Борисов Ю.П., Цветнов В.В. Математическое моделирование радиотехнических систем (1985) (1186205), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ная» и «фазовая» корреляционные функции проекций А, и. Корре- ляционная функция г„(т) имеет вид радионмпульса (рнс. Е.а,в], ш Функции гн(г), р(т) всегда четные, а зв(т), Т(т) — всегда ие. четные. Если аффективная ширина функций ош(/) и ги(т) равны со. ответственно ) Вш([И! аа е . атш = ) г (т)Ж, то всегда соблюдается условие и/шатш=1. Если функция вш(1) симметрична относительно /ш то зь (т) =т(т) =О, ги(г) =р(т). 5.ш МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАДИОЗВЕНЬЕа ~~~~ а;уд! (1) =~ б,-хус (1), лз(и.
(5.5) с=о с=о На основании любого из этих описаний можно построить эквивалентную модель методом комплексной огибающей. Так, распространен временной метод, сущность которого сводится к следующему. Пусть задано стационарное линейное радиозвено (рнс. 5.4,а) с им. 100 Математическое описание стационарных линейных радиозвеньев. Всякое стационарное линейное радиозвено (с резонансной частотой оуа) можно описать импульсной характеристикой й(1), комплексной частотной характеристикой К()оу) нли линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами пульсной характеристикой /с (1) =»те(Й(1) ехр ()соа1) ) = = !хе(Н (1) ехр (1 [еуа/ — ср (/) И) = =Н (1) соз [оса/ — ф (1) ), (5.6) где ша — резонансная частота радиозвена и введена комалексная огибающая импульсной характеристики Й(/) =Н(1) ехр [ — )ф (1) ) =й, (1) — )йа(1), (5.7) й,(1) =," (Н(1)) а Н(1) ",' ф(1).
(5.5) Входной и выходной радиосигналы представим в виде узкополосных колебаний несущей частоты оу,: х(1) =[хе (Е„(1) ехр Ц [ш,1 — ф, (1) ) ); (5.9) Ез Я = Е (1) Х'„/ й (/) = ~ Е, (1 -- ) Йш (т) с/т = о с ') Е„( )й (1 — )с/ш — аа (5.10) Здесь Й (/)=й(1)ехр( — )ас,/) (5.1! ) — комплексная импульсная характеристика модели— вквивалентного низкочастотного звена (рис. 54,б). 101 У(1) =»хе(Ев(1)ехР() [от,/ фв(1) )). Подстановка (5.9) в (3.19) приводит нас к интегралу Дюамеля (интегралу свертки) для комплексных оги- бающих Покажем связь (5.11) и (5.7), для чего подставим (5.6) в (5.10) и воспользуемся формулой )те и=0,5(и+и").
Тогда придем к решению 1 Ь (Г) ось — Н (Г) ехр ( — ! Ьв, Г) =- l ес(а ( (5. ! 2) = — Н(Г) ехр [ — ! [Ьв,(+Р(1))) Ь,„,(1)-)Ь,(Г), (5.!3) 1 Рас. 6.6. где введены квадратурные составляющие Ь,„(Г)= 2 Н(Г) . [Ьвс(+(р(Г)). (5.14) Комплексную модель линейного радиозвена (рис. 5.4,б) обычно разбивают на действительную и мнимую части. Для этого, положив Е„=а — !Ь; Е„=а„— !Ь„, (5.15) из (5.10), (5.13) находим ,(ь)=) ~,(ь — )ь,(.)ь — 1ь,(ь — *)ь„,(*)сс (5.!6) ь„(ы=) ~,(ь †.)ь„.() (,.).
! ь,ь — )~,()с*. о Алгоритмы (5.16) соответствуют модели эквивалентного звена в виде комплексного фильтра (рис. 5.5), которая обычно и используется при моделировании линейных стационарных радиозвеньев методом комплексной оги. бающей. Применяют также спектральный метод, сущность которого сводится к следующему. В соответствии с теоремой смещения преобразования Фурье [4], если преобразование Фурье для Ь(Г) равно К()а), то для функции Ь,„(Г) =Ь (Г) ехр ( — )а,Г) оно равно Кьс()ьс) =К[!(ас+сс)1= = К[! (ао+Аас+())1. (5.
17) Это означает, что операторному уравнению стационарного линейного радиозвена (рис. 54,а) у(Г)=К(1а)х(Г) 102 соответствует операторное уравнение модели эквивалентного звена для комплексных огибающих (рис. 5.4,б)' Ео (Г) = К,„()Я) Е, (Г). 'Я О,.р1 К(р) = — = В(р) 1 о — А (р) — с ~ вьр (5.20) Подставим в нее в соответствии с (5.19) р=з+Рь, рь=ро+Арс=!ас=! (ао+Аас) (5.21) Тогда К Гр)=КГР=е+р,)= + ' — ' ( . (522) В (с+ Рь) Вьс (Ы 106 Аналогично можно получить операторные уравнения по Лапласу у(Г) = К(р) х($); Ео(Г) =Ко„(з) Е„(1), (5.18) где р=!а; з=!11; К„(з) =К(ро+Ар,+з), Ро=)ао, Арс=!ас.
(5.19) Получение передаточной функции (5.19) или ее аналога (5.17) является главной задачей при моделировании. Для их нахождения разработан ряд способов. Способ подстановки в точное решение для К(р). Пусть передаточная функция моделируемого радиозвена имеет вид Г1рименив разложения (яо биному Ньютона) и исполв зуя соотношения л с л л За Л А,."=Х " =Хд с=о о=о с о ~с найдем по формуле (5.22) е л К,„(е) = ~ Вс (Р,) зс ~ '~~~ А„(Р,) з«, т ( и. (5.28) с=о «=о Здесь А (р,) ='~~~ С„р," "а„; е=« (5.24) В,(р,)= ~ С,' р'-'Ь,. Решению (5.23) соответствует точное решение для комплексной частотной характеристики модели эквивалентного звена на рис. 5.4,б 'Я В, 11 (,, )- а ,)1 1)а)с К,„(1«с) — „ (5.25) ~ А«Н (с«о+с)и,.)1 ()ц) «=о Это также дробно-рациональная функция, но с комплексными коэффициентами.
Способ предварительного упрощения передаточной функции моделируемого ридиозеена. Сущность его рассмотрим на двух примерах. Рассмотрим в качестве примера эквивалентную схему резонансного усилителя на одиночном параллельном ко. лебательном контуре (рис. 5.6,а) . Введя комплексное сопротивление контура У,(со), сделав допущение гс '.о .В 12,(ос)~ и введя крутизну электронного прибора 3= =)сСгс, запишем решение для комплексной частотной ха. рактеристики усилителя 141 )о4 Рао.
6.6. которое соответствует передаточной функции (5.20), где Ьо— - Яг, Ьс — — П., Ьо Ьо ... 0; а«=1, ас=гС, а«=3.С, а,=...=О, Введя параметры 1 о У~' ° —,Ь вЂ” Ь~ — у '7 ~ ' упростим решение (5.26); К К (103) О (о + 1сосмо) к 1+о()сос )+( с )' ' Введем расстройку частоты Я=со — осо. Считая величи- ны Я/осо и 6 одного порядка малости получаем прибли- женное решение Кн()со) =Кн()а) =1/(1+))а), (5.28) где а=а (Я) =20/Ьсоо = 21г (ю — «со) /соо (5.29) — обобщенная расстройка 141.
Решению (5.28) соответствует упрощенная передаточная функция Кя(р) — (1+2(с',))соо) (р — ро)1 '. (530) Применив (5.19), получим приближенное решение для передаточной функции модели экя (з) = /Сн (Р = Ро+ Дрэ+е) ~ 1 А д (5.31) где В,(бр,) = (1+2 — „Лр,,1 о'о А,(с«р,)=2 — 11+2 — Ьр ) м,с со« (5,34) Полученное решение является частным случаем об- щего решения (5.23).
Передаточная функция (5.31) на- зывается укороченной передаточной функцией радно- звена. Для схемы резонансного усилителя на паласовом фильтре (рис. 5.6,6)' при одинаковых и одинаково на- строенных контурах, когда г = — = " = "о"ог) — о)оС)г~~ ~— ~ =н' ооч) ))' о)тТ~Г У с,,~., можно получить точное решение К (Ьо) ао (1 + Оо) (')о/ о) " ()'") — й', — ((1 /мо) + ()мУмо)+И'-ЗоВ (У! 1' ' (5.32) Это также дробно-рациональная комплексная частотная хар актеристика вида (5.20) при т=1, п=4.
Используя тот же прием упрощения, мы придем к решению (, 4, 11 ( +1) (5.33) Кн(1 )=Кн()а. р) — (,»., )о» ., ( ) где а — обобщенная расстройка, определяемая ( . (5.29). Применив (5.19), снова получим укороченную ком- плексную частотную характеристику эквивалентного звена вида (5.25) при т=0, п=2, но с комплексными коэффициентами Во (1 Ьо)с) = — 1 (1+()') М (1 йо),); А,(Р.,) =2 — „(1+ — )й .) М(15,), Я г Я г Я 1$ Ао (Фо)с) — ( ~™ () о)о) М()йео) = ~1+2 — )йо)„+ ( — ) (1йо),)'1 Способ укороченнь)х уравнений.
В 1948 г. С. И. Евтя- новым (111 был предложен приближенный способ на- хождения укороченных передаточных функций линей- ных радиозвеньев, для которых комплексная частотная характеристика имеет вид Р ()о), 3) К()а) = ь' где б — малый параметр, а Р, ),) — полиномы произвольного вида. Сущность метода Евтянова заключается в разложении функций Р(1о), б), ),)()о), Ь) в ряд Тейлора около точки )о)о и в ряд Маклорена вокруг точки 5=0 с дальнейшим удержанием в разложениях членов не выше второго порядка малости. Способ укорочения дифференциальных уравнений для комплексных огибающих. Метод комплексной огибающей можно.
применять и при описании моделирующего радиозвеиа с помощью дифференциального уравнения (5.5), которое можно записать в операторной форме ;~~ ао(У )'У(1) ==;~ 5) (у )'х(1), тс" и. )=о Представляя х(1) и у(1) в виде (5.9) и используя формулу Лейбница, нетрудно прийти к решению и ч~ А, [)(., +й,))Е,'о)(1)=~ В, ()(о, +йо,)) Е") (Г), (5.35) )=о которое в точности соответствует решению (5.25). Точные дифференциальные уравнения (5.35) можно укорачивать, если использовать условие медленности изменения комплексной огибающей Ер)Я бш, Е(1), Еп) (Г) ъ 8'ю',Е(1), ..., (5.35) где б — величина первого порядка малости. Подставив в (5.35) формулы (5.15) и разбив комплексные коэффициенты А)„В) на действительные и мнимые части, можно получить два линейных дифференциальных уравнения с действительными коэффициентами для нахонсдениярешений а„(1), ()о(1) на выходе комплексного фильтра вида, приведенного на рис.
5.5. Математическое описание иестациоиарных линейных радиозвеньев. Здесь обычно применяется два метода описания: временной и метод дифференциальных уравнений. При использовании временного метода находим обобщенное уравнение )(юамеля для комплексных огибающих на выходе и входе эквивалентной модели нестационарного линейного радиозвена, подставив (5,9) в 107 (3.19а): ь Рос. Б.Т. (5.37) (5.42) (5.43) Фод(1) =йв 1 — фод(1). (5.40) с комплексной импульсной характеристикой Ь„(1, т)-й(1, т)ехр( — 1в,т).
(5.38) Используя (5,15), можно прийти к модели комплексного фильтра типа, приведенного на рис. 5.5, но с нестационарными импульсными характеристиками й„(1, т). Используя метод дифференциальных уравнений, можно получить точное решение дифференциального уравнения для комплексных огибающих Ео(1) и Е„(1), взяв за основу уравнение вида (3.15) и формулы (5.9), которое после применения формулы Лейбница, принимает вид ~х~ А (1, 1<е) Е'и (1) ='~ В, (1, 1в,) Е о (Г). (5,39) д=о с=о Здесь введены комплексные коэффициенты Ад(1, 1,)=~~~ С~~()в,)~ а (1); 5.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
