Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Зкономия при вычислениях состоит в том, что интеграл от х, (а) на интервале (О, с) не вычисляется повторно с измененной весовой функцией, а получается в соот- ветствии с (2.76) умножением на р уже вычисленного интеграла Е(1). Рассмотренный прием получения рекуррентных алго- ритмов допускает обобщения.
Так, например, если у не= прерывной системы передаточная функция к(р) = ~;+р) 91 й (() = ~ Сь е ", з=! где (2.76) $ [и! = ~ $ь [п], ь=! (2.77) =С С; Рх+ Р» (2.78) т,и а~я,+ ! имеет простые вещественные корни, то ее импульсная переходная характеристика Й(() является в соответствии с (2.39) суперпозицией экспонент: к,(р„), ик,(р) ~ где Сх =,, К', (рь) = ! Рх Р (Ргла рь †кор уравнения Кг(р) =О. Сумме экспонент импульсной переходной характеристики и(!() соответствует, как нетрудно видеть, сумма рскуррентных уравнений для получения значений моделируемого процесса $((): !ь [и] =-р,й„[и — 1]+б1, [и], рь =ель ][Ма [и] [[ й = 1, ги — последовательность независимых (при различных п) случайных т-мерных векторов с коррелированными координатами ЛЯп], ЛЯи], ..., Л$ ~п].
Элементы корреляционной матрицы вектора [[!Цх[п] ][ Й=1, и! имеют вид (7„г=М ~дй„[и! йЕ! [и] )= '] Сье ' Сге ' г(( = о Формула (2.77) является простым обобщением формулы (2.72). Для формирования векторов с коррелированными составляющими можно использовать методы, описанные в первой главе, Так, например, в трехмерном случае, используя для формирования случайных векторов метод линейного преобразования вектора [[ха[и]][ й=1,3 с независимыми случайными координатами хь[и], согласно соотношениям (1.19), (1.20) получим следую. щий алгоритм: 92 д1, [и] =а„х, [и].
М, [п! =а„х, [и] +а„х, [и], д1, [и] = а„х, [и] + а„х, [и] + а„х, [и], а„=]!г(с„, а„=(т„[~/й„, а„= у' )(„— и,!(и!!, а„= Я„lу~й„а„= - з (Є— „, и„ [[(7ы]] ' — корреляционная матрица с элементами, ь= !,з вычисляемыми по формуле (2.78); х„[и[ — трехмерная выборка независимых случайных чисел с параметрами (0,1).
Рассмотрим теперь случай, когда корни передаточной функции непрерывного формирующего фильтра простые, но не обязательно вещественные. Тогда импульсная переходная характеристика фильтра также будет являться суммой экспонент вида (2.76), но эти экспоненты либо частично, либо полностью будут комплексными.
При вещественной импульсной переходной характеристике й(() комплексные экспоненты будут попарно сопряженными, так что можно записать й(() —.2 Ке х~~~ Сье " + ~' Сье ",' А=! ь.= т, -!- ! где и,— число комплексных корней; р„,й=1, и!, — комплексные ко жи; рю и =и,+1,п! — действительные корни. В этом случае по аналогии с рассмотренными выше примерами нетрудно прийти к следующему рекуррент. ному алгоритму формирования дискретных значений шума на выходе непрерывного формирующего фильтра: ч[п[=2йе ~ ч„[п] + ~ Фа [и], (2,79) где Еа[и]=йзйа [и — 1]+Айза, [и]+]Ай,а, рт=[, ти,У2; Еа[и]=рА,[и — []+Вез[и], й= ги,+1,иг; рьа! ра=е ", 2=1, и; ]] Ачз [и] ]] Й = 1, и — последовательность независимых между собой и-мерных нормальных случайных векторов с коррелированными координатами Лая[и].
Элементы корреляционной матрицы вектора [[Лаз[!!] [] имеют вид ]сз!' = М [АсзАЦ =й!) й'а (р) Ь'!' (1) сУ, (2,80) где й',а-, (1) =]тейа(р), й',з(р) =11пйа(р), й = 1, из,(2 Ьа(р) = — Свел ' . Алгоритм (2.77) отличается от алгоритма (2.79) тем, что некотоРые РекУРРентные послеДовательности йа[и] последнего являются комплексными. Пример 3. Рассмотрим процесс дискретизации непрерывного формирующего филвгра, у которого передаточная функция А,+А,р " (Р) = в +в р+ в р имеет два комплексно-сопря!кеииых корня: — В, + ]Рва! — 4В,В, О — а+)Р, рс=р ! где В,— 4В,В,<О. Импульсная переходная характеристика фильтра имеет вид й (!) = й, (Г) + Ьз (!) = С, е!"'+ С', сл 'г=- 2 ме С, ею =2 1!е С, е~+ ! 1 !!+ т! 2Се'! соз (!1+ т), 1;., О, где А! + Аср! с,-с.
-т-Зс~ — .,+!!, с.! . зР! с= [с и[= ~Р'и~~ -1- ф, Р = агота([!рис). Алгоритм для формирования значений случайного процесса $(!) на выходе фильтра в соответствии с (2.79) сводится к одной рекуррентной формуле: В [и] = 2Кей! [и], й! [и] = рсс! [и — 1]+ +Ай [и]+)дй [и] где Аз![и], Лаз[и] — координаты двумерного нормального случайного вектора с корреляционной матрицей [см.
(2.80)] [[с„ с„ С' ) е~~ соз' (р!+ т) с(! о С' $с~~з!п(р!+ т) соз (р!+т)!з! о Сз ~ Е~~З]П (й!+т) СОЗ (рр+р)С(! м С' $ е з!п' (р!+т) с(! о где к![и), »,[и] — последовательности независимых нормальных случайных чисел с параметрами (О, 1). Аналогичные соотношения получаются при дискретизации формирующих фильтров более высокого порядка. Из рассмотренного примера следует, что подготовительная работа при данном методе моделирования сравнительно простая. Достоинствами получаемых алгоритмов, кроме их простоты, являются отсутствие методической погрешности при любом шаге дискретизации и возможнос7ь выразить параметры алгоритмов в конечном аналитическом виде через параметры передаточной 95 Интегралы в матрице [[]г[![ н данном случае берутся. Это всегда будет иметь место для случайных процессов с рациональным спектром.
Вычислив значения корреляционных моментов и используя формулы (1.12), 41,!4) для формирования двумерного случайного вектора, получим Ьй, [и] = ]!А'„», [и], ЬЬ [п] = ./ л„ вЂ” „— », [л] + йг Вз! — — », [и], 'р'В !1 функции формирующего фильтра любого порядка, лишь бы полюсы передаточной функции были простыми и точно известными. При наличии кратных полюсов у передаточной функции формирующего фильтра также можно найти рекуррентные моделирующие алгоритмы для формирования стационарных нормальных случайных процессов, несколько изменив используемый выше метод дискретизации'. Однако при этом получаются более громоздкие выражения и не столь эффективные алгоритмы.
Этот случай мы рассматривать не будем. Довольно просто можно получить рекуррентные алгоритмы моделирования стационарных нормальных случайных процессов с рациональным спектром, если использовать приближенные методы дискретизации формирующих фильтров. Эти методы дискретизации рассмотрены в третьей главе. Они разработаны для линейных систем любого порядка и для случаев, когда полюсы передаточной функции известны, но не обязательно простые, и когда полюсы неизвестны. 2.4.
Моделирование стационарных нормальных случайных процессов в иерааноотстоящих точках Одной из особенностей рассмотренных в предыдущем параграфе рекуррентных алгоритмов, основанных на дискретизации непрерывных формирующих фильтров, является то, что они весьма удобны для моделирования стационарных случайных процессов с переменным шагом (в неравноотстоящих точках). Действительно, из принципа построения этих алгоритмов видно, что для получения очередного значения процесса, отстоящего от предыдущего значения на произвольную рЫ величину Ы, достаточно найти коэффициенты рь=е " где рь — полюсы передаточной функции формирующего фильтра, и сформировать случайный вектор ~(Л$л (( А= ), т, с корреляционной матрицей, определяемой коэффициентами ря (см. формулы (2.78), (2.80)), т.
е. достаточно сделать параметры рекуррентных алгоритмов переменными. В остальном процедура формирования случайного процесса остается такой же, как н при постоянном шаге. Поскольку параметры алгоритмов удается 96 выразить через параметры формирующего фильтРа и шаг б( в виде формулы, то пересчет параметров, необходимый для моделирования случайных процессов с переменным шагам, осуществляется довольно просто.
Следует отметить, что данный метод моделирования не плгеет методической погрешности как при постоянном, тйк и при переменном Шаге дискретизации, в отличие от приближенных алгоритмов для моделирования случайных процессов с переменным шагом, которые можно получить путем замены постоянных параметров в алгоритмах, основанных на факторизации (9 2.3), соответствующими переменными параметрами (57). Пример 1. Рассмотрим маделирояяннс с переменным шагом случайного процесса й(1) с эхспоненцизльной корреляционной функцией (2.66). Пусть 1 — последовательность точек, н которых должны формироваться значения случайного процесса $(1). Заменяя и злго— я„щ ритме (2.74) постоянный параметр р = о " переменным парамсгром р, получим следухнций моделирующий алгоритм: й(() =р й(Г,)+$/1- рхх(л), где —,и — ч (г -г,1 р С я е п я-г х (л) — последовательность независимых нормэльчых случзйных чисел с параметрами (О,1).
Кзх уже отмечалось, для получения значений случайных процсссон и неряяноотсгоящих точках могут быть использованы рассмотренные я первой главе методы формирования реализаций случайных векторов, но эти методы по своей эффектинносгн сущестненно уступают рсхуррентным мстодзм. 2.5. Сравнительная характеристике методов моделирования стационарных нормальных случайных процессов Выше были рассмотрены различные методы моделирования стационарных нормальных случайных процессов и различные пути проведения подготовительной работы при получении параметров моделирующих алгоритмов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
