (со(й]ч ао( — й]), то при моделировании случайного процесса можно хранить в памяти машины не все значения св(Л], а лишь значения ее при й >О. Корреляционная функция последовательности $. (и], получаемой с помощью алгоритмов (2.2[) или (2.22), будет несколько отличаться от заданной корреляционной функции, так как эти алгоритмы являются, вообще говоря, приближенными. Представляет интерес оценка погрешности данного метода моделирования.
Предположим, что моделируемый непрерывный процссс й(Г) восстанавливается по его приближенным дискретным значениям $.[ц], получаемым по данному алгоритму, с помощью ряда Котельникова. В результате такой интерполяции образуется непрерывный случайный процесс $.(т), знергетичсский спектр и корреляционную функцию .которого обозначим соответственно как 6г(ы) и Ят(т).
Примем в качестве оценки погрешности метода относительное среднаявадратичаокос отклонение спектральной функции 6в(ы) от заданной спектральной функции 6(оз). Случайный процесс $.(1) можно рассматривать как результат воздействия исходного белого шума х(г) па линейную систему кз. с кмпульсной переходной характеристикой ь (т) = ~' й [п] [„ (г), -Р р а э 1 — „ 1)~ се!Й] е р Вне полосы ( — ыс, ыь) Кз*([ю) =О, кроме того, в силу четности коэффициентов сс[й] фуккция Кз*(]го) является вещественной. Энергетический спектр процесса $.(1)*на выходе системы Кч* равен произведению входного спектра на квадрат модуля передаточной функдии системы, т. е. р ак1з 6ь (о>) = 6з [Кы (]ы)[~ = ~ ~Г сч [й] с р зр Ькь — с, [й] е ', [ ы [ ь, ыз юч (2.24) с, [й] = ~~~~ с, [1] с, [1 — й], й О, — 2р.
г=-р Операция свертки козффициситов со[й] образуется при возведении в квадрат ряда Фурье ~(2.24). Величина относительного среднеквадратического отклонения функции 6г(ю) от функции 6(ю) по определению равна ] [6(ы) — 6,(ы)]то'ы ~ [з'(х) — зо (х)]'г(х о о йз (2.26) СО ] 6' (ы) т(ю о $ зв (х) Н» о где с, [й] = с, [й] загс, [й] — свертка коэффициентов с, [й], й = — р,р, т. е. р с„[й] = ~д сч Я сч [~ — й] й = 0,2р.
(2.25) з= — р+» где з„(х) = Кчч (]ы,х). а' (х) — „6 (мах), отличающейся от импульсной переходной характеристики й(г) конечным числом слагаемых в разложении ~(2Л8). Передаточная функция системы Ка. в полоса частот ( ыю ыч) имеет вид 66 Если представляют интерес корреляционные связи процесса, то можно оценить ошибку и с точки зрения отклонения функции корреляции )г.(т) от заданной функции корреляции Й(т). Йейсгвительно, согласно известному равенству Парсеваля имеем [11 (с) — 11. (ч)1' (т о ,йз— ~ Рз(.) бч о Выражение (2.26) легко преобразуется к виду йз=Ь',+й',, где ~ зч(х) г(х 1 Г Ьг = 1 со ! зз (Х) Й5 зз (х) г(х — погрешность, обусловленная заменой бесконечного спектра огра- ниченным; Ьг = = "[зо(х) — ~ш(х)]'Йс зч о — погрешность, обусловленная заменой бесконечного ряда с,[Ц конечным рядом сг[й], й= — р, р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
