2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пусть первая «катастрофа» поступила на И вЂ” 1-периоде, начавпсемся, когда требование приоритета И обслуживалось время х, х)0. Тогда необходимо, чтобы за время х не поступали «катастрофы», «синие» требо-: вания приоритетов Йг, «плохие» требования приоритетов 1, И вЂ” 1; за время х обслуживание И-требования не закончи-: лось, оно было «красным» и в И†1.периоде (рассматриваемом как отдельный промежуток), «катастрофа» поступила, когда в! системе нет «синих требований; вероятность этого события, равна для схемы А2 йь(г, з) = гф„(в+ аь,) ~! — вьа (1 я„(в+аь,))<рь,( )) л+ а», Задача 4 (продолжение).
Для всех схем найти МФ» 0Ф» 1=1, г. 3 ад а ч а 5. Доказать соотношения (22), (23), связывающие распределение 1.(1) .на яяп-периоде с распределением 1 (1) на й-цикле. Задача 6. Найти МТ.» (И.» 1=1, г. 3 а д а ч а 7. Пусть в схемах А1, А2, АЗ Ч'; — число прерываний обслуживания требований приоритета ! в течение периода занятости, Ч" = (Ч'» ..., Ч"„) . Найти ф(х) =Мяч'. й 3.
ВИРТУАЛЬНОЕ ВРЕМЯ ОЖИДАНИЯ 1. Определения и обозначения. В этом параграфе будет изучаться та же система обслужи|вания, что и в предыдущем, но нас будут интересовать другие характеристики. Не менее важными, чем рассмотренный в параграфе 1 случайный процесс 1. (1) = (А, (1), ..., 7 „(1) ), являются величины, характеризующие процесс ожидания. В данном параграфе будут изучены две из них: виртуальное время ожидания требования до первого поступления его на прибор и виртуальное время пребывания требования в системе. Определения этих величин следующие: )рь(1) — виртуальное время ожидания в момент времени 1 для требований приоритета й — время, которое будет ждать до начала своего обслуживания требование приоритета й, если его поместить в систему в момент 1; Гя(1) — виртуальное время пребывания в системе в момент 1 для требований приоритета й — время, которое будет нахо'- диться в системе требование приоритета й, если его поместить в систему в момент й Заметим, что требование, которое мы помешаем в систему в момент времени ! при определении величин )Уь(1) и Ун(1) ° фиктивное, в том смысле, что оно берется не из входящего потока.
В следующем параграфе мы укажем, как находить время ожидания и время пребывания для настоящих требований, т. е. требований из входящего потока. При этом окажется, что стационарные распределения виртуальных и действительных времен ожидания совпадают. К сожалению, это совпадение имеет место не для всех систем обслуживания. Тем не менее (и при исследовании других систем обслуживания) изучение виртуальных времен ожидания не лишено смысла, так как они не- 139 сут в себе достаточно много информации о действительном процессе ожидания, а во многих случаях дают возможность и полностью его определить.
Положим в„(з, Г) =Ме ~~~, ог(з, Г) =Ме Ю в,'(з, Ч) = ~г-мв (з, 1) сй, о'(з, Ч) = ) г-Фо (з, 1)г(1. о о Не оговаривая особо, будем использовать результаты и обозначения из 5 1. 2. Основные результаты. Поведение случайных процессов (Рд(Г) и Ух(1) изучается ~в приводимых ниже теоремах 1 и 2 и их следствиях. Теорем а 1. Функции вх(з, г) и вд*(з, Ч) определяются соотношениями: а) в случае относительного приоритета (схема 0) при дисциплине НРО в,(з, 1) = е~ь~"'(1 — иг(з) ~ Р,(х) е ~~в" дх— о 1 — (1 — ~1 (р„(з))) ~ Р; (х) е '~~вмг(х~, !=х+! о в',(з, Ч) = = Й Фх (з)1 (1 рх (з) Ро (Ч) Я (1 1з (рг (з))) Рз (Ч)~.
/=л+1 при дисциплине 1,1РО в„(з, 1) = ечхаи (1 — угу (з) ~ Р„'(х) г чхпм дх— — ,'~ 11 — (3 (рг+~ (з))) ) Р (х) е ч"~ ~ г(х~, у=~ о ва ( Ч) = (Ч 'Рх(з)1 11 (х (з)Ро(Ч) где фк(з) г а — аг+аф~(и~(з) ), %~ (з) = а+ ае Мг (их+~ (з) ) 140 и»(в)» в+о» ~ — о» ~п» ~(я), рп(в) =в, Я фУнкции Ро (Ч) = ~ е — '" Ро (х) дх и Р; (Ч) =- ( е — о" Р; (х) йх опРедео о ляются из рекуррентных соотношений (одних и тех же для обеих дисциплин Р1РО и 1.1РО) ро(Ч)+ ~~1 Р' "«+'(о) р;(Ч) =р~+,(Ч), 1=0, т; 1»»+ И) /=»-~-! б) в случае абсолютного приоритета (схемы А1, А2, АЗ) при дисциплине Р(РО ы» (з, 1)1= е"»соо (1 — з ~ Р, (х) е~»'"йх— — (1 — и» ~(в)) ~ е~»инР,(х) йх~, о оо» (в, Ч) = (Ч вЂ” а» (е)) ' (1 — яро (Ч) — (1 — и» ~ (е)) р, (ЧН при дисциплине 1.1РО оо»(з, 1) = Р,(1)+ ~ Р,(и) ди ) ехр( — (я+ а„— а»п»»(в)),(о + о 1 — и + и — 1))йП», (о) + ~Р,(и) Ии ) ехр( — (в+ а»вЂ” о » — а — а»п„» (я)) (о + и — 1)) йН» (о), и», (о+ ໠— а»п»» (з)) — и», (Ч) Ч вЂ” я — а» + а»п»» (5) и»» (о) — й» (О) +р (Ч) Π— о — а» + а»п»» (о) где и»(в)» в — а»+,а»й»(е), р,(Ч) = ~ е-о Р,(1)Ж = (1 — и», (Ч+ ໠— а»п»»(Ч)))-' Х о х (1 — (Ч; а, — а,то,» (Ч)) р, (Ч)), 141 Р»(С) = ) е ~ ра(1) дг (1 Яро (Ч) (1 и» вЂ” ~ (Ч)) Р» (ц)) Х х [1 — й» (д)] — '.
С л е д с т в и е. Пусть рю (1, тогда для всех схем О, А 1, А2. АЗ существуют пределы Яу» (1) =~ Ю», 1-~-ао, причем функция ь»»(з) =Ме,"'» определяется по формулам: а) в случае относительного приоритета при дисциплине Р)РО (1 — Еп) р»(г)+ Х а)(1 — Р)(р»(г))) » (з)— 5 а» + а»р» (Н» (8)) при дисциплине 11РО Г (1 — е ))»ы (»)+~ аг(1 — рг(н»+ (г))) » (з)— У=» г+ ໠— а»()» (р»+, (»)) б) в случае абсолютного приоритета при дисциплине Р(РО »+ а», — а»,я», (г) » — а»+ а»а» (г) при дисциплине 11РО ~1+ 1 — п»,(»+໠— а»п»»(г)) ~ г+ ໠— а»п»» (г) + а» 11 — и»» (»)1 »+ ໠— а»п»» (г) Теорема 2. Функции о»(з, 1) связаны с ь»»(з, 1) следующими соотношениями: а) схема О о»(з,() =ь»»(з,()р»(з); б) схема А1 о»(з, 1) =ь»»(з, 1) ~Ц(з+ о» 1) + [1 — р»(з+ о» 1)]» ' 1; 5+ а»„» в) схемы А2 и АЗ о»(з, 1) =ь»»(з, 1) й»(з).
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1. Рассмотрим каждую схему отдельно. При доказательстве будем использовать метод введения дополнительного события. 142 а). Схема О. Дисциплина Р)РО. Пусть вь(1) — время, отсчитываемое с момента 1 до первого после 1 момента, когда система освободится от требований приоритетов 1, й, поступивших до момента 1, и от требования приоритета ! (1=и+1, г), если оно обслуживалось в момент 1, при условии, что после момента 1 доступ требований в систему прекращен. Другими словами, вь(1) — виртуальное время ожидания в момент ! для требований приоритета й, если после 1 доступ требований в систему прекращается.
Положим ы»(з,г) =Ме — ' ьи> Пусть, далее, Р«(1) — вероятность свободного состояния системы в момент 1 и Рз(х)йх — вероятность того, что в интервале времени (х, х+~(х) началось обслуживание требования приоритета 1'. Докажем, что ехр ~ — Я а; (1 — р, (з)) 1) —.— е — ив» (а, 1) + + ~ Р, (х) ехр ( — ~, а, (1 — р, (з)) (1 — х)) г((! — е ') + о 1=1 + ~ ~ Р; (и) ехр ~ — ~' а, (1 — р, (з)) (1 — и)) Ни х У=»+1 О 1=! х ~ [1 — В~(х — и)[д(1 — е — ' ). Все поступающие до момента 1 требования приоритетов 1, й разобьем на два класса: «плохие» и «хорошие». Требование назовем «хорошим», если за время его обслуживания не поступает «катастрофа», и «плохим» вЂ” в противном случае.
Тогда каждое требование приоритета 1 (1=1, й) является «хорошим» с вероятностью р;(з) и «плохим» вЂ” с вероятностью !— — р;(е) независимо от остальных требований. Отсюда вытекает, что потони «хороших» и «плохих» требований приоритета 1 являются пунссоновскими с интенсивностями а;р;(з) и а;[!— — р;(з) ) соответственно. В левой части соотношения (1) стоит вероятность того, что за время 1 в систему не поступали «плохие» требования приоритетов 1, й (событие А(е, 1)). Это событие является объединением следующих непересекающихся событий: а) «катастрофы» в систему не поступали ни за время 1, ни за время ид(1) (вероятность чего равна е-ив„(зг 1)). Действительно, обслуживание всех требований приоритетов 1, й, по- 143 ступивших до момента 1, закончится к моменту г+й!д(!) (это следует нз определения й!о(!)), и поэтому если за время !+ +й!о(!) «катастрофы» не поступали, то они не поступали и за время обслуживания требований приоритетов 1, я, поступивших в систему в интервале [О, Г), и, следовательно, эти требования — «хорошие»; б) «катастрофа» поступила в систему за время !+Ыо(Г), прв этом для того, чтобы выполнялось 'событие А(з, Г), надо, чтобы: 61) либо первая «катастрофа» поступила в интервале (х, х+о(х), х<!, в этот момент система была свободна и за время ! — х «плохие» требования приоритетов 1, а в систему не поступали (вероятность равна ! о ~ Р, (х) ехр ( — ~, а! (1 — р, (з)) (à — х)) !!!(! — е — ")); о 1=! б2) либо первая «катастрофа» поступила в момент х, х)О, когда обслуживалось требование приоритета ниже !о; при этом его обслужи~ванне началось в:интервале (и, и+о(и), и<!, н за время ! — и в систему ~не поступали «плохие» требования приоритетов 1, !о (вероятность равна ~ Р; (и) ехр ( — Я а, (1 — р, (з)) (г — и)) о(и х !=о+! о 1=! х ~ [1 — В,(х — и)) о((1 — е — ")).
и Итак, соотношение (1) доказано. После несложных преобразований из (1) получаем о!»(з, Г) = ехр((з — 1 а,(1 — р!(з))) !) х м (1 — з ( Р, (х) ехр ( — (з — Я а! (1 — р! (з))) х)) о(х— о !=1 I 'о — (1 — р; (з)) [ Р, (х) ехр ( — (з — 1, а,'(1 — р! (з))) х) о(х. (2) Заметим, что соотношение (2) доказано нами при к=1, г. Однако если под Ыо(!) понимать время, отсчитываемое от момента 1 до освобождения прибора от требования (если таковое имеется), обслуживаемого в момент Г, то это соотношение будет справедливо и при 1=О..Это утверждение нам понадобится прн изучении 1«о(!) при дисциплине 1.!ГО. 144 Так как вь(з, 1) для таких з ограничена (при всех 1), а ехр [[а — ~ а!(1 — [)!(з)))!~ оо, 1-! ос, то 1 Ф 1пп [1 — з ~ Р,(х)ехр( — [з — а, (1 — р! (з))) х~ дх— 1=! — (1 — ~;(з)) ~ Р;(х)ехр ( — (з — ~ а!(1 — [1!(з))) х~ дх~ = О.. /=в+и о (=! Положим !у =- з — ~ а!(1 — р,(з)), тогда д>0 и з = рл+!(д).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
