2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 18
Текст из файла (страница 18)
б). Функция я(з), определяемая уравнением (!), может бсчть представлена в виде и (ь) = ~ ег н аП (!), о где П(!) — неубывающая функция ограниченной вариации, причем при а[)~(! — р П(+со) =1, при а[)~>1 — р П(+со) <1.,,' в) Функции П(!) и п(з) имеют смысл соответственно функ-', ции распределения (при а(и>! — р — несобственной) и пре; образования Лапласа — Стилтьеса длительности периода занятости г).
Математичесгое ожидание длительности периода занятое; ти равно +ос при а0~> 1 — р и равно ! [и [! — р — а[1~ ["' при аб~ < 1 — р. Д о к а з атея ь ство. Для любого з, Кез>0, рассмотрим! урависнне г = [! (з+ а аг) (рг+ (1 — р) ).
(2) !~ Левая и правая части аналитичны в области, содержащей круг [г[~!. При [г[=1 Ке(э+а — аг)>0 и, следовательно, [0(э+а — аг) (рг+(1 — р)) ! <р(Ке(э+а — аг)) <1= )г!. По теореме Руше отсюда следует, что функции г и г — р(з+ +а — аг) (рг+(1 — р)) имеют одинаковое число нулей (т. е. ровно по одному) в круге [г[<1. Следовательно, при Кез>0 уравнение (1) определяет единственную функцию л(з), такую, что [л(з) ~ <1. По теореме о неявной функции л(з) — аналитическая функция в области Кез>0. Вводя последовательность функций (для действительных з>0) ло(з) — = О, лвв!(з)=р(з+а — ал„(з))(рл„(з)+(1 — р)), л)0, точно так же, как в теореме !.1, доказываем вполне монотон- ность л(з) и, следовательно, существование неубывающей функции П(1), такой, что л (з) ~ е-вт г(П (1) о Докажем, что л(з) представляет собой ПЛС длительности периода занятости.
Это можно сделать многими способами. Наиболее прост, по-видимому, следующий. Очевидно, длитель- ность периода занятости не зависит от порядка обслуживания требований. В частности, можно считать, что требование, для которого 'необходимо повторное обслуживание, становится в начало очереди и, следовательно, сразу же поступает на при- бор. Таким образом, распределение периода занятости в рас- сматриваемой системе совпадает с распределением периода за- нятости системы М[ 6[![ао с дисциплиной Р!РО, в которой ин- тенсивность входящего потока равна а, а ф.р. времени обслу- живания — Н(х).
Из теоремы 1.1 л(з) =)г(з+а — ал(з) ), где (1-р) р(г) 1 — р()(г) Отсюда (1 — р) 11(г+а — ал(г) ) 1 — р(1(г+а — ал(в) ) что эквивалентно (1). 3. Длина очереди. Те о р е м а 2. Функция р(г, з) яри [г[ ~:1, Кез>0 определяется ло формуле р (г, з) = [з + а — ал (з) [-' [ ! + а Х в+а — аг Х г — а (5) 1 — г т (гр+ ( ! — р) ) а(г+а — аг) 4 а Ф Мвтвввв. а. Г. ушвкав 1 Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассматривая изменения состояний процесса (Ь(1), х(1) в интервале (1, 1+6) и устремляя Ь-э.О, так же, как при доказательстве теоремы 1.2, получаем дР(п, х, !) дР(й, х, О до дх + (1 — б„п ) аР (и — 1. х, 1), до = — аР(0,1) + (1 — р) ~ Р(1, х, 1) т)(х) бх, о (4) Р (и, + О, 1) = р ~ Р (и, х, !) Ч(х) с$х + 6 ОЭ р (г, О, з) = г-' [рг + (1 — р)] ~ р (г, х, з) о) (х) Их + о + 1 — (з+ а — аг)ро(з). Решение (7) имеет вид р(г;х, з) = [! — В(х)]е-о "й "мр(г, О,з).
Из (8) получаем р(г, О, з) [1 — г-'(рг+ (1 — р))р(а+а — аг)] = =! — (з+ а — аг) ро(з) . В силу теоремы 1 отсюда получаем ро(з) = [а+а — аи(е)] й(х "(х)) (х+й йи(5))1! 2 о(рх+(! р))В(Я")-и "йх)1 Используя соотношение р (г, з) = ро (з) + ]е р (г, х, з) йх, о получаем утверждение теоремы. + (1 — р) ] Р (и + 1, х, 1) т) (х) йх + б, ~ аР ГО, 1), (5) оа Р(п, х, 0) =О, Р(0, 0) =1. (6)' Переходя в (3) — (5) к производяшим функциям и преобразованиям Лапласа по ! и учитывая (6), имеем = — [з + а — аг + т) (х)] р (г, х, з), (7) дх Следствие.
Пусть арс(1 — р, тогда а) существует предел В ([) =о-1., с-с-ао, причем производящая функция числа требований в системе в стационарном режиме — Р*(х) =Мгс — определяется по формуле (г — 1) [)(а-аг) г — [рг+(1 — р)]р(а — аг) ' б) первьсй момент числа требований в системе в стационарном режиме равен агрг+2рар, 2(1 — р — сфг) Доказательство проводится точно так же, как доказательство следствия к теореме 1.2. 4. Виртуальное время ожидания.
Теорема 3. Функция ог(з, с)) определяется по формуле со(з,ц) = [с)+ а — ап(ц))-г ~1+ (~ ) ( )) Х д — г+а — аа(г) 0(г) — 0(Ч+ — р(г)) р(г) — р(о+а — а]3(5)) [р[)(5)+(1 — р)] ~ Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, соотношение, связывающее функции Р(]р ([) (х), Ро([) и Р(п, у, [), будет точно таким же, как в системе М[6[1[со с дисциплиной Р1РО (см. (1.14)): Р(1[7([) ( х) = Р ([) +Я ~ Р(п, у, [)Х ь=!о Х [В*'" о а В„) (х) йу. Отсюда Ю (,ц) =р (ц)+~р([)() у ч) — "йу.
[)(г) о Но ро(с)) = [с[+а — ап(с))) р (р (з), у, с)) = [1 — В (у) ) ехр ( — (у+ а — ар (з) ) у) Х а(])(г) — п(Ч)) [а+а — ап(а)][! — (р(г) )" с(р[)(г)+(1 — р))[)(о+а — а[)(г)) Следовательно, со (з, ([) = [с) + а — ап (с[)[-с 1 + (р( ) — (о)) Х [С(г) — [р[)(г)+(1 — р)] р(о+а — ар(г)) 99 х ~~ е-гав — !г-)-а — азии)гг[ о (и + у) йу (Д [ а ал (д)]-г (1 + а(р(г) — л(ц) ) [3(г) — р(д+а — а[)(г) ) ч — г+а — а[)(г) ра(г) — [р[3(г)+П вЂ” Р)! Ич+а — а[3(г)) 1 что и требовалось доказать. Следствие.
Луста а[)г<\ — р, тогда существует предел Ю(!) » К, (-г-оо, причем функция га(з) =Ме †'а определяется по формуле га(з) = (1 — р — ар,) (1+ х а(1 — р(г))! (г — а+а[3(г) ) Х [3(г) — р(а — ар(г)) [3(г) — Р(а — ай(г))[рй00+(! — р)) ~ 5. Метод вложенных цепей Маркова. Как мы уже отмечали, определение случайной последовательности ((.н, Л(ъ1) не- сколько отличается от данного в $1. Это отличие заключается в том, что мы будем рассматривать число требований в систе-.
ме в моменты окончания квантов обслуживания. Пусть [г, (г,... ,(„,... — последовательные моменты окончания квантов обслу- живания, [ь=0. Положим Ьн=Ь((н+О) (т. е. Т.н — число тре- бований в системе сразу после окончания У-го кванта; если требование, которое находилось на приборе в течение этого кванта времени, требует повторного обслуживания, оно входит в Т.н). ! Обозначения характеристик последовательности (Ен, У» Ц те же, что в $1, т. е. рн (и) = Р (1-и, '= и), Рн (г) = Мгьн, р(ге,г) = Я инРн(г), н=ь р(гг) =!пп рн(п), Р(г) =!!гп Рн(г).
н-не и Теорем а 4. а), Функции Рн(г) определяются из рекур-' рентньгх соотношений Рь(г) =1 грк ы (г) = (Ря (г) — Ря (О) +гРя (О) ) Х Х[3(а — аг) (рг+(1 — р)), Лг»0. б). Функция р(ге, г) определяется по формуле р(иг, г)— г+(г — !)аг[)(а — аг) [рг+(! — р)Ц! — Е(сь)! ' г — м[рг+ ( ! — р) [р (а — аг) где !р(в) — единственное решение функционального уравнения !р(в) =в [р»р(в) + (1 — р) ] р(а — а!р(в) ), аналитическое в области [в] <1, в которой ]»р(в) ] <1.
в). Пусть ар»<1 — р, тогда существует предел Вп=»-Т., й[-~аа, причем Р,, ь (! — р — ар,](х — 1]р(а — ах][ах+(1:р]] Р(г) =Мгь х — [[и+(! — р)][1(а — аг] Д о к а з а т е л ь с т в о. а). Пусть р»л (й=О, ао) — вероятность того, что за время обслуживания одного требования поступило й требований. Как мы уже видели, ~; = ~е-" — йВ(х).
(ах)» »! о Тогда, используя определение последовательности (Вн, ][[) 1) и формулу полной вероятности, имеем л+1 рю+»(и) =)', рн(й)К»„.,(1 — р)+ »=1 л+1 + ~], рн(й)~„' р+ рн(0) [~'„(1 — р) + ~'„, р], и ~~1, (9) »=! Рн+!(0) = [Рп(1) (1 — Р) +Рп(0) (1 — Р)]Ро* (10) Умножая (9) на г", суммируя по и от 1 до ао и прибав* ляя (10), получаем гР„+, (г) = [Рн (г) — Рп (0),+ гРп (0) ] Х Хр(а — аг) [рг+1 — р)].
(11) б). Умножая (11) на вн+! и суммируя по ][[ от 0 до аа, получаем р(в, г)— Г г+(х — 1]!а[](а — аг][рх+(! — р]]р(а» О] х — »а[рг+(! — р]]р(а — ах) Используя теорему Руше, легко показать, что уравнение г = в [рг+ (! — р) ] р (а — аг) имеет единственное решение г=!р(в) в области [в[<1, где [!р(в) [<1. По теореме о неявной функции !р(в) аналитична при [в[<1. Так как функция р(ге, г) ограничена при [г[ <1, необходимо, чтобы , (в)+(, (и!) — 1)вр(а — а<р(в)) Х Х [р р( ) + (1 — р)] ( О) =О 101 отсюда р(ш,0) = [1 — ~р(и)]-'.
в). Цепь Маркова (Еи) однородна, неразложима н неперноднчна (это следует нз вида матрицы (РО) вероятностей перехода за один шаг, которая фактически получена прн выводе соотношений (9) н (10)). Положим х;=(рь Тогда прн (>О Р,.(х; = (1+ а[),) р, — (1 — р) р„=(р„— '(1 — р — ар,) р, = х,.— е, /=0 где е=(1 — р — ар1)Р~>0 прн а[4(! — р. Далее, очевидно, ОО Я Ра(х; ( оо, н, следовательно, выполняются условия теоремы 4.5 Введения., Отсюда следует существованне пределов йи ~Е, Аг-~.оо, ~) Р((.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
