Борисов Ю.П., Цветнов В.В. Математическое моделирование радиотехнических систем (1985) (1186205), страница 17
Текст из файла (страница 17)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ РАДИОЗВЕНЬЕВ Одноканальные радиозвенья. Безынерционным радиозвеном (БНРЗ) назовем звено из последовательно соединенных произвольного безынерционного нелинейного звена (БНЗ) у=6(х) и <формирующего» звена (ФЗ), пропускающего без искажения (с единичным усилением) й-ю полосу биений, расположенную вокруг й-й гармоники нв, несущей частоты входного радиосигналд 1ОВ (рис. 5.7). При (г< й имеем БНРЗ типа детектора, при я=1 — нелинейный усилитель или полосовой ограничитель, при й'=с2 — умножитель частоты. Если входной сигнал постулировать как х(1)=)те(Е (1)ехр(1в,г))=Е (1)сов Ф„(1), (5.41) то выходной сигнал БНРЗ при йЭ»1 можно записать в виде уд(1) = Не(Е„д(1) ехр ()явс())= =Еод (1) соз Фдд (1), где полные фазы Ф< (1) =вс1 Фх (1) ' Совершенно очевидно, что для описания реального БНРЗ (рис.
5.8,а) можно применить моделирование методом комплексной огибающей (рис. 5.8,6). Определение алгоритмов преобразования комплексной огибающей Е,(1) в модели БНРЗ вЂ” основная задача моделирования. Для этого широко используют методы статистической радиотехники [7 — 91, в частности метод огибающей и фазы [131 и метод контурных интегралов [141. Рассмотрим сущность метода огибаюи(ей и фазы. Если на БНЗ у=0(х) подан узкополосный сигнал (5.41), то его выходной сигнал можно представить в виде обобщенного ряда Фурье у(Г)=0(Е„(1) созФ,(Г)) = — О(Е созФ) жу,(1)+ Я уд (()= д=! 109 Таблица 8.1 .е = ее (г„е!е"'е) ее неееее ее ЮНРз ее о е а Ряс. 8.8. = Ь, (Е) + ~ Ь„(Е) соз АФ, о=! где Е, (Е) = — „~ б (Е соз Ф) г(Ф; о (5.44) Ее(Е)= —, ) 0(ЕсозФ)созйФе(Ф, 2 о Полученное разложение имеет полосовую структуру,так что на выходе БНРЗ (рис.
5.7) Уо(1)е Ео'!Е (1)1; уг (1) = =Ее(Ее(1))соз Ц1о,1 — ъР,(1)Я, Уг)~1, (5.45) Сравнение (5.45)' и (5.42) дает необходимые алто. ритмы преобразования комплексной огибающей в модели на рис. 5.8,б Е„(1)= Е„(1) ехр [ — ) ф (1)), (5,46) Е„ (1) = Е, (Е„ (1)), й О; Ф„ ® = й'), (1), й > 1. Коэффициенты (5.44) для некоторых типов нелиней.
ностей приведены в табл. 5.1. Сущность метода контурнвех интегралов 114] сводит. ся к следующему. Здесь нелинейная характеристика у= =ее(х) представляется в виде обратного поеобразова- 110 ния Лапласа от некоторого изображения у(р): 1 е+(ее у=6(х)= —. ~ у(р)ехр(рх)е(р, х)0; р=а-[-]в. е-1еп (6.47) Постулируя входной сигнал в виде х=Е соаФ, из формулы (6.47) имеем у(1) = -~„- я(р) ехр [рЕ(1) соа Ф (1)] г(р. (5.48) е-«ее Иснольауя известное разложение по модифицировенныи функциям Бесселя 1«(в), получаем, ее ее У(Г) Е У (1) Е М„[Етсоайф(1) (649) «=а ьа «+!ее М«(Е) =-]аз.- ~ У(Р) 1«(РЕ)бр, (5,50) е — 1ео в«=1 прн А=О и з«=2 при А>0. Структура (5.49) является полосовой н позволяет за.
писать выходной сигнал модели БНРЗ (рис. 5.8,б) в виде Е„(1) = Е„(1) ехр [ — )(~ (1)], (5.51) Е„ (1) = М„ [Е„ (1)], й ) 0; (~ (1) = ,Ь~„ (1), й ~ 1 . Решения (5.51) и (5.46), полученные двумя различными методами, совпадают по структуре. Для однополупериодной нелинейной характеристики т-й степени без отсечки у — 0(х) — ° ) а (р)= А х', х О, «ег1'+1) О, х(0; и'+' (где Г(а) — гамма-функция) коэффициенты (5.50) легко найти [14] М„(Е) =А,с(т, й)Е', (5.52) 1!2 Ед 1 ее ав«1 пч сапе« о Рвк Ь.В. Рва. Ь.10, где е г(и+!) (5 я) Я"+'Г ~1-':,") Г (1+ в-) Из приведенных соотношений можно записать алгорит.
мы модели на рис. 5.8,б для детекторов т-й степени без отсечки Ы,(г)=й,с(т, 0)Е'„()=й, „,1'„"~') Е" (г). (5.54) х(1) = — Ке (Е„(1) ехр([в,()), и (1) = Ее (Ег(1)ехр([ег«)) Тогда, введя промежуточную частоту еа р —— «е,— ег для выходного напряжения преобразователя частоты (рис.
5.9,а), получим решение г(1) = йе (Е,(1) схр([е„«1)], Е,(1) =Е,(1) Кпч (1), К„„(1) =Ком Е;(1), (5.55) ыз Двухканальные радиозвенья. В современной радиотехнике весьма распространены двухканальные БНРЗ с перемножнтелем на входе типа преобразователя частоты (рис. 5.9,а), фазового дискриминатора типа коррелятора (рис. 5.10,а) и др. Пусть в обеих схемах входной радиосигнал и напряжение гетероднна соответствует узкополосным сигналам где 2К вЂ” коэффициент передачи перемножителй.
Алгоритму (5.55)' соответствует модель преобразователя частоты на рис. 6.9,б. Аналогично, считая, что а,ц-~0, находим решение для выходного напряжения фазового дискриминатора (рис. 6,10,а) з (1) ~= Ке [Ец (г)), (6.56) Е.Я Ецй Кфд(1), Кфд(1) Апмйг" (1)ехрО(,— г) 4) Алгоритмам [5.66) соответствует модель фазового ди. скрнминатора на рис. 5,10,б. 5.4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ИНЕРЦИОННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ РАДИОЗВЕНЬЕВ Функциональные инерционные нелинейные радиоввенья. К таким радиозвеньям относят звенья двух типов: раднозвено нз последовательно включенных БНРЗ (рнс. 5.7) любого из вышеописанных типов и линейного звена (ЛЗ), настроенного на й-ю полосу (йа,) и дополнительно фильтрующего колебание уц(1); типовое раднозвено, отличающееся от радиозвена первого типа наличием дополнительного резонансного ЛЗ на входе, настроенного на частоту ао. Математическое описание подобных радиозвеньев производится по.
блочно с описанием каждого из звеньев вышеописанными методами. Нефункциональные инерционные нелинейные радио- звенья. Здесь можно использовать лишь дифференциальное уравнение моделируемого радиозвена, полученное на основе либо принципиальной, либо функциональной (или структурной) схемы. В дальнейшем любым методом стремятся получить укороченное дифференциальное уравнение для комплексной огибающей. Это позволяет составить модель радиозвена с алгоритмами (5.51), но в виде дифференциальных уравнений. Приведем два метода получения укороченных дифференциальных уравнений.
Метод медленно менлюи(ихся амплитуд (метод Вандер-Поля) [10). Проиллюстрируем сущность метода на примере дифференциального уравнения нелинейного ра- 114 диозвеиа второго порядка у"+а~цу=[(у, у', х, х'). (5.57) Постулируем х=х11), у=у(1) в виде (5.9) и составим производные х=Ке (Е,ехр ()а,()), х'=Ке ((Е,'+)а,Ец) ехр (1а,г)); у=Ке (Ецехр (1ао())„у'=Ке ((Ец'+)а,Ец) ехр ()а,1)), у"=Ке ((Ец"+2)а,Е„' — а,2Ец) ехр (1а,г) . (5.58) Подставив (5.58) в (5.57), применив (5.12) и умножив обе части уравнения на ехр ( — 1а,1), получим: Е„"+21аоЕ„'=2 ехр ( — 1а,1)1(у, у', х, х')+ +(Е„"+12а,Е„')* ехр ( — 12а,1).
(559) Сущность метода заключается в первую очередь в устранении высокочастотных множителей ехр ( — 1а,г)= =сов а,.' — 1 зш а,й Для этого обе части уравнения усред- нЯютсЯ по пеРнодУ То=2птаа пРичем комплексные огибающие Е„, Ец и их производные Е,', Е„', Е„" считаются постоянными на периоде Т, ввиду их медленного изме. пения во времени, При таком усреднении второе слагаемое в правой части уравнения (5.59) со второй гармоникой ехр ( — 12а,1) исчезает и мы приходим к дифференциальному уравнению для комплексных огибающих Ец +12асЕц'+(аоо а 2)Ец Р(Ец, Ец', Ех, Е х) (5.60) Здесь Р(Е„, Е„', Е„Е„') = — ) ехр( — 1Ф)1(у, у', х, х')дФ= о 2к = — ) ехр( — 1Ф)1(Ке [Е„ехр()Ф)]), г о Ке [(Е„'+1 а„.Е,) ехр ()Ф) ), Кс [Е,„ехр (1Ф)), Ке [(Е„'+1а,Е„) ехр (1Ф)))дФ. (5.61) 115 Подставив (5.15) в (5.60) и отделив действительную и мнимые части, получим дифференциальные уравнения для проекций а„(!), Б„Я вектора Е„Я.
Укорочение дифференциального уравнения (5.60) производится путем использования соотношений (5.36). Например, пренебрегая в (5.60) второй производной Е„", получим укороченное дифференциальное уравнение пер. вого порядка Е„ц+а,Е» — — Б,Р(Е„, Е,', Е„, Е,.'). Для уравнения вида (5.57) Р. Л. Стратонович [10] предложил другой прием перехода к укороченным дифференциальным уравнениям для амплитуды Ег и фазы фд. Для зтого целесообразно использовать выражения ЕЕ'=и' (и" +иода) Е= (и»+а-ги'г) нг ф'Егдгг=и (и«+»геди); гр=»г»1+агс(ц (и'/аои) . Тогда из (5.57) получим Ег'=У'(У"+»1«гУ)(и„,'гЕ„=[(У, У', х, х')У7а,гЕ„; грг' — — у (у" +юг»у) 7в..Е,г=[(у, у', х, х') ~агЕ»г, (5.62) где у=Е„соз (дг,! — Фг), у'=»Т,Е„з(п (а,! — ф„); х=Ех соз (»гс! — »р,), х'= — дг«Е» з1п (дгг! — ф»). (5.63) Дальнейшее решение проводится путем, усреднения (по Ф=а,!) правой части уравнений (5.62).
Тогда получаем два нелинейных дифференциальных уравнения первого порядка Еу' — — -Е!(Еу, Ех', г[гр, ф«', »гс); гуг' — — Ег(Еу, Ех фу, 'фх', о)с) ° (5.64) Метод линеаризации по флгоктуациям. Это разновидность метода малых нелинейиостей, разработанная специально для радиозвеньев. Пусть задано нефункциональное инерционное нелинейное радиозвено, описываемое дифференциальным уравнением вида » т ~1~~ а у<»! В) = ~~ Б, — „(О [х (т) — Оу (!)]), (5.65) д=д !=о нли в операторной форме Л,у — В ! 0 (х — дгу) =О. (5.66) Входной и выходной сигналы постулируем в виде (5,41), (5.42) с малыми амплитудными и фазовыми флкжтуацнями: х(!) =А [1+!»(1) ] соз [»г,! — ф(!) ]; уЯ.=у»Я=Вд [1+ьд(!)] соз [йв,! — фд(1)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
