2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Следовательно, к в Н, (х) = ~ е '»-'" »(В» (и) + ~ ~ ~ е '»- " Х о г=~ о (о» и)' х (о»»и) Р (П~~~, ~ х — и) иВ» (и). л Используя (3), отсюда получаем утверждение в) леммы для схем О и АЗ. в2. Схема А1. В данном случае й-цикл имеет значительно более простую структуру, чем в предыдущем: если за время обслуживания требования приоритета й, с которого начинается й-цикл, не поступит требование более высокого приоритета, то по его окончании закончится и й-цикл, Если же за ~время'обслуживания поступит требование более вЫсокого приоритета, то й-цикл состоит из времени с начала обслуживания до момента прерывания плюс длительность последовавшего затем й — 1-периода. Итак, Н, (х) = ~ е '»- "е(В (и) + ) 11 — В» (и)) П» ~ (х — и) и (1 — е»-' )- о о Отсюда й, ( ) = и» ( +,,) + ~ е- ~ (1 — В, (и)] Х о о Х д,Пд ~(х — и)»((1 — е»-'") = р»(з+ о» вЂ” ~) + ° Ф + ~ о»,е ~»-'" [1 — В»(и))е — '"Ыи~.г н — мй„П» ~ (х — и) = о И =р»(з+ о» ~) + 1 — Р» (» + о»,) о»,и» ~(з).
5+ О» вЗ. Схема А2. Этот случай отличается от предыдущего тем, что если за время обслуживания требования приоритета й поступит требование более высокого приоритета, то, так как прерванное требование возвращается ~в очередь, й-цикл Н» представим в виде Н»=а»+П» ~+Н»', где ໠— время до прерывания, П» ~ — длительность последовавшего за прерыванием й — 1-периода, Н»' — сл. в., стохастически эквивалентная Н», Действительно, после окончания » — 1-периода прерванное требование, вновь поступает на обслуживание (с новой реализацией длительности обслужива- 12Т ния), т. е.
мы находимся в этот момент в том же положени что и при первом поступлении. Из сказанного следует, что к Н,(х) = ~ е оа- "дВ (и) + о е + ] [1 — Во (и)] По ! а На (х — и) с((1 — е а-!"), о где Па !аНа(х) — свертка Па !(х) и Но(х). Отсюда )!а(э) = Ра(з+ оа — !) + [1 — !ао(з+ оа !)] ~ ' ям !(э) Ьа(з), о+ оьи нто эквивалентно утверждению леммы. 4. Основные результаты. Как уже отмечалось, при исследо ванин .приоритетных СМО имеет большое значение более де талвное изучение состава очвреди. Во многих случаях важи знать не только общее число требований ~в системе, но и сколь ко из них имеют определенный приоритет.
Это приводит к н обходимости изучения многомерных случайных процессов В приводимой ниже теореме 1 и следствии к ней изучены ос новные характеристики случайного процесса 1.(!) = (Ь|(1)... ..., Е„(1)). Показано, что метод дополнительных компонент, ко торый мы использовали при анализе длины очереди в систем М]6[1!оо, применим и х приоритетным оиствмам. В предыдущем пункте мы отмечали, что для одинаковых п смыслу характврнстнк (но определяемых, естественно, из ра иых соотношений) для разных приоритетных дисциплин мы ис пользуем одинаковые обозначения.
Поэтому в пр~иводимых ре зультатах надо брать именно то определение характеристик которое имеет место для данной приоритетной дисциплины. Теорем а 1. При ]г!~(1, !=1, г, Веэ)0 функция р( з) определяется по формулам: а) для схемы О Р(х,э)= [э+о — оп(э)] ! [1+ чогт ' + !а'а)) р;(х,з)~, о+ о — (а, х) с=! еде ро(х, э) определяются иэ рекурренгных соотношений [1 — г; ' р, (з + о — а; (з, х!))] р, (х, з) = а; (э, х') — оп (э), с=!! ь! где а! (э, х!) = о,п! (э+ о! — (а, х) l) + (а, х) !; б) для схем АЕ и А2 Г р (х, з) = [з + о — оя (з)] — ' [1 + Я ' .' р! (х, з) ~ о+ о — (а, а)1-' о=! 128 где р;(х, з) определяются из рекуррентных соотношений Г Х ~! — 5,—.7[), (5 ст Π— (а, Х)'-') — г, ' ' ' Х 1 — (1~ (5 -1- о — (а, 5)1 ) (5-1- о — (а, г)~ ' »=1-1-1 1 — ! х ~о(л! (5+ еу — (а, г)!)1+ ])~~ а,г,] ~ р» (х, 5) = »=(+~ = о(л! (5 + о! — (а, г) !) + (а, г)' — ол (5), ! = О, т — 1, ! О, для схемы А!, где 6 = ~ ~ 1, для схемы А2; в) для схемы АЗ р(г, з) = [з+о — ол(з)]-' [1+оп(г, 5)], где ол(г, з) =о,л,(г, з), а л»(х, 5), И=1, т, определяются из ре- куррентных соотношений о,л,(г,з)=о» |л» ~(х,з)+ ' Х И» (г, 5) 5» — И»(5+ о» 5 — (а, 5)" 5) Х (а»г»+ о» 1л», (з+ о' ' — (а, г) " ')— — о»л»(з+,о» вЂ” (а, х)»)), 1 — (!»(И»(5+ о» ' — (а, 5)» ')) !»» (х, 5) — г» Х (»» (5+ о» ' — (а, г)»») Х(1+о» ~л»,(х, з)), (»ГГ(з) =5+о» 1 — о» 1л» ~(5), Й»(з) =й»((»»(з)), лю(х,з) =О.
Следствие. Пусть р„1(1, тогда существует предел Е (!) =:- 1., 1-»-оо, причем функция Р(х)=Мх" определяется соотношениями. а) в случае схемы О Г Р(х) =(1 — р„) ~1 -- ~~~~ ~' '') р,(г, О)~; б) в случае схем А! и А2 à — — — -"',,( ф о — (а,гр ' ~ =-! 129 5 В Ф ИГ15»ев, В Г Гша,о» ]е Д~ Р,. (п, и, 1 + Л) Ьи = ~~~ ~ Р, (п + 1о, х, 1) и, (х) с(хЛ + о о=ь о=ь о Г + ~, П Ьо, об,да,Р (О, 1) Л + о(Л). Оеа Из (4) — (6) имеем дРо(п, х, ~1, дРо(п, х, 0 (а+ т);(х)] р (и, х 1) + д~ дх (6 + ~ (1 — Ь~, о) а;Р, (и — 1;, х, Г) + (! — Ь„ол) а,.Р; (и — 1,, х, 1), (7 130 в) в случае схемы АЗ Р(г) = (1 — ро) (1+оп(г, О)].
Доказательство теоремы 1. Рассмотрим каждую при' оритетную дисциплину отдельно. а). Схема О. Рассмотрим случайный процесс (Е(1), х(1), 1(1)), где х(1) — время, прошедшее до момента 1 с начала обслужи вания требования, находящегося в момент 1 на приборе, есл 1.(1)ФО и 0 — в противном случае; 1(1) — номер потока, треба ванне которого обслуживается и момент 1. Если в момент система свободна, полагаем 1(1) =О. Так как входящие потоки — пуассоновские, введенный слу чайный процесс является марковским.
Рассматривая измене иия состояний этого процесса в интер~вале времени (1, 1+Л) имеем ( Р;(и, х, М) = — Р(1. (Г) = и, х(Г) ( х, 1(Г) = 1)): дх Р; (и, х + Л, 1+ Л) = Р; (и, х, 1) [1 — (о + Ч; (х)) Л] + + ~ (1 — ЬлГО) а;РО (П вЂ” 1Ь Х, 1) Л + /ооо + (1 — Ь„а ~) а,Р; (и — 1,, х, 1) Л + о (Л), (4 где 1;=(0,...,0, 1, 0,...,0) — вектор размерности г, у которо на Ьм месте стоит единица, а на всех остальных — нули, и;(х) =Ь;(х) ]1 — В;(х)]-', Р (О, 1+ Л) = Р (О, 1) (1 — аЛ] + + ~ ~ Р, (1„х, 1) Ч, (х) с(хЛ + о (Л), (5 ~=~ о с = — пР(0, 1) + !)~ ~Ро(1о х, 1) Чо(х)с(х, (8) !=! о ~' Р,(п, + О, 1) = ~' ~ Ро(п+ 1„х, 1) т1,(х)Ых+ о=! !=! о + ~' П б„,,б..лахор(О, 1).
(9) о=! /оо! Переходя в (7) †(9) к'производящим функциям и преобразо- ОВ СО ваниям Лапласа по 1, имеем (р!(г, х, з) = ~] г" ] е — и Р! (п, х, 1) ог) о=о о = — (о+ и — (а, г)+ т)!(х)]р!(г, х, з), (10) Г 1 В ~ р, (г, О, з) = ~~ г;.-' ( р, (г, х, а) т)! (х) !(х + о=! с=! о +1 — (а+и — (а, г))ро(з). (1!) Решение системы дифференциальных уравнений (10) записывается в виде р! (г, х, о) = (1 — В! (х)] е !'+ !'ам р, (г, О, з). Подставляя полученное выражение для ро(г, х, з) в (11), по- лучаем В силу того что требования о-го потока имеют относительный приоритет перед требованиями !что потока при !(1, функция р;(г, О, з) не зависит от г„...,г; ь Действительно, Ро(п, +О, 1)б есть (с точностью до.о(Ь)) вероятность того, что в момент ! началось обслуживание требования !-го приоритета и в этот момент в системе находится и, требований !что приоритета, !'=1, г, Если существует 1=1, ! — 1, такое, что и!)О, то Ро(п, +О, !) =О, так как тогда в момент 1 были бы требования более высокого приоритета, чем !, и началось бы обслуживания не !'-го приоритета, а более высокого.
Отсюда вытекает, что р, (г, О, з) не зависит от г!, ..., г,, Рассмотрим систему уравнений !=1, !. г!=р,(э+о — (а, г)), 131 г ~~' 11 — г;. !р! (о+и — (а, г))] р; (г, О, з)'= 1 — (з + и — (а, г)) р, (з). (12) В силу леммы 1 она имеет единственное решение «! =л,! (а+ о!' — (а, г) !), ..., г, = л„(з+ о! — (а, г) '), причем [л,!(а+о' — (а, г)') [ <1. При таких г!, ..., г; функции р! (г, О, з), ..., р, (г, О, з) ограничены. Следовательно, подставляя в (12) вместо г!, ..., г; соответственно л„(а+о! — (а, г)!), ... ....
лп(а+о! — (а, г)!), получаем [1 — г —,!р! (з + о — о,л; (з + о' — (а, г)!) — (а, г)')! р, (г, О, з) = !=!Ре! =- 1 — (з + о — о,л; (з ~ о' — (а, г)') — (а, г)') р„ (з). Отсюда при !е г находим ро(з) = [а+о — ол(з) [ Далее, из определения функций р(г, з), р„(з) и р,(г, х, з) имеем Г 0 р(г, з) =- р, (з) + ~ ) р, (г, х, з) !(х, !=! о или, используя представление р!(г, х, з) через р!(г, О, з), р(г, з) = р,(з) +%~ ' ' р,(г, О, з). !+ о — (а, г) !=1 Для доказательства утверждения а) теоремы осталось положить р!(г, О, з) = х+ а — ол (а) б). Схемы А1 и А2.' Проведем доказательство для схемы А1, доказательство для А2 аналогично.
Рассмотрим такой же. случайный процесс ($.(!), х(!), !(!)), как в предыдушем пункте доказательства теоремы. Сохраним прежние обозначения. В данном случае функции Р!(п, х, 1) и Р(о, !) удовлетворяют следуюшим соотношениям; Р,(п, х+Л, 1+А) =Р,(п, х, 1) [1 — (о+т),(х) )А] + -т- ) (1 — 6„, о) а!Р(п — 1;, х, т) Л/=-!'-!-! + (1 — 6„,,!) а, Р, (и — 1е х. !) Л -!- о (А), ()з) 132 Р (О, 1 + Л) .=- Р (О, 1) [1 — оЛ] + г ! -1- ~2' ~ Р, (11, х, 1) 2), (х) О(хЛ + о (Л), !.=! О о г ~ ~~' Р, (и, и, 1+ Л) 2(и = Я ]2 Р! (п + 1Р х, 1) 2), (х) О(хЛ + О !'-1 =!о г ! — 1 ! -1-) ) (1 — бхро)а! Р1(п+ 1! — 1Р х, 1)г(хЛ + г=2 1=1 о г + 2] П б)об„,а!Р(0, 1)Л+ о(Л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
