Борисов Ю.П., Цветнов В.В. Математическое моделирование радиотехнических систем (1985) (1186205), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Прн этом методе сигналы и помехи воспроизводятся в моделях с точностью до мгновенных значений напряжений и токов. 44. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ РАДИОСИСТЕМ И РАДИОУСТРОЙСТВ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПИАЛЬНЫХ СХЕМ Математические модели типовых электрических элементов. В этом случае построение математических моделей радиосистем осуществляется на уровне схемных элементов. В табл. 4.1 приведено математическое описание пассивных и активных элементов принципиальных схем, полученное с помощью дифференциальных уравнений. Там же дано описание источников сигналов и помех и их представление в виде идеальных генераторов тока или напряжения.
Лампы и транзистары в табл. 4.1 представлены нелинейными безынерционными звеньями. При математическом описании пассивных элементов с распределенными постоянными пРименены дифференциальные уравнения в частных производных. Математические модели узкополосных сигналов. Для математического описания сигналов и помех методам несущей применяют специальные приемы [3]. Рассмотрим их на примере описания произвольного узкополосного сигнала и[т, Л(Т)] =Е[1, Л(1)]з1п(го~1 — ф[1, Л(1)] — фэ], (4.1) "де векторную функцию Л(1) будем полагать медленной функцией времени по сравнению с несущей частоВ1 Таблица 4л Продолж.
отадл. 4.! Электраческак схема Эламеит Математкческсе сиисакие Математическсе сиисакке Элемеит Электрическая схема ик та= Фа(иа, иК) тр = Фа (ик, ив) Транзистор О- — р) стой сор. Тогда при дифференцировании считаем функцию Л(()=Л постоянной и представляем (4.1) в виде и=и((, Л)=Е((, Л)з(пФ((, Л), (4.2) где Ф((, Л)=сор( — чР((, Л) — фе (4.3) — полная фаза, Дифференцируя (4.2) дважды по (, получаем: и'=Е'з1пФ+ЕФ'созФ, и"=Е"з(пФ вЂ” ЕФ"з(пФ+2Е'Ф'созФ+ +ЕФ "созФ, (4.4) где для сокращения записи введены штрихи (произ- водные по 4). Однако и' — Е'м(Е з1пФ = —; сов Ф = ЕФ, .
(4 5) В результате подстановки (4.5) в (4.4) получаем линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами для описания искомого сигнала (4.2) ота ~Фт((, ) + Е(т,Ъ) ~ дс +( (' )+ Л) Е (ч Л)Ф (с Л) Е (с Л) ) () 4 ай и 1 тс.'х)а'с,'т) е(|,м Конкретный вид дифференциального уравнения (4.6) зависит от вида применяемой модуляции (табл. 4.2). При этом для сохранения всей информации, заложенной в модулнрующий параметр Л=Л((), 33 + .[ц! е ч ,ц й ч Е Е + + 3 -(щ е>е Е,[1+~, 3!,(Р)[я~(~,1 — ф,); Е,з!п [!ц,г — те„)>,(г) — ф,), С р Е е р (4.8) и [т, Х (т)) = е л ц Е е у е е С Е ! е В е Е е ф е е е Е е е ! !' е >! !! ц ц е ц Ю ц Е е ! э Е е е >! Ю Е 'ц й, (4.9) цй >! !! цц >! Ю Е цу м >! ц! М ч.ч + '~", Е щ >! >! щ Р, ц ь р Ц е $ ц м ц 4 $ ! ц Ф ц! ъ С сэ ц Е р е в конечных решениях дифференциального уравнения (4.6) вида — „„+а,[~, Х(г)) — +а,[т, )!,(1)]и=о (4.7) следует в производных Е'(>, Х), Е" ((, т.), ф'(1, Х), ф" (1, Х) полагать Х=)!,(>) и учитывать производные х'(г), хц(1).
Решением дифференциального уравнения (4.7) при частных значениях коэффициентов (табл. 4.2), очевидИо, будут модулированные сигналы е,ц,[!.т — ..(1р>е — ь] 0 Упрощенные -методы моделирования звеньев. Для математического описания отдельных звеньев принципиальных схем применяются различные упрощенные методы, в частности квазистатический метод и метод малых иелинейностей (метод лииеаризации). В общем виде элемент радиосистемы или радиоустройства можно описать нелинейным дифференциальным уравнением ~~>, 'а,(т)у>~>(>)=)(у, у!'>, у!'>, ..., у! >, ..., у!">; е=р х, х!'>, х!'>...., х!'>, ..., х<"), где х, у — входное и выходное воздействия.
При хваэистатичесхом методе, когда постоянная времени тр рассматриваемого динамического звена (ДЗ) значительно меньше времени корреляции т„р входного (случайпого) сигнала (тр<тчцр), то это звено можно заменить безынерционным звеном, положив все производные в (4.9) равными нулю. Тогда (4.9) принимает вид а. (() у(г) =[[у(г), о..., о,..., о; хр), о,...
о,..., О), Решая это уравнение относительно у, придем к форме описания безынерционного (нелинейного) звена у(() = =6[х(!)). Вб Метод малых нелинейносгей (метод линеаризации) заключается в следующем. Если в (4.9) воздействие $(1) =х(() является случайным процессом, то таким будет и выходной сигнал моделируемого звена т)(() = = птч (() +т)о ((), где тч (() — его математическое ожидание, а т)о(() — флюктуационная составляющая, Тогда можно, подобрав некоторую нелинейную функцию т)=сг(й), получить из (4.9) два диффе. ренциальных уравнения для тч(1) и т)о((). При этом при малых флюктуациях второе уравнение легко линеаризовать, так как рабочий участок нелинейной функции 6(й) мал и может считаться линейным.
Приведем примеры математического моделирования методом несущей на основе принципиальных схем. Пример 4Л. Рассмотрим построение математической модели диодного амплитудного детектора (рис. 3.4). В этом случае система дифференциальных уравнений приводит нас х единому нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка (3.18). Для моделирования входного амплитудно-модулированного (АМ) сигнала можно в соответствии с табл.
4.2 использовать линейное параметрическое дифференциальное уравнение второго по. рядна Лох стх — +аз [Х(1)[ — +ио[Л(1)[х-о, сСГо Н (4.10) где коэффициенты а1[Х(1)), а,[Х(1)[ описываются формулами, приведенными в табл. 4.2 (3 я строка). В результате математическая модель схемы на рис. 3.4 принимает вид рис 4,1.
При квазистатнческом методе дифференциальное уравнение (3.18) заменяется уравнением безынерционного нелиаейного звена (БНЗ) у(1) — гб[х(Г) — у(Г)) =О. (4.11) Для конкретного вида нелинейной характеристики б(и) это уравнение можно решить в явном виде и тем самым представить модель схемы на рис. 3.4 в виде БНЗ. Пример 4.2. Генератор, управляемый (по частоте и фазе) напря. жением (ГУН), является основным элементом следящих радио.
устройств типа схем фазовой (ФАП), частотной автоподстройкн (ЧАП). Принципиальная схема ГУН показана на рнс. 4.2. Рис, 4.1. ток Ск стив с Рис. 4.2. С помощью управляющего напряжения и (1) осуществляется управление емкостью С=С[из(1))=С(1), в соответствии с регулировочяой зависимостью С С(из)=Ск зсиг, ли=Со/по. (4.12) Введя шумовой ток 1м=$ и характеристику нелинейности 1к= б(ив), составим исходные уравнения для мгновенных токов в напряжений (к=гк+й Сс+1с* Си=с(пв)' "п™(с' к к ик — нг и,'все , "ьс = (сик) =сии +с ик.
Это приводит к дифференциальному уравнению Сйьиь+(Съь+гС)уь — 0(МС'ь)+(1+иС')1ь=К. (4.13) Преобразуем это уравнение, введя выходное наприжение ГУН у= (ь н нормированное входное напряжение пг(С) С(и„) х(С) = р((1) = — =1- Г (4.14) ио Со где Со — емкость, определяющая частоту собственных колебаний ГУН пРи отсУтствии УпРавлающего иапРЯжениЯюак ыгп =!/У ССо. Это дает вам дифференциальное уравнение 1ьо (Х) у"+сои~па (Х Х') у ма~0 (Му')+ма~но (Х') у =оаа%- (4 Гб) Здесь )ьа(Х')=1 — СоХ' И (Х Х')= Со(1 — Х вЂ” УХИ' )ьз(Х)=1 — Х (4.16) 87 -э.
1 .э. з В $ц и ю 1 Е о о ел 11 1! з я Е о + ~ й Е 11 ~ц с о э 1 э о о о эц 11 я В о в о В Рнс. 4.3, — яоэффицненты, параметричесии управляемые нормированным управляющим напряжением (4.! 4). На основании (4.14) — (4.16) имеем струнтуриую схему модели ГУН (рис. 4.3). 4.Х МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ РАДИОСИСТЕМ И РАДИОУСТРОЙСТВ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СХЕМ я ( о я я б ВВ В Метод несущей можно применить для формирования математических моделей радиосистем и устройств при наличии их формального описания на уровне функциональных схем. Для построения библиотеки математических моделей элементов функциональных схем необходимо условиться о способах математического описания их операторов.
В зависимости от имеющейся априорной информации математическое описание кажлого оператора можно выполнить с различной степенью подробности. Один из распространенных способов упрощенного описания при недостаточной априорной ин. формации состоит в том, что математические модели операторов вводятся в предположении, что все они выполняют свои функции идеально, т. е. не учитываются погрешности преобразования сигналов и помех функциональными звеньями радиосистемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
