Борисов Ю.П., Цветнов В.В. Математическое моделирование радиотехнических систем (1985) (1186205), страница 13
Текст из файла (страница 13)
точной функции ЬЯ 'л Н(р)=К(р), приходим к спек. тральному методу описания (по Лапласу) стационар. ных ЛДЗ: тй у(!) = —.,' ~ у(у) емб,, с — ! оо у(Р)=Х(Р)К(р), Х(р)=) х(!)е «'г(г. о (3.21) В рамках преобразования Фурье используют сеойства пар функций, сопряженных по Фурье: х(!) „ь ХО)), что эквивалентно паре симметричных интегральных соотношений Х (! !') = У (х (!)) = ~ х (!) е !мы ат1, х (!) = Т ' (Х (1 ()) = ~ Х (! )) е! "г'т)). Беря от формулы (3.19) преобразование Фурье, мы приходим к спектральному методу описания (по Фурье) стационарных ЛДЗ (3.22) у(!)= ) У(!!)е * т(), (3.23) У(;))=Х()!)К(!)), Х(!О= ~х(!)е ""(й Методы математического описания НДЗ при произвольном входном воздействии. Для математического описания безынерционных НДЗ обычно применяют временные методы, например, вида (3.!8).
Однако в принципе возможен и спектральный метод, связывающий комплексные спектры входного и выходного сигналов: у(!Π— и'(у(!))= ~е ' "~'сх(х(!))Й= Со оо =1.--о 1хсо ™мсчФ (3.24) Для математического описания инерционных НДЗ (рис. З.З,а) чаще используется временной метод, сводя- щийся к последовательному применению интегралов УЭ Дюамеля и соотношения (ЗА8).
Это приводит, например описание ДЗ на рис. 3.3,б к системе уравнений у (1) =- ~ ~, (~) й, (1, 1 — ) о(~, р,(о) = 6 [Х, (о)], Х, (о) = ~ Х (о') й, (о, о — о') Ю. Инерционные НДЗ также удобно описывать в рам. ках временных методов. Это приводит нас к системе уравнений е(1) =х(1) — уо(1); г(1) =6[е(1)); у(1)= ~г(о)й(1,1 — о)а'о, Зиь метОды мАтемАтическОГО ОпиСАния СИГНАЛОВ И ПОМЕХ При формировании математической модели систе. мы в целом немаловажным вопросом является замена реальных источников сигналов и помех их математи.
ческими моделями, которые обычно реализуются с по. мощью теории сигналов [1, 4, 5]. Во всех задачах моделирования радиосистем и ра. диоустройств имеем дело с некоторым сообщением — в общем случае функцией времени ао(1) или простран. ства и времени з,(1, г). Носителем этого сообщения в радиосигнале является некоторый информационный параметр Л,=Л,(1) или Л,=Л,(1, г), так что полезный радиосигнал при приеме (с учетом или без учета искажения в радиоканале) может быть представлен уз.
кополосным (квазигармоническим) сигналом, детер. минированным, квазидетерминированным или случай. иым [21: и,(1, Л,) =и,[1, Л,(1))'=Ъ (Е,(1, Л,)е ' ) (3.28) с комплексной огибающей Е,(1, Л,)=Е,(1, Л,)е ' ' ' . (3.28) Помеха часто бывает преднамеренной, подобной сигналу со своим информационным параметром Л,= =Л,(1). Тогда при приеме такие помехи могут быть представлены в виде и„(1, Л„) =и„[1, Л„(1)) =)те(Е(1, Л )е ) (3.27) с комплексной огибающей Е„(1, Л„) =Е„(1, Л„) е ' . (3.28) Кроме того, при приеме всегда имеет место неинформативные шумовые помехи (внутренние и внешние естественные шумы, преднамеренная шумовая помеха), которые в теории оптимального приема обычно представляют гауссовским белым шумом п(1) с корреляционной функцией г (1ь 14)=О,ЗУо(6) б (14 — 11) (3.29) и нестационарной (двусторонней) спектральной плот- ностью лГ, (1,) = 2 ) г„(1„1,) о(1,.
(3.30) Однако при анализе удобнее эти шумовые помехи также представлять узкополосными случайными колебаниями с несущей частотой ао, совпадающей с резонансной частотой радиоусилителя: и (1) =)те()т (1)е~ "~), (3.3!) где 1т(1) =Л(1)е 14 и' = А(1) — ) В(1) (3.32) — комплексная огибающая с нормально распределенными проекциями А(1), В(1).
Модель (3.3() гауссовского узкополосного шума хорошо известна в статистической радиотехнике [7 — 91. При моделировании задач радиоприема наиболее полной является модель аддитнвной смеси сигнала, 76 помехи и шума: иа(() =и,(1, Л., Л„) =и,((, Л,)+ +иа((ю Лп)+иш(т) ° (3.33) При оптимальном приеме на выходе радиоприемного устройства обычно фигурируют оценки сообщения У~(т), или информационных параметров Л,(7), Л,((), или функционалов от этих процессов Р~(Лс((), Л,((), ас (т) з вышесказанного следует, что при моделировании обычно имеем дело с двумя типами колебаний: низкочастотные (случайные или детерминированные): з(т)=а,(() или Л,(т), или Л„((), или Р,(Л,((), Л,(1), з,(()), комплексный спектр которых О> 5,()()= ~з(1)е ~ вне=5,(()е "' =Р,Д) — )Я,(() — 09 (3.34) всегда примыкает к области нулевых частот; узкополосные (случайные и детерминированные): и(() =и,(1, Л,) или и,(8, Л,), или и ((), или из((, Лс, Лп), которые могут быть представлены в виде квазигармонического сигнала (3.35) и(~) =Ке(Е(г)е' ") с комплексной огибающей Е (т) = Е (т) е ' ф '" = а (т) — ) Ь (т).
(3 .35) Спектр таких колебаний 5 ()7) концентрируется вокруг чесущей частоты (о Рассмотрим методы математического описания этих двух типов колебаний. Математическое описание детерминированных низкочастотных колебаний з((), Здесь широко применяются спектральные и временнйе методы (2, 5].
При спектральных методах (по Фурье) применяют: для периодических сигналов ряд Фурье в комплексными амплитудами та С„=Сае ""=аз — )Ьа=2Р ~ з(()е ~а""т'Ш вЂ” т/а гармоник частоты повторения Р=1)Т, обладающими т %. свойством С а=С„; для непериодических абсолютно интегрируемых сигналов интеграл Фурье СО з(() ~, ~5,()()е~ и( а комплексным спектром (3.34). Часто приходится описывать комплексные сигналы а[() =з(()+)и((), используя интеграл Фурье ОР з (1) = з (г) + ) а (т) = ~ 5 е' аан Щ. Здесь 5.
()()= ~з(() е " Н(=5,()0+)5,()0 = =(р,())+а. (и — та — .т= -5т. Й р.д )д.ф=5«,Д)е — комплексный спектр комплексного сигнала. При спектральных методах описания применяют интеграл Лапласа с+~ со ОО з(~)~ — ( 5,(р)емт(р, 5;(р)=~я(т)е мй. )ап ) к с-3 ф о При временнйх методах описания применяют интеграл Дюамеля (интеграл свертки) либо для 6-функции, либо для функции единичного скачка п~(() 00 з (() = з (т) 7 6 (() ~ з ( ) 6 (( — И = г(() = Я га (т) ~ — ~ С е 1 %'Ч 1 2каю 2 — ~ я (1 — а) 6 (а) ~(а; г(1)=а'(1)г7о,(1) ] г'(о)о,(1 — )с(.
Распространенным временнйм методом описания является метод ортогональных разложений г (1) "~ ~~~', а„р„(1), а ( с ( Ь. о=о Здесь введены коэффициенты о а„= ] з Я р„Я р (1) ссг, а а также ортогональные ортонормированные функции сро (1), срс (1),, ср (1),..., ср„(1) с весовой функцией р(с), удовлетворяющие условию ортогональностн (1 11=8 11, пс=и, (О, лсфл. о Среди распространенных ортогональных функций н чолиномов (тригонометрнческие функции, полиномы Лежандра, Лагерра, Эрмнта, Чебышева, функции Уол- ша и др.) особое место занимают функции отсчета сро(1) =зшс(1 — и) =з!пп(1 — а)(я(! — п), (3.3с) приводящие к рядам Котельникова во временнбй об.
ласти з(1)~ ~Г» з(пб()з!пс (с — а)', l с 1 )' 2Р и= — оо в спектральной области 5,(1]) ° Е Я.(1аЬР)з1пс(ьр — ), ЬР=т —. Математическое описание детерминированных узкополосных колебаний. Существует несколько способов однозначного определения огибающей н фазы узкополосных квазнгармоническнх колебаний [2, 4, 8, 10]. 1. С помощью двух ортогональных колебаний " (1) = Е (г) ' ' Ф (1) = Е (1) '"(~,1 — ф (Г)], (3 38) 6 о!и о!п приближенно сопряженных [8] по Гильберту, можно записать огибающую Е(1), полную фазу Ф(С) и мгновенную частоту в ,о(1) узкополосного колебания в виде ЕЯ =[но(1)+оо(1)]но. Ф(1) =во1 — ор(С) =агс(ц [о(1)/и(1)]; в„,„(1)= — =Е '(1)~и(1) — „— о(1) — „].
(3.39) 2. С помощью проекций вектора комплексной огибающей '(1,=~' Е(1)=Е(с) '"р(1). (3.40) ь !т ого В этом случае ЕЯ= [по(1)+ЬоЯ]сСо„ ф(1) =во! — Ф(1) = асс(ц[ЬЯ/аЯ]; во (1)=в,— Е '(1)~а(С) — „— Ь(1) — „1. (3.4!) 3 С помощью производных узкополосного сигнала [8, 10] Е(С) =[и'(1)+во-ои'о(С)]но; ф(1) =вог+агс18[и'Я/воиЯ]; г и" (с)+в о(с) ~„„„(1) =~, — Р (С) =~, (1 — сс(1) ~ (3.42) где и (1) = и=Есоз (во! — ф); и' (1) = — воЕз!и (во! — ф) ~ (3.43) и" (1) = — в'оЕсоз (и о! — ф) . При этом соблюдаются важные соотношения ЕЯЕ'(1) =и'(1) [и" (1)+в'ои Я]; ф'(1)Ео(1)во=и(1)[и" Я+вооиЯ]. (344)' 79 При описании моделей узкополосных колебаний часто имеют дело с комплексными аналитическими сигналами й(4) =и(1)+1о(1); йэ(Т) =и(1) — )о(1), (3.45) так что Ке и (1) = и (1) = †, [и (1) + и (1)]; (3.46) )т и (1) = о (Т) = — [и (Т) — и" (Т)].
12 Иногда требуется определить все компоненты узкополосного сигнала (3.35) через заданную комплексную огибающую (3.36): а (1) = Ке Е (1) = 2 [Е (Т) + Е (1)]; Ь (Т) = 1т Е (Т) = — [Е" (1) — Е (1)]; 12 й(1) =Е(1)е1""; и"(1)= Е~(1)е С помощью формул связи (3.45) — (3.47) обычно осуществляют пересчеты комплексных спектров всех компонент узкополосного сигнала (3.35). Так, основополагающим является соотношение между комплексными спектрами ортогональных сигналов (3.38), сопряженных по Гвльберту: 3„(1) = В„Я; ~Р„(1) = Р„(0+ я/2 (3.48) ,1 «О, 1 с,0. Весьма удобным методом описания узкополосных сигналов является метод дифференциальных уравнений [3], рассмотренный в гл.
4. Математическое описание случайных сигналов и помех осуществляется и помощью обычных методов [8] статистической радиотехники. Литература: Основная [1 — 3, 5, 7, 8, 15, 16], дополнительная [4, 9, 10, 17]. РО 4, МЕТОД НЕСУЩЕЙ Метод несущей используется для построения мате. магических моделей высоко- и низкочастотных звеньев радиосистем. Математические модели по методу несущей можно строить на основе как принципиальных, так и структурных и функциональных схем. Прн этом для описания преобразований сигналов и помех в элементах схемы можно использовать дифференциальные уравнения, а также спектральные или временные преобразования.
Применяется также комбинированный метод. В этом случае за основу берется принципиальная схема, а моделирование идет на базе структурной (или функциональной) схемы, полученной как укрупнение принципиальной схемы с сохранением точных значений ее параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
