Борисов Ю.П., Цветнов В.В. Математическое моделирование радиотехнических систем (1985) (1186205), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Задача' построения статистического эквивалента (математической модели НЗ) заключается в замене его ЛЗ (хотя бы по флюктуациям) с выходным процессом (см. рис. 6.1) У. (1) =т„(1)+д.'(1) (6.8) со статистическими характеристиками (1„Е,) =(д,'(1,)у,'(1,)>; 0 (Е) = г (1, 1). (6.9) Адекватность процессов УЯ и уа(Е) обеспечивается по нескольким критериям, что дает несколько разновидностей метода статистической линеаризации: 1) равенство математических ожиданий и дисперсий: те (1)' (6.10) н, как следствие, равенство дисперсий. Моделирование безынерционных нелинейных звеньев. Наибольший практический интерес представляет статистическая линеаризация безынерционных нелинейных звеньев (БНЗ) с нелинейной зависимостью У=О(х)'. Как следует из статистической теории безынерционных нелинейных преобразований случайных процессов [7 — 91, необходимые выходные статистические характеристики находятся через заданные законы распределения (плотности вероятностей) входного случайного процесса рь(х, 1); ра(хь хгб го сг): т (1) — с О (х)) =- ~ О (х) р, (х, 1) ах; г1 (1) ~О (х)> т '(г)= (О-"(х) р (х, 1)йх — т„"(1); (6ЗЗ) г„(1„1 ) = <О (х,) О(х,)> те(1 ) тг(1ч)= — ЯО(х,)О(х,) р (х„х„1„1,)йх,йх, т„(1,)те(1я).
При использовании первых двух критериев применяют два типа статистических эквивалентов: линейный по флюктуациям (рис. 6.2,а), для которого и =О,(т„); д,'(1) =-К,(1) х'(1); (6.14) линейный по математическому ожиданию и флюктуациям (рис. 6.2,б), для которого т„(1)=К,(1)т,Я; У„'(Г)=К,Я)У(1). (6.15) Параметры К1(1), Кс(1), Ос(т„) называют коэффициентами статистической линеаризации. Чтобы найти их по первому критерию адекватности, достаточно воспользо- 139 Ряс. 4.2. оол Уо зало с Е о + Ул /Гона о Ул Щ ту ола уо <а) ул Л * + е о + Ул Уона о Ул Ряс. а.э. ваться формулами (6.13), (6.14).
В результате для схе. мы на рис. 6.2,а имеем 6, (т.(()] ту(() ~6(х)у (х, 1)(хл ] П (х) рс (х, 1) Нх н) "'у (') — с Ко (() — т (г) (6.16) При использовании второго критерия адекватности для схемы на рис. 6.2,6 К,"' (1) = К,'" (1) = т„((Ут„((); (6. 17) хо (х) р1(х, 1) Ух в т (1)ту (1) Влу (1) К' (') Р. (1) о (1) Из решений (6.16), (6.17) следует, что коэффициенты статистической линеаризации в общем случае зависят от т„, 6(х), р1(х, (), В частном случае гауссовского входного сигнала Ко(()=КО (т,(1), а,((), 6], К,(()=К, (т„((), о,(4), 6]; !40 6,(т„)=6с [тх(4), ох(1), 6].
Следовательно, при статистической линеаризации параметры схем на рис. 6.2 подбирают, исходя из параметров т„(1), о„(1) входного гауссовского процесса. Прн использовании третьего критерия адекватности применяют эквивалентную линейную схему (рис. 6.3). Можно показать 1!7], что ее коэффициенты статистической лннеаризации Ко((), Ка(1) и импульсная характеристика но((, т) определяются соотношениями ( ) Р, (х, ) ~ 1з> ® ту (1) ],() (6.)а ],(() (6 ) ( (6.19) с, о. ] Гх(ал са) Ш((л сл) Ш((а аа)л(слС(аа ох (аа) ол (аа) оу 6а аа) о„(га) оу (са) (6.20) а=с Здесь р„((ь 1а) — нормированная корреляционная функ- ция входного случайного процесса и введены коэффици- 141 Для нахождения решений (6.19) используется один пз методов статистической радиотехники — метод корреляций 12, 7, 9], позволяющий вычислить корреляционные функции гауссовского процесса на выходе произвольного БНЗ.
Сущность метода сводится к разложению двумерной нормальной плотности вероятностей в ряд Эджворта. Тогда решение для ковариационной функции у(4) имеет вид Му(1~, (а) =с у(1 ) у(( )) = го(( (~)+ту((,) ту(( ) оо(~а) сл(~а) ао( =Е енты с„(г) = с„(т„, о,) = ~'6 (а„г+ т„) ф"> (г) ~Тг, ЛТ„(1) =СО(1) =Са(то, ао); Р (1) — г (1, 1) — у ) о=1 Рхр (Г) ' ах (') с1 ( ) г„(Т„Г,) = -( *) -( с) р,(1„1,). 4',4 Г(о+!) (6.22) С помощью (6.22), (6.16), (6.17) нетрудно найти коэффициенты статистической линеаризации схем на рнс.
6.2 при гауссовском входном процессе ба(п1, а,)=т„(т„а )=са(т, а ); Ка'"(т, ас) =Ка"1(т„о,) =ср(тс, а.)/т*; Г(о+ 1) К)'1 (т„о,) = С, (т„о„)!о„, (6.23) Моделирование инерционных нелинейных звеньев, Статистическая линеарнзация применяется и для инерционных нелинейных звеньев (ИНЗ). Для высокочастотных ИНЗ применяется статистическая лннеаризация лишь для БНЗ, а линейное звено описывается методом несущей. Для низкочастотных ИНЗ (рис. 3.5) поступа1от следующим образом.
Вначале все БНЗ заменяют их статистическим эквивалентом в рамках метода статистической линеаризации, получая линейную следящую схему (рис. 6.4), которая описывается двумя взаимно связанными линейными дифференциальными урав- 142 оа 1 Г со~ <р1о1(г)= — „1р(г); <р(г)= — =ехр~ — — ~. (6.2!) Кх" ' ' Р2о ~ 2) Коэффициенты (6.21) в методе корреляций играют фундаментальную роль: через них выражаются любые статистические характеристики случайного процесса на выходе БНЗ: Рис. 6.4. пениями для т„, уа.
Для их решения применяют операторные методы, приводящие к алгебраическим уравнениям относительно тр и а„. Решая их специальными методами (16, 17], находят статистические характеристики т„(1), о„(1) н другие на выходе схемы на рис. д.5. 6.2. ПОСТРОЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТОВ МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ Сущность метода. Этот метод применяется [17, 186 для составления статистических эквивалентов нелинейных звеньев и радиозвеньев с колебательными процессами на входе и выходе. Рассмотрим сущность метода на примере безынерционного нелинейного раднозвена (БНРЗ) с широкополосным выходным сигналом (рис. 6.5,а), когда на его входе действует смесь х(1)=т (1)+хо(1)= = т„р+ и, (Г) +ха (1), (6.24) -состоящая нз постоянной (усредненной по времени) составляющей т сро Л1,(1)=(х(1) ) произвольно модулированного сигнала и,(1) =Е,(1) сок Ф,(Г) = Е,(1) соз (о,( — р,(1)! = = т, Я вЂ” т„,р —— х (1) — =х (1)) и стационарного низкочастотного шума ха(1), имеющего.
нулевое математическое ожидание, дисперсию Р„=а'„ н нормированную корреляционную функцию р,(т). По физическому смыслу безынерционных нелинейных пре- 143 Рис. 6.5, образований выходное напряжение схемы на рис. 6.5,а можно представить в виде у (1) = тр(1)+ у'(1) = тр,р+ ас (1)+,[~~ и„лЯ+ у'(1). т=! Здесь у'(1) — выходной шум; т„(1) — математическое ожидание: тр(1)=(у(1))=тр, +з,(1)+,У', и, (1), (6.25) т=! где трср=тр(1)=(у(1)) — усредненная (по времени) постоянная составляющая; з,(1) — низкочастотный сигнал (эффект детектировании); и, (1) = =Е, (1)соз[т(р!р1 — сР,(1)[) — т-я !армопика выходного радиосигнала.
Сущность метода гармонической статистической линеаризацни в данном случае сводится к замене схемы на рис.. 6.5,а линейным статистическим эквивалентом (рис. 6.5,6), на выходе которого имеет место напряжение у,(1) = т„(1)+ у!,'(1), где постоянная составляющая и т (1)=т „+з„(1)+и„,(1)+ ~ и, л(1) состоит из компонент, аналогичных (6.25). Однако здесь имеется специфическая особенность — на выходе есть компоненты ясл исака (т р2), которых нет на входе. 144 Поэтому здесь, для сохранения линейной модели, надо иа входе добавить составляющие Рр(1) =Е,(1) или срс(1) в зависимости от вида модуляции и Р, (1) = =Ес(1)соз(т[ар1 — с[!.(1)[).
В результате имеем полные линейные связи в эквиваленте (рнс. 6.5,6) т„„, = К,т„„; у!' (1) = К, (1) х' (1); з, „(1) = К, (1) Р„(1); и, (1) = К, (1) и, (1) = К, (1) Е, (1) сов Ф, (1); (6.26) и,,(1)=К,(1)Р, (1). Теперь для выбора коэффициентов гармонической статистической линеаризацни Кр, К! — Кс надо выбрать критерии статистической адекватности выходных на- пряжений схем на рис 6.5,а и 6. Для различных ком- понент в работах [17, 18[ предлагаются различные критерии: равенство усредненных постоянных составляющих ту л ср=тл ср=тр (1); равенство мощностей продетектированных колеба- ний з~с (1)=ззс(1); равенство усредненных по времени дисперсий шумов 0р,=гр,(0)=77 =г„(0), где г„(т) =М„(т) =(уа(1) уз(1+т) ) — дважды усредненная корреляционная функция шума на выходе схемы на рнс.
6.5,а; равенство усредненных по времени мощностей любой из гармоник выходных радиосигналов и, (1): Рс =Ми (0)=Рс =Мс (О), где М„( )= (и,„(1) и,„(1+*)) — дваждь! усред- ненная ковариационная функция радиосигнала. Применение метода контурных интегралов для рас- чета коэффициентов гармонической статистической ли- неаризации. Для получения вышеописанных решений используют один из наиболее важных методов статис- тической радиотехники — метод контурных интегралов [7, 14[, рассмотренный в гл. 5. Используя (5.48), (6.24)', после замены р=)г находим: у (1) = а [х'(1)1 = — ~у()г)ехрЦ[т„„г+ги,(1)+гх'(1)[)!1г.
(627) 145 Ь (!) = 1 [ !с (] г) ) [гЕ, (!)] ехр (] т„ ср г) )( лл 2 с ~~~с е хр ( — — оог'1 о(г. х (6.29) Из (6.28) следуют решения для всех компонент в (6.25): тл со=то (!)=Ьоо(!); зс(!) =Ьао(!) — Ьоо(1) ' ис а(!)=Ес „(!) соз тФ, Я = =2Ь„о(!) соь тФ,(1). (6.30) Аналогично находим решение дважды усредненной ковариационной функции у(!) для иекогерентных сигнала и шума на выходе схемы на рис. 6.5,а: сол М„( ) = ( д (!) й (7+ ) ) = 1!'. —" Ьл ( ) рл( ), (6.31) аа Г(л+ !) =о ГдЕ Ь„(с)= ~ — ] '] '] г",г,"и(!г,)й(1'г,)ЕХр[1'т„„р(г,+ l )л) т' с с +г,)] ехр ~ — — л~(го!+гоо)]ср,(г„г,; с)ог,Нгс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
