Борисов Ю.П., Цветнов В.В. Математическое моделирование радиотехнических систем (1985) (1186205), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Таким образом, если точное значение процесса х= =х(1) в момент 1=1! равно х=х(1), то его значение в ЭВМ будет х;=х(1!) — х(», А!). При этом ошибка округления не превышает половины интервала квантования по амплитуде бх: достаточно велико, то среднеквадратическое значениь Шума квантования (2.29) Зе=бХе/12. у(й) а— м У(Ы1) — = р» 1=1, 2,, К, (2.30) Современныв ЭВМ обладают огромным динамиче скин диапазоном воспронвведения х х(1), Позтому при расчетах на универсальных ЭВМ ошиб, ки округления обычно пренебрежимо малы и могут про, явиться лишь в результате накопления, в процессе дли тельных вычислений.
Круг инженерных задач, которые можно решать ме тодамн математического моделирования на ЭВМ был сформулирован выше (см. $1.41. Формальная схема решения любой из задач показана на рис. 1.3. В случае решенпя задачи на ЭВМ вначале необходимо получить выборку из )у' реализаций выходной фазовой перемен ной У (р1(Г)) (1иыО, 1, 2, ..., Ф, Оп (м!;Т,) исследуемон системы и далее путем соответствующей обработки втой аыборкн найти желаемый выходной параметр си. стемы у в виде оценки у. На основе этой формальной схемы нетрудно составить программу исследования системы методом ее моделирования иа ЭВМ. Программе (рис. 2.12) содержит головную часть для получении оценки выходного параметра системы т=(т ) (1=1, 2,...
..., п) и вложенную в иее цифровую модель исследуе. мой системы для получения выборки реализаций выходной фазовой переменной У=(у;(1)) (1= — 1, 2, ..., Ж; 0 =1(Ти). В программе можно выделить три цикла процедуры решения задачи. Ци кл 1. Вычисляется последовательность дискретных значений отдельной реализации выходной фазовой переменной (рис. 2.13) 1,2.31) ы Д Хе ьь ьд к и н ав Вдов иопаднып Ванпып Ве1Вар еиереднаеа Вь1ноднаеа параметра ипи Варианте мадвпц Цо73обя ~ мадера исследуемой У./+1 Цикл 1 Г-Г+1 Циврадоя модель осследуемай системьк Получение ус нет таксация реьупьтотад 1'-са поагона модели ! Нет пса Вычисление оценки Выходного парометра,й Варианта надели Цикл 2.
0рганнзуется Ф-кратное повторение про- гонов модели, в результате формируется массив чисел у=Ь (бг))-(р 1). 1=1, 2, ...,К; 1=1, 2, .... Ф, Нот Нанси Рис. 2.12. 49 где К Т„)Ы; 0(1 =Тл, 1ьг — интервал дискретизации у(1) по времени. Вычисление реализации заканчивается после того, как выполнено условие 1~К. Результаты одного испытания в виде массива чисел Тн (1=1, 2,... ..., К) фиксируются в памяти ЭВМ, и их можно использовать для вычисления оценки какого-либо выходного параметра. 4З Фиксация рееультотад мтселирадонил Рве. 2.13.
описывающих выборку нз ансамбля реализаций. Вычисление выборки завершартся после выполнення условия )Звй1 Цикл 3. Организуется расчет выходных параметров варианта решення задачи нлн построения системы. Этот цикл позволяет получить множество оценок выходных параметров с помощью заданного функционала х>з у=Я, у»~Го~У(Я 4=.1, 2... „М, (232) если рассматриааетси одни вариант построении системы, или оценка одного и того же параметра т» 7»=гз(У»(>)1, Й=1, 2, ..., М, (2.33) если исследуется М вариантов. Вычисление завершается после выполнения условия Й~М, и далее полученные результаты выдаются потребителю для принятия соответствующего решения.
Таким образом, чтобы выполнить исследование радиосистемы на ЭВМ, необходимо ее математическую модель преобразовать в цифровую — специальный моделирующий алгоритм, который можно реализовать на ЭВМ. Цифровые модели элементов радиосистем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. В большинстве случаев исследования радиосистем методами математического моделирования их можно описать дифференциальными уравнениями зр(у, у', ..., Уш>, 4, х, х', ..., хе">, зз, И =О. (2.34) 3десь х, х', ..., х("'> и у, у',, уоо — входные и выходные фазовые переменные и их производные; 1 — независимая переменная — время; а, р — множества внешних и внутренних параметров системы; 1=1»", уз=у((о); 60 У' = ~~ =%'(з, у, х) (2.35) с начальными условиями 1=1», у=до.
Если радиосистема описывается уравнением л-го порядка, то для численного решения его необходимо описать совокупностью уравнений 1-го порядка. Если решение такого уравнения существует и единственно, то его можно представить рядом Тейлора в окрестности точки „д>з „, д>з у>о, — — д>+у Ы+ д — + у — +. где при 1 Г~ (4=1, 2, ..., К, К=Т./Т»1) Б! уо Уого '>; хо=х((о); хо', хо~ '> — начальные условия. В процессе моделирования системы необходимо определить реакцию системы у(г) и ее производные на некотором заданном интервале (о(1(Т».
В методах численного решения дифференциальных уравнений подобного вида используется прннцип пошагового интегрирования, при котором начиная с начальных условий осуществляется предсказание последующих значений переменной у=у(1) и ее производных. Все алгоритмы численного решения дифференциальных уравнений можно разбить на одноступенчатые методы прогноза и многоступенчатые методы прогноза и коррекции. Одноступенчатые методы прогноза для получения решения в момент 1,=1о+М используют информацию о начальных условиях, которые предполагаются заданными. Поэтому соответствующие алгоритмы являются самоначинающнмися. Многоступенчатые методы прогноза н коррекции для получения решения в момент й=(о+1Лг используют информацию о у=у(Г) в некоторые предыдущие моменты времени 6 ь 1; з, т. е. для их реализации необходимо знать решения у; ~, УА> на предыдущих этапах.
Это несамоначинающнеся численные алгоритмы. Такие алгоритмы более экономны в смысле затрат машинного времени прн той же точности решения задачи. Особенностью численных методов решения дифференциальных уравнений является то, что они применимы для решения дифференциальных уравнений только 1-го порядка та бл ни а 2.6 Погрешность решения ° . „ !+1 р!етод тнслеимтго !Мшмгнн цифрмои алгоритм !модель) д! ери р-<О,! н на одном шаге У!+1 = У + У «! У «!) И 610 а Эйлера 1 "!+1 "1+ 2 ( 1+Кя)' 7И)н 1,6 1Π— е К, = Ч'(!1, У1, »!) И, Кя =Чг «!+ И, У;+ +К!, х;+1) И Эйлера — Коши Уг+1 У! + 1 + 6 (К, +2К,+2К„+К,), К1 = гг' «1, Уг, »;) И, ('+ 2 У!+ + 2, х)И, Кг а! Кя = Чг (!г + у! + 2 +2, х!)И, Ке Ке — — ту«!+И, ГП+ + Ки, х;+1) И Рунге — Кутта (4-го порядки) Ь( — ") 6.ЗЗ 1О а у', =%г (1, у, х), дгУ «, у.
х), -, д~н «, у, х) ~ (2 36) г д! ду -'г ' Несмотря на то, что этот алгоритм решения уравнения является самоначинающимся и сравнительно просто позволяет получить решение с любой точностью, с точки зрения возможности его реализации на ЭВМ он обладает существенным недостатком. Здесь для получения решения на каждом шаге 11, ге, ..., (и необходимо вычислять производные у!', у;", „что приводит к значительным затратам машинного времени.
Поэтому многие известные алгоритмы используют аппроксимацию конечного числа членов разложения решения в ряд Тейлора. При этом аппроксимация осуществляется так, чтобы отпала необходимость в вычислении производных в (2.36). Наиболее часто применяемые при моделировании радиасистем алгоритмы представлены в табл, 2.5. Алга- ритм Эйлера использует первые два члена разложения в ряд Тейлора, алгоритм Эйлера — Коши — три, а алгоритм Рунге — Кутта 4-го порядка — четыре. Наиболее точными из приведенных в табл.
2.5 являются алгоритмы Рунге — Кутта. Точность решения задачи в каждом отдельном случае зависит также от интервала Ы. Поэтому остановимся на принципах выбора интервала дискретизации Ы в зависимости от необходимой точности решения задачи. Рассмотрим алгоритм цифрового моделирования инерционного звена у(1) ='ах(1) /(Тр+) ), р=г)/Й.
Соответствующее дифференциальное уравнение г(у(ггт=пх(Т вЂ” у(Т, !=го, у=уо. Для произвольного внешнего воздействия х(1) алгоритм Эйлера дает следующее решение: У!г~рг =У!+ (йхг(Т вЂ” Уг/Т) М. (2.37) Оценим точность решения задачи на одном шаге, полагая, что в системе имеет место только собственное движение («=О). В этом случае г(у/Й= — у/Т ((=(о, 52 у=уо), и можно получить точное решение задачи )4э (237) получаем решение методом Эйлера у„,=уг(1 — АЦТ). »экса тссл-усе у„с|3 »се- сам»„се у»у ср~ сс .сря Р»с.
К!4. .Относительная погрешность решения на одном шаге Т сн 2 ~Т Если положить А!/Т»(0,1, та е,ус=0,005. Погрешности решения аналогичной задачи на одном шаге методами Эйлера — Каши и Рунге — Кутта 4-го порядка, приведены в табл. 2 5. Принципы формирования цифровых моделей радиосистем, представленных структурной схемой.
В боль. ьпинстве случаев исследования радиосистем их можно представить структурной схемой, содержащей источники сигналов и помех, нелинейные безынерционные и линейные динамические звенья (рнс. 2.14). При цифроваи моделировании такой системы прежде всего необходима составить ее дискретный эквивалент. Эта достигается построением цифровых алгоритмов: формирования информационных процессов и помех, преобразования процессов нелинейными безыиерци. анными звеньями (БНЗ), преобразования процессов линейными динамическими звеньями (ЛДЗ).
Если преобразующая часть радиосистемы нз рис. 2.!4 для ииформацианнога процесса Х=Х(!) явля. ется безынерционной, то на ее выходе г(1, х)=Г(х)+Ь(!), где йс(!) — шум, приведенный к выходу дискриминатору радиосистемы. В ЭВМ мы имеем дело с массивами чи. сел, поэтому процессы )ь=)ь(!) и $с=-$с(!) должны быть представлены в цифровой форме. Если не учитывать 64 здесь квантование по амплитуде, то (2.39) в дискретной форма яс Е(А<)+вн, (2.40) где ас — дискретные значения процесса л(2, Х), следующие через интервал дй Для формирования таких последовательностей на выходе источников Л и й необходимо поставить ключи. Однако, поскольку часть схемы до точки б (рнс, 2.14,а) является безынерционной, эти ключи можно ввменйть одним, поставленным перед ЛДЗ с коэффициентом пв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
