2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 22
Текст из файла (страница 22)
3. Вспомогательные результаты. В этом пункте будут введены и изучены различные функции, которые в дальнейшем 121 будут использованы при анализе длины очереди и времен ожидания. Кроме того, будет !выяснен вероятностный смыс введенных функций. Л е м м а 1. Система функциональных уравнений п»»(з) = ))»(з+ о» вЂ” ~) а;и»; (з)), ! =1, Уг, !=! определяет единственные функции пы(з), аналитические в об ласти»хез>0, в которой )п»»(з) (<1. Если р», =~ а р!»ч,. 1 »=! то пы(+О) =1, в противном случае лы(+О) <1. Л е м м а 2.
Система функциональных уравнений » ! — ! им(з) = Р! (з+ о» вЂ” ~~) аск»;(з)) — »» а!»а»! (з) Х »=! 1 — й! (»+ о» вЂ” 2;!а;п»у (»)) Х , »=1,й, (1 8 + о» вЂ” ~» а!к»!' (5) /=! определяет единственные функции аы(з), аналитические в об ласти Вез>0, в которой ~я»л(е) (<1.
Если р», = а»]1»»+ — '11 — р»(о!)] + ... + — 'Д1 — ()»(о~ !)] <1, ! о», ' то а»ы(+О) =1, в противном случае яы (+О) <1. Л е м м а 3. Система функциональных уравнений а»! (з) = р! (з + с!» — ~~) а»а»1 (з)) + я»! (з) х !=! ! — 1 1 — р! (»+о» вЂ” ~ а(иы (5)) Х ~~~а;и»;(з) '=', ! = 1, й, у=! »+ о» вЂ” 2; а!к»! (!) 1=! определяет единственные функции яы(з), аналитические в области )хез>0, в которой )я»!(з) ) <1.
Если а, 1 1 1 р»! = а»р»»+ — ~ — — 1)! + ... + — » ~ — 1~ < 1, о, 1 !»»(о!) ~ оеа ~ !»»(о» !) то я»а(+О) = 1, в противном случае и!и(+О) <1. 3 а м е ч а н и е. Решения трех разных систем функциональных уравнений мы обозначили одинаково. Как, будет показано. 122 . позже, все они имеют одинаковый вероятностный смысл, но ! при различных приоритетах. Поэтому без особых пояснений будет ясно, о каких именно функциях л«<(з) будет идти речь в каждом конкретном случае.
Доказательство лемм 1 — 3. 1. Полагая «( ) = У,— <лм (з), а1 о« находим, что п>а(з) =р<(з+о« вЂ” о«л«(з)), <=1,/ц, где л«(з) удовлетворяет соотношению о«л«(я) = ~ ' а р! (з + о« вЂ” о„л«(з)). Поэтому утверждения леммы 1 вытекают из леммы 2.1.1 при а=о, р(з) = Я !а</о«] р! (з). <=! 2. Пусть з — действительное число, з>0. Положим и<о>(з) ~0 л<ч+>>(з) = р! (з+ о« вЂ” ~~~а<и<и)(з)) + /=! <-! ! — В<(«+о« вЂ” ~ а<л«" (я)) +~~а<а<'9(з) ' <, ! =1, й, п)0.
(2) ! 1 «+ о« вЂ” ~ арф(я) Тогда 0<я<«Я<>(з) ~л<«Я<и<>(з) ~1, и л<«!)(з) — вполне монотонные функции. Действительно, указанные неравенства выполняются при п=0 (так как и">(з) = р<(я+о«) и 0<р<(з+о«)<1) и л<«<<> (з) — вполне монотонная функция. Предположим, что указанные утверждения справедливы при п=)>( — 1, и докажем их для п=Х Имеем л<~+>>(з) = ()! (<з + о« вЂ” Яа;пЯ>(з)) + /=! < — ! ! — /3< (я+ о« вЂ” ~ а>л~~, ' (я)) !'=1 Я+ о« вЂ” 2„агв«! (Я) оя> >=! 123 (в силу предположения индукции и свойств функций В!(я)) д д-! )~ В! (Я+ од — ~~~а;л~',.' — п(Я)) + ~~~а;л!д" — '>(Я) х !=! !=! 1 В! (5+ од 2' а!Пд (Я)) х — л!~! (я).
д м д+ од — 2; а!п~д, П (д) 1 1 Кроме того, так как л!д~!(я) — вполне монотонная функция (п предположению индукции), то ~из (2) следует, что и лд!и дп вполне монотонна. Неравенство лЯ'+п(я) <1 вытекает из предположения индукции (л'"!>(я)ч,1) и цепочки неравенств В! (Я + ад — ~ а)л)Я! (Я) ) + ~~ а)л!днд! (Я) х й) /=! )=! 1 — Вс(я+од — ~ а!л!д; !(д)) !=! 1 — Вд(я+ од) Я+ ед — 2; а!лдп))Ч(д) !=! < ()! (я + пд) + 1 — В! (я + пд) = 1 Итак, существует !предел 1! гп л!дд'! (Я) = лд, (Я), причем 0<л!а(я) <1, лди(я) — вполне монотонная функция и лы(я) удовлетворяет системе уравнений (1).
Доказательство единственности этого решения при действительных я>0 вытекает из вида правой части в системе (1) и свойств функций В!( ). Используя теорему о неявной функции и принцип аналитического продолжения, получаем существование, единственность и аналитичность решения !в области !те я>0. Остальные утверждения леммы 2 доказываются так же, как в лемме 2.1.1. 3.
Доказательство леммы 3 аналогично доказательству леммы 2. И В условиях лемм 1 — 3 функции лдд(я) могут быть представлены ~в ~виде лм (я) =- ~ а — ид(Пд!(1), о 124 где Пы(С) — некоторая ф. р. (при рх!)! — несобственная). Это утверждение вытекает из доказанной в леммах 1 — 3 вполне монотонности функций паи(з).
Пля того чтобы выяснить смысл ф. р. Пы(С), определим различные промежутки занятости рассматриваемых систем обслуживания (большинство из ннх будут использоваться прн анализе длины очереди в системе с абсолютным приоритетом и дообслуживанием прерванной заявки (схема АЗ)): П вЂ” период занятости — промежуток !времени с момента поступления некоторого требования ~в свободную систему до следующего непосредственно момента освобождения системы; Ня — й-цикл — промежуток времени, начинающийся с поступления на прибор требования приоритета й н заканчивающийся, как только система освободится от этого требования н всех требований более высокого приоритета; Пи — й-период в промежуток времени с момента поступления на прибор некоторого требования более высокого приоритета, чем й+ 1, при отсутствии в системе других требований приоритетов 1, й, до момента освобождения системы от требований приоритетов 1, ~г; П!н — И-период — й-пернод ври условии, что он начался с обслуживания требования приоритета С; Пхх<"! — Ип-период — промежуток времени, начинающийся с поступления на прибор одного из и требований приоритета й, находящихся в системе, и заканчивающийся, как только система станет свободной от требований приоритетов 1, Сг.
Легко видеть, что й-период есть период занятости системы, в которую поступают только первые й потоков. Пусть П(С), Пя(С), Нд(С) — ф. !р. периода занятости, я-периода и й-цикла соответственно, и (з) = Ме '", и, (з) = Ме '"~, Ь, (я) = Ме 'и . В приводимой ниже лемме 4 устанавливаются полезные соотношения, связывающие функции пз(я), С!л(я) и пы(з) (функции птн(я) определены в леммах 1 — 3). Лемм а 4. а). Функции Пд,(С) и пзн(я), определенные в леммах 1 — 3, имеют смысл соответственно ф. р.
и преобразования Лапласа — Стилтьеса И-периода для схем О и АЗ в условиях леммы 1, схемы А1 в условиях леммы 2 и А2 — леммы 3. б). Для всех схем О, А1, А2, АЗ пз(я) = з!; пы (з) С,Ф вз в). Функция йх(я) определяется по следующим формулам: в схемах О и АЗ С!л(я) =~з(я+о!, ! — оз !пл !(з) ); 125 .в схеме А1 1<»(з)=р (+ '»->)+[1 — В ( +в»-<)) "' (з); »+ е», .в схеме А2 > — < Ь»(з) = р»(з+ и» <) ~1 — '-'"'-'(') (1 — ()»(з+ пь >))~ »+е» < к а з а т е л ь с т ~в о. Утверждение а) леммы составляе 1 До содержание задачи 1. Утверждение б) непосредственно следует из определени з<»(з), п<м(з) и формулы полной вероятности.
Докажем в). ~в1. Схемы О и АЗ. Легко видеть, что в схемах О и АЗ рас пределения <введенных промежутков занятости совпадают. По этому рассмотрим только схему О. На распределение длительностей й-цикла и й — 1-период не влияет порядок обслуживания (в схеме О) требований по токов 1, й — 1. Поэтому при нахождении распределения эти промежутков занятости мы можем считать, что требовани этих потоков имеют одинаковый приоритет и обслуживаются инверсионном порядке.
Рассмотрим сначала промежуток занятости П» <, начи <м нающнйся с обслуживания одного из й<' требованпй потоко 1, Й вЂ” 1, имеющихся в системе, и заканчивающийся, как толь ко система освободится от требований указанных потоков Справедливо соотношение и =П, +...+П, <л> 126 где (Пь» ь 1«<>У) независимы в совокупности и одинаков распределены с ф. р.
П» <(х). Действительно, так как ~выбра инверсионный порядок обслуживания требований потоко 1, й — 1, после поступления на прибор одного из А< требований (назовем их начальными) следующее начальное требовани может начать обслуживание только тогда, когда в систем останутся А< — 1 начальные требования. Очевидно, интерва времени <между началом обслуживания первого и второго на~ чальных требований имеет ф. р.
П» <(х). Отсюда легко выво дится (3). Рассмотрим теперь структуру й-цикла. Его составляют, во первых, длительность обслуживания требования приоритета й, с которого он начинается, и„ во-вторых, промежуток занятости системы обслуж«зснисн -р"б<>наний приоритетов 1, й — 1. Если за время обслужпвання требования приоритета й поступит 1)1 трсбован >й пр;юрзтетов 1, <г — 1, то указанный промежу ток зан>посп< ес<ь, о цш»дно, П» >, а если не поступит нн од «> ного, то он равен ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
