Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки, свои области наиболее эффективного применения. Ниже дается сравнительная характеристика этих методов, цель которой †облегчи исследователю выбор метода моделирования, соответствующего его задаче. 7 — 160 97 Метод скользящего суммирования является универсальным методом, пригодным для моделирования случайных процессов с рациональным и нерациональным спектром. Это, вообще говоря, приближенный метод, причем методическая погрешность может быть сделана сколь угодно малой, однако последнее достигается путем увеличения числа слагаемых в формуле скользящего суммирования, что уменьшает быстродействие.
Если моделируемый процесс задан свой корреляционной функцией, а энергетический спектр процесса неизвестен, причем .вычисление его путем Фурье-преобразования корреляционной функции затруднительно, то получение весовых коэффициентов в алгоритме скользящего суммирования целесообразно производить путем решения нелинейной алгебраической системы уравнений на ЦВМ (5 2.2, и. 1). Если моделируемый процесс задан своим энергетическим спектром (аналитически или же в виде экспериментально снятой кривой), а также в случаях, когда энергетический спектр легко находится по заданной корреляционной функции, получение весовых коэффициентов рекомендуется производить более простым путем— методом разложения в ряд Фурье, описанным в 5 2.2, п.
2. При разложении в ряд Фурье могут быть использованы как аналитические, так и численные методы, реализуемые на ЦВМ. В последнем случае для сокращения объема вычислений можно применять алгоритм так называемого быстрого преобразования Фурье, предложенный Кули и Таки (100). Получение весовых коэффициентов методом факторизации ($2.2, п. 3) целесообразно лишь в случаях, когда моделируемый процесс является процессом с рациональным спектром, однако следует иметь в виду, что в этих случаях обычно более эффективно применение рекуррентных алгоритмов. Наиболее просто весовые коэффициенты в формуле скользящего суммирования находятся в тех случаях, когда известно, что моделируемый процесс является результатом воздействия белого шума на линейный фильтр с заданной импульсной переходной характеристикой ($2.2, п.
4). Стационарные нормальные случайные процессы с рациональным спектром невысокого порядка целесообраз- 98 но моделировать с помощью рекуррентных алгоритмов, которые наиболее экономичны по количеству элементарных-операций и ячеек памяти и не обладают методической погрешностью. Описанные в 5 2.3 два метода получения параметров рекуррентных алгоритмов по заданной корреляционной функции или энергетическому спектру моделируемого процесса по трудоемкости примерно одинаковы. Однако последний из них предпочтительнее, если норма,чьный случайный процесс требуется моделировать не в равноотстоящих точках.
В заключение заметим, что методы моделирования нормальных случайных процессов продолжают совершенствоваться. Например, в работах [1, 66) рассматривается несколько иной подход к моделированию нормальных случайных процессов. Поэтому приведенные здесь рекомендации по моделированию случайных процессов не являются исчерпывающими и в дальнейшем, когда накопится более богатый опыт моделирования, могут быть дополнены. Некоторые дополнительные рекомендации по моделированию нормальных случайных процессов даны в следующем параграфе.
2.6. Алгоритмы для цифрового моделирования. стационарных нормальных случайных процессов с часто встречающимися типами корреляционных функций Выше были описаны различные методы моделирования случайных процессов, где рассматривалась в основном принципиальная сторона вопроса.
В данном параграфе приводятся результаты применения этих методов для моделирования стационарных нормальных процессов с распространенными типами корреляционных функций. При этом проделана вся необходимая подготовительная работа и получены простые моделирующие алгоритмы, пригодные для непосредственного использования. Кроме того, даны примеры практической реализации моделирующих алгоритмов.
В табл. 2.2 даны типы корреляционных функций и энергетических спектров моделируемых процессов и соответствующие им алгоритмы. Ниже даются необходимые пояснения. 7~ 99 Та они ци о.о Коррелиционнаи ф)икция )((т) График График аее (т) е'е и* 1 т 1 соа Рц)р л(цр ам-ы.1т1() +,(т() № по по- рядку Аналитическое выражение „,е — и 1 т 1 ( сои иат + †' и п а) т )) иа о*с — и 1 т 1 (соа шат — — а.п иа 1 ч 1 ) е — цпс(у— у( л)р т=к д ~~-ансцд— и (ии и фнсрптн~с«кий спектр 6 ( )= ~ й (т)е !ыт(т — со Аналчтачесиос в ариженне Продолжение табл. 2.2 Корреляционная функция я (т) И по по.
репку График Лнвлнтитесксе выражение в)п сз 6 т (е» (и — ш Ы 2 ете ( -)- штт 1 б ) т' ег аг ео (ш) — = О. е( П)) Ии иваяив. В граФе (3) к(, — вто те вяавеиия л, прн которыя пи Парам тры алгоритма Пар«метры алгорптма 1 (л) = авк (л) 4- + ЬТ (л — 11 т, = еюв! 104 № по по- Рюо'х Моделнруюогпй алгор!Гм Т 1л! = аюк (л1 + + а,к(л — !)+Ь,т (л — !)+ Е Ьвт [л — 2) ав=«ф'Т вЂ” рм Ь,=р; р=е »Ы и! — ໠— ю 1 (а!л У' а2 — 4»2)/2; а, =«а«/аг 1 Ь,=2Рсов те' Ь,= — Р" ю= Р (Р" — !) сову«! а,=! — Рю; р=е Т, Т =а,в/. Те=а«Ы ю = а»=а вгг (ю,* 'у а — 4» )/2; ог=ююа/ю! вГг22 Ь, = 2Р сов тю: Ь = — Р*! «ю = Р (Р* — !) сов Тю + + — '(! + р ) РЫп т,; ю а, =! — р' — чр* Ып теса»та! р= т, т. = .В!.
тю-- «Ы .. = -.= ° Уу. * г' — ° ы ° = ы: ' — У ! о Ь, = орсо» тю! Ьв = Рт! ««в р(рю!)СОВ(в — (!+у)РВ!ПТЮ ю а = ! — Рю+4р в!птюсовтю; ю аю р=е — Т., 1„= а,в!, Тю — — ~«ВГ. о =ю =юу ( л)/а — 4аг/2! 2 ю= о! , = „,/; Ь, = 2р; Ь, = — р'! ю = р (! -1-1„) — Р (1 + Т )! а = ! — 4Р'Т -'Р ! р=е Т .' Т =а,д/ № 'м» па- рад»у Моделируюаий алгорнтм Р Т(л)='ьт с »1« — Ы в — Р н — ! Т 1») = "е ~~ .» 1» — л! в=О Продолжение ли!де. 2.2 в!п Т,В с = — —, Т„ма! Ь »Т« Т вЂ” 2 2Ь с — "е,т;!/2: 4' ю Т =аЫ. с =2юЫ вЂ”, т, -!/2; е Гт, ю !+412Ь» ю ! с.= —:и= [ — 1+ !; [.1 ! Т ! — — целая честь числа —, т, = а,Ы Т Заданный стационарный нормальный непрерывный случайный процесс Ц1) с корреляционной функцией Р(т) изображается на ЦВМ в виде дискретной последовательности его значений, относящихся ко времени 1„=пй1, где Ы вЂ” шаг дискретизации, а — целочисленный аргумент.
Все рассмотренные здесь алгоритмы предназначены для получения на ЦВМ дискретных, неограниченных во времени реализаций 41п)=4(ай() моделируемого случайного процесса $(1). Во все эти алгоритмы заложен принцип преобразования последовательности х(п) независимых нормально распределенных случайных чисел с параметрами (О, 1) (дискретный белый шум) в последовательность $п), коррелированную по закону кгп~1= МЯЦЯй+ п1) = Н (пА( ) . Случайные процессы с корреляционными функциями, помещенными в таблице под № ! — 5, относятся к классу случайных процессов с рациональной спектральной плотностью. Для моделирования таких процессов наиболее удобным является применение разностных уравнений (3 2.3), что приводит к алгоритмам, не имеющим методической погрешности и сводящимся к простым рекуррентным соотношениям. Алгоритмы № 1 — 5 получены этим способом. Алгоритмы № 1 и 2 для моделирования процессов с экспоненциальной и экспоненциально-косинусной корреляционными функциями уже рассматривались в 3 2.3 и пояснений не требуют.
Алгоритмы № 2 — 5 одинаковы и отличаются лишь значениями параметров а», аь Ьь Ьь нахождение которых в каждом конкретном случае свОдится к вычислениям по формулам, приведенным в табл. 2.2. При выводе выражений для вычисления параметров рекуррентиых формул в алгоритмах № 3 — 5 использовались преобразования, рассмотренные в $ 2.3 на примере экспоненциально-косинусной корреляционной функции: спектральная плотность Р(г) последовательности й(п1 для каждого типа корреляционной функции записывалась согласно (2.51), суммирование соответствующих бесконечных в обе стороны рядов осуществлялось по таблицам односторонних дискретных преобразований Лапласа (851, а факторизация числителей полученных дробно-рациональных спектральных функций производи1ой лась путем разложения полииомов А'(г) на множители (полиномы имели порядок не выше второго) с последующим использованием корней полиномов согласно выражениям (2.61) ~и (2.62). Знаменатели спектральных функций оказывались автоматически факторизованными.
Для моделирования случайных процессов № 6 — 8, которые не относятся к классу процессов с рациональной спектральной плотностью, был применен метод скользящего суммирования как наиболее эффективный в данном случае. Согласно алгоритмам г(» 6 — 8 последовательность е(~) получается методом скользящего суммирования последовательности х(и1 с весом сь Выражения для весовых коэффициентов были получены путем интегрирования энергетических спектров процессов по формуле (2.12). При этом полагалось, что частота дискретизации для случайного процесса № 6 [процесс с равномерным в полосе ( — в., ы.) спектром) больше или равна н.. Относительно процессов Ь(» 7, 8 предполагалось, что частота дискретизации достаточно велика, так что верхний предел в интеграле (2.12) можно принять равным бесконечности. Поэтому выражения для коэффициентов сх в алгоритмах № 7, 8 следует применять при у.= =ы.А1«=,0„5, Замена конечного предела бесконечным позволила в данном случае свести интегралы типа (2.12) к табличным (25).
Алгоритмы № 6 — 8 являются приближенными, однако при увеличении параметра р методическая погрешность может быть сделана пренебрежимо малой. При выбранных значениях у. и р погрешность метода легко оценивается путем свертки весовых коэффициентов. Пример вычисления коэффициентов сд и расчета погрешности метода для случайного процесса с корреляционной функцией № 8 был приведен ранее в 3 2.2. В этом же параграфе дано описание алгоритма для моделирования случайного процесса № 9 (см.
алгоритм (2.48)), Алгоритмы, приведенные в табл. 2.2, были подвергнуты практической проверке. Проверка производилась путем выработки на ЦВМ реализаций моделируемых случайных процессов длиной в 1000 дискрет при о=1 и при заданных значениях параметров у» и у». По этим реализациям вычислялись выборочные корреляционные функции, которые сравнивались с заданными корреляци- 107 оняыми функциями. Исходные независимые случайные числа х(п! вырабатывались по стандартной программе датчика нормальных случайных чисел для ЦВМ М-20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
