Борисов Ю.П., Цветнов В.В. Математическое моделирование радиотехнических систем (1985) (1186205), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Функциональная схема для построения математиче. ских моделей используется в случае недостаточной априорной информации на этапе системотехнического проектирования. В основе построения математических моделей радиосистем здесь лежит их формальное описание (обобщенная математическая модель) (1.7). Для построения математической модели радиосистемы на этапе проектирования необходимо осуществить переход от формального описания (формальной схемы) к структурной или эквивалентной схеме устройства и да. лее к математическим моделям, используя шесть методов классификационного признака 1Ч (рис.
3.2). Принципиальная схема для построения математической модели системы используется в случае полной априорной информации о системе на этапе исследования. В этом случае задача построения математической модели системы состоит в представлении ее элементов таким образом, чтобы получить достаточно простое для реализации на ЭВМ математическое описание. Б первую очередь здесь используются классификационные признаки !1 и П1. Путем строго теоретического анализа принципиальной схемы системы получают упрощенные математические модели, которые можно также представить эквивалентными или структурными схемами. 11ри формировании математических моделей можно использовать шесть методов классификационного признака 1Ч (рис. 3.2).
Математические модели, сформированные на основе методов несущей и комплексной огибающей являются наиболее полными. Они универсальны, поскольку обычно справедливы при любых входных фазовых переменных. Однако их и наиболее сложно реализовать на ЭВМ. Методы статистических эквивалентов, структурных схем и информационного параметра позволяют строить математические модели радиосистем, в которых воспроизводятся преобразования информационных процессов Х (1) и низкочастотных (эквивалентных) помех $1(1). Метод статистических эквивалентов предназначен для построения математических моделей высокачастот- бб ных звеньев радиосистем, находящихся под воздействием случайных возмущений.
В этом случае высокочастотное звена заменяется (для заранее оговоренных условий) низкочастотным статистическим эквивалентом. '1'акой эквивалент для заданных входных сигналов и помех можно построить в результате теоретического анализа принципиальной схемы радиосистемы. При наличии только формального описания низкочастотный эквивалент обычно задается иа основе результатов анализа подобных систем. Для реализации этого метода необходимо располагать формальным описанием радиосистемы на уровне функциональных звеньев. Метод структурных схем позволяет строить математические модели радиосистем, в которых высокочастотная часть может быть представлена детерминированным (обычно динамическим) эквивалентом; широко применяется для моделирования радиосистем на любом иерархическом уровне.
Для реализации этого метода необходимо располагать структурной схемой радиосистемы, которую можно получить из принципиальной или функциональной схемы радиосистемы в результате теоретического анализа. Метод информационного параметра является обобщением двух предыдущих и, как уже отмечалось, позволяет строить математические модели высокочастотных следящих и неследящих радиоустройств и радиосистем (СПИ, ФАП, ЧАП и др.), выделяющих на выходе оценку Х(1) информационного параметра А(1) во входном радиосигнале и(1, Х).
Математические модели радиосистем, построенные иа основе трех последних методов (15, 16, 17 на рис. 3.2), являются ограниченными. Они справедливы лишь для тех условий, с учетом которых были построены (рассчитаны) структурные схемы и статистические эквиваленты. З.З. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗВЕНЬЕВ РАДИОСИСТЕМ И РАДИОУСТРОЙСТВ Вне зависимости от способов разбиения радиосистемы и радиоустройства на иерархические уровни (см, рнс. 2,2) и способов их описания, операторы, описыва~ощие отдельные звенья системы; можно представить б7 динамическими звеньями (ДЗ) с соответствующим математическим описанием.
Заменяя каждое моделируе. мое звено динамическим, мы приходим к математической модели этого звена. В данном параграфе рассматриваются способы упрощенного описания динамических звеньев радиосистем и радиоустройств, если при нх функционировании в рамках системы наложены определенные ограничения. Характеристики линейных динамических звеньев. Одномерные стационарные инерционные линейные ДЗ (ЛДЗ) описыва!отса следующими характеристиками. Импульсная характеристика Ь(!) — это реакция на входной сигнал х(!), имеющий вид единичного импульса (6-функции Дирака) Ь(!) =у(!).
(3.3) Для физически возможных ЛДЗ Ь(!) =— 0 при !(О и для устойчивых )(Ь(!)(д!<" оо. Переходная характеристика — это реакция на входной сигнал х(!), имеющий вид единичного скачка о!(!): у(!) =у(!), (3А) связанная ' с Ь(!) интегродифференциальной зависимостью и(!)=~Ь(')д' ЬЯ= —,! И(!) ь Передаточная функция системы — преобразование Лапласа от импульсной характеристики: Н(р)= Ь(!)е мд(, р=ч+)в. (35) При моделировании звеньев радиоустройств применяется оператор К(р)= — Н(р)„а функция К(р) называется операторным коэффициентом передачи звена.
Комплексная частотная характеристика — преобразование Фурье от импульсной характеристики: К ()!) = ~ Ь (!) е ! 'Иа(, р =) 2в1. (3.6) Это позволяет ввести амплитудно-частотную А(в) и фазочастотную !р(в) характеристики, а также действительную и мнимую части К()в): з!и !а (в) А(в)вв9(в) ~'К(в) (3.8) Одномерные нестационарные инерционные ЛДЗ характеризуются «системными> функциями, к которым относят следующие. Импульсная характеристика двух типов: реакция ЛДЗ в момент ! на входной сигнал 6(! †!ь), поданный в момент !«=6, и (г, $)=у(!); (3.9) реакция ЛДЗ в момент ! на входной сигнал 6(! — !ь), поданный на ть ранее ((а=! — т), Ь(г, т)=у(!). (3.10) Обе импульсные характеристики функционально связаны: Ь(1, т) =!с(1, ! — к); гп(1, Я)=Ь(1, ! — 9).
Для физически возможных нестационарных ЛДЗ ги(1, $)=0, !($; Ь(1, т) =О, т<0. (3.11) Комплексные частотные характеристики трех типов для любой импульсной характеристики, например для Ь(й т): преобразование Фурье по переменной т К,(11, !)= Ь(1, )е ! "~'й«(3.12) по физическому смыслу соответствует реакции ДЗ на гармонический аналитический сигнал х(!) =ехр)2п!! К.(У, !) =у(!)/х(!); 69 Она является комплексной функцией аргумента 1 (или в), так что К ()в) = ! К()в) ( е ! "з ив=А(в)е !" ~ !=Р(в) — 11~(в). (3.7) бю з(с гг иоэ бЗч (ЗАЗ) здз биз баз з,'с и ,У, зим и> здх и ддзг бзз Э рис.
3.3. бдзз (3.14) о и-у Рис. 3.4. (3.15) (3.16) где и бм А=~аз(Е) —; бзо ' о=о в, =~~ ь,(е) — "', . з=о 70 71 преобразование Фурье по переменной Е Со К,()г, с)= ~ЕЕ(Е, с)е 1 ' ЕЕŠ— ю по физическому смыслу соответствует спектру реакции у(Е) ДЗ на частоте г на входной сигнал х(Е) =б(Š— Ео), поданный в момент Ео=Š— с, К (1 Г с) — 1 е 1ыю (у т) ЕЕЕ двукратное преобразование Фурье по Е и т К ()Е, )г")=Ц Ь(Е )е ""+ "ЫЕ по физическому смыслу соответствует спектру реакции у(Е) ДЗ на частоте Е+г" на аналитический гармонический сигнал х(Е) =ехр (12пЕЕ) К,,()Е, ) г) = ) е (у(Е))аЕ.
Инерционные ЛДЗ также описываются с помощью дифференциальных уравнений. Так, для нестационарных ЛДЗ с сосредоточенными постоянными справедливо линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами вида ~ ао (Е) у1'1 (Е) = 'Я Ь, (Е) х1 й (Е), т ( и, о=о з=о которое часто записывают в операторной форме А~у=д~х, Характеристики нелинейных динамических звеньев.
Одномерные безынерционные нелинейные ДЗ (НДЗ) описываются нелинейной функциональной зависи- мостью у(Е) =б 1х(Е) 1 (3.17) где часто функцию у=6(х) аппраксимируют удобнымн математическими формулами. Одномерные инерционные НДЗ бывают двух типов: функционального и нефункционального. Первые сводятся к последовательному соединению безынерционных нелинейных (рис. З,з,а) н инерционных (рис. З.з,б) линейных ДЗ, описываются поблочно. При желании подобные системы можно представить системами обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений.
Одномерные инерционные НДЗ нефункционального типа не могут быть разделены на линейные х безынерционные нелинейные ДЗ, и для их описания обычно используют нелинейные обыкновенные диффеРеициальные уравнения. Например, широкоизвестная схема диодного детектора (рис. 3.4) относится к этому классу НДЗ и описываетгя системой нелинейных дифференциальных уравнений Е, (Е) = — у (Е), Е, (Е) = С вЂ” ~ ; Е(Е) = Е, (Е) + Е, (Е); Е (Е) = 6 [и (Е)), и (Е) = х (Е) — у (Е).
Это приводит к дифференциальному уравнению т (~у/ас!) +у — гб (х — у) =О. (3.!8) Методы математического описания ЛДЗ при произ, вольном входном воздействии. При временных метода аз описания используется интеграл Дюамеля (интеграл свертки), который для физически возможных станко.
парных ЛДЗ имеет вид Фо У(!)= (!) 7Ь(!)= ( —.)Ь(.)г) = т ) х (о) Ь (! — о) т!о. Его обобщение на нестационарное ЛДЗ дает со у(г)=~х(à —.)Ь((,.)ао= ('х()Ь(1,! — о)с(о=- о — оо = ~х()тв(1, о)И. (339а) При спектральных методах описания стационарных ЛДЗ применяется аппарат преобразований Лапласа и ф урье. В рамках преобразования Лапласа используют математический аппарат пар функций, сопряженных по Лапласу: х(г) „;„л Х()т), что эквивалентно паре инте. гральных соотношений Х(р) =~(х(г)) о с+1 оо (!)=1~ (Х(рН= + ~ Х(р)е* ~(,, у= с — ! оо =а+! оо. (3.20) Беря от формулы (3.!9) преобразование Лапласа я учитывая связь импульсной характеристики н переда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
