2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 24
Текст из файла (страница 24)
г=! 122! Из (13) — (15) получаем дРг(л, х, 1) дР1(п, х, 1) д1 + ' ' — [а+ 2)1(х)]Р!(и, х, 1) + дх (14) (15) г + ~ (1 — б .,О) азРО(и — 1;, х, 1) + (1 — б„,)а!Р1(и — 11, х, 1), 1=!+1 (16) дР(0, 1) = — оР(0, 1) д1 + 1) 1~ Р; (1,, х, 1) 2) ! (х) О(х, =! О Р! (и + 1и х 1) 2) (х)!1х + о ! Р! (п + 1! — 1Р х, 1) О(х + о (17) г г ЯР!(и, + О, 1) = ~~)~~ г=! !' — ! + ~~)' ~а!(1 — б,,) г=2 1=1 (18) + !] (а, г), ! 2;.-' ~ р, (г, х, 2) 2(х + 1 — (з + о — (а, г)) р, (2). (20) г=2 133 г + ~) 1 П Ь„роЬ„! 1а! Р (О, 1). 1=1 1оо! Переходя в (16) — (18) к производя!ням функциям и преобразованиям Лапласа по 1, получаем = — [з + и†(а, г)' †! + 2)!(х)] р,(г, х, з), (19) дх г Г ГО р, (г, О, з) =- ~] 2 —,. ' ~ р, (г, х, з) 2)! (х) 2(х + 1=1 г=! О Решение системы уравнений (19) имеет:вид р (х, г, з) =11 — В, (х)) е — в+ — мор ~>" р, (г, О, з).
Подставляя полученное выражение в (20), получаем l Х ~! — г,—.ф, (з + о — (а, х)' — ') — (а, х); ~ г —,. ' х ю=! 1 х р'(+ ( ' ) ) ~ р,(г,О,з) =1 — (а+о — (а, х))р,(з). а+ о — (а, а)~' ' В силу леммы 2 левая часть последнего равенства обращается в нуль при г;=п„(з), (=1, е. Отсюда получаем ро(з) = [а+о — оп(з)]-'.
Далее, как и при относительном приоритете, показывается, что функции р;(х, О, з) не зависят от гь ...,г; ь Следовательно, по- латая г, =пи(а+о! — (а, г)'), ..., г;=пн(а+о' — (а, х)') и используя лемму 2, имеем Г Е [1 — г,— '~;(з+ о — (а, х)' — ') — р'( ( ', ) ) х а+ о — (а, г)~ ' с=(ч.ю а — 1 Х ~о;и;(з+ о! — (а, х)') + ~) а,г,~ ~ р,(х, О, з) = !=у+! о)п;(з+ о) — (а, а)0+(а, а)) — оч(з) 5+ о — оп (Б) Для доказательства утверждения б) теоремы достаточно воспользоваться равенством Г Ю р (х, з) = р, (з) + ~ ) р, (г, х, з) е(х =~ о и положить р,(г,О,з) = а + о — оп (е) ' в).
Схема АЗ. Метод, использованный при изучении схем О, А1 и А2, непосредственно неприменим для схемы АЗ. Это связано с тем, что процесс (1.((), х((), ((()) не является в данном случае марковским: в момент ( в системе могут быть требования, обслуживание которых было прервано, и необходимо иметь ~информацию о том, сколько им еще осталось обслуживаться. 134 При изучении схемы АЗ будет использован другой метод, который применим и к изученным ранее моделям, но требует введения дополнительных понятий. Суть метода состоит в установлении зависимости длины очереди на различных промежутках занятости, введенных в пункте 3.
Если про какой- либо промежуток говорится, что он отдельно взятый, чо время отсчитывается с начала указанного промежутка. Отдельно взятые й-цикл и й-период начинаются с одного требования, /5/гп-период — с и требований приоритета /г. Для доказательства различных соотношений мы будем использовать метод введения дополнительного события. Считаем, что каждое требование «окрап1нвается», причем требование приоритета 1 (1-требование) считается «ираоным» с вероятностью г5 и «синим» вЂ” с вероятностью 1 — г5 независимо от «цвета» остальных требований. Кроме того, считаем, что в систему поступает пуассоновский поток «катастроф» с параметром 5)0, который не ~влияет на процесс обслуживания требований и сам не нуждается ~в обслуживании.
Используя дополнительные события «окрашивание» и «катастрофы», функции р(х, 5) можно придать следующий вероятностный смысл: зр(г, 5) — вероятность того, что первая «катастрофа» поступила в систему, когда в ней не было «синих» требований. Пусть п(х, 5), п»(х, 'з), Ь»(х, 5) имеют тот же смысл на отдельно взятых периоде занятости, й-периоде и й-цикле соответственно.
Докажем сначала соотношение 1 + 0я (5, 5) 5+ 0 — 055 (5) Переписанное в виде 5 0 ( ) + 0 (5)ЗР(х,з), 5+0 5+0 5+0 оно вытекает из следующих рассуждений. Для того чтобы первая «катастрофа» поступила, когда в системе нет «синих» требова~ний (вероятность чего равна зр(х, 5)), необходимо и достаточно выполнения одного из следующих попарно несовместных событий.
а) Первой в систему поступила (напомним, что, по нашим предположениям, система свободна ~в начальный момент времени 1=0) «катастрофа» (тогда в системе нет не только «синих», но и вообще никаких требований). Так как поток «катастроф» — пуассоновский с интенсивностью 5, а сум|марный поток требований ~всех приоритетов — пуассонавский с интенси~вностью 0, вероятность указанного события равна 5/(5+0).
б) Первым в систему поступило требование (с вероятностью 0/(5+0)); при этом возможны две ситуации: 1) «катастрофа» поступила в последовавшем периоде занятости, когда в системе не было «синих» требований (вероятность чего равна 555(г, 5)); 135 2) «катастрофы» в период занятости не поступали (с вероятностью л(з)), а поступили позже. Вероятность того, что по еле первого периода занятости «катастрофа»»поступит, когда системе нет «синих» требований, равна зр(г, з). Это следует нз того, что процесс В(1) регенерируюший, у которого точками регенерации являются моменты окончания периодов занятости.
Докажем теперь соотношение иал» (г, з) = оа 1л» 1(г, з) —;— аа(г, а) ~ а»«» —;- «а — аа(«+а» ' — (а, а)ь-а) + па,л» ~(з+ па — ' — (а, х)' — ') — пал»(з+ о" — (а, г)')~. (21 Введем функции лаа(г, з) и лаа(ю(г, з), имеюшие тот же вероятностный смысл, что и р(г, з), но на отдельных И-период и Ип-периоде (и — неслучайное число) соответственно. Тогда аа — лы(«+ па — (а, «)«) 22 лы(х, з) = »(г, з) ', ( «а ~— [лы(«+ ан — (а, а)~)1" л<"~(х, з) = ла(х, з) ' . (23) «» — Йа (» + и»" ~ — (а, а)а ') Доказательство соотношений (22) и (23) составляет содер жанне задачи 5. Докажем теперь, что зл„(г, з) = а ' зл» ~ (г, з) + — ' зл,, (г, з) +, па аа М Э (ааа)« + ~" '~злы>(г, з) ехр( — (з+оа — (а, г)а)и) ~ е 'а"г[П« ~(и) л! «=1 0 (24 В левой части соотношения (24) стоит вероятность того, что на отдельно взятом й-периоде первая «катастрофа» поступила, когда в системе пет «синих» требований. Для выполнения этого события необходимо и достаточно, чтобы: а) либо требование, с которого начался А-период, было тре-.
бованием приоритета й (с вероятностью а»[па); в этом случае Й-период представляет собой И-период, и внутри него первая «катастрофа» поступила, когда в системе нет «синих» требований (вероятность равна зла„(г, з)); б) либо требование, с которого начался А-период, было требованием приоритета выше А (с вероятностью аа ~/оа).
Тогда А-период состоит из й — 1-периода плюс ИЛ'-период, где М— число (случайное) требований приоритета А, поступивших за й — 1-период. Первая «катастрофа» может поступить либо в Й вЂ” 1-периоде, когда в системе нет «синих» требований (вероятность чего равна зла ~(х, з)), либо внутри ИЖ-периода, когда в системс нет «синих» требований. Вероятность последнего !36 события равна О злв>(г,з) ~ехр( — (з+ о» вЂ” (а, г)»)и) — »") е '»" г(П» ~ (и). Е- »1 Действительно, во-первых„за !г — 1-период не должны поступать «катастрофы» и «синие» требования приоритетов А+ +1, г, во.вторых, должно поступить какое-то число л)! требований приоритета Й (иначе Й-период закончится, и за него «катастрофа» не поступит), в в последовавшем я!глгпериоде первая «катастрофа» должна поступить, когда в системе нет «синнх» требований.
Итак, соотношение (24) доказано. Для доказательства (21) достаточно подставить (22) и (23) в (24). Для доказательства теоремы осталось .показать, что Ь»(г, з) — г» ' (1 + о» ~л» ~(г, з)). 1 — р»(П»(«+ о» ' — (а, г)»-') )»»(»+ о» ' — (а, г)" ') Это соотношение, переписанное ввиде зй„(г, з) = г»] [! — В,(х)]ехр( — (о' — ' — (а, г)» — '+ е -ь о» ~(! — л» ~(з-1- о» вЂ” ' — (а, г)» ')) х) х х д (1 — е — ") + г»зл» ~ (г, з) ~ [1 — В, (х)] Х о х ехр( — (з + о» вЂ” ' — (а, г)" — ' + о», (1 — л» ~ (з + + о' — ' — (а, г)' — ')))х)о» и(х, вытекает нз следующих рассуждений.
Для того чтобы первая «катастрофа» внутри отдельного а-цикла поступила, когда в системе нет «синих» требований, необходимо и достаточно, чтобы: 1) либо первая «катастрофа» поступила, когда обслуживалось требование приоритета й, причем его обслуживание уже продолжалось время х,х)0, это требование было «красным», за время х не поступали «синие» требования приоритетов я, г и требования приоритетов 1, Й вЂ” 1, такие, что за начинающиеся с них Й вЂ” 1-периоды поступали «катастрофы» или «синае» требования:приоритетов !г, г (мы назовем такие требования приоритетов 1, Й вЂ” 1 «плохими»); вероятность описанного события равна г» ] [1 — В»(х)]ехр( — (о' — ' — (а, г)" — ' — о»,(!в о 137 гсвп» ! (г, в) ] ехр ( — '(в + о" — ' — (а, г)» — ' + о» ! (1— а — сс» ! (в+ о»-! — (а, г)» — '))) х) [1 — В„(х)] о! ! с(х).
И 5. Задачи. 3 ад ач а 1. Доказать утверждение а) леммы 4. 3 ад а ч а 2. Для всех схем О, А1, А2, АЗ найти МПм РПд« МН, Рнд, МП ь Рпд;. 3 ад а ч а 3. Пусть Фс — число требований приоритета обслужвнных за период занятости, Ф= (Ф!, ..., Ф,), ср(г, в) =М[гфе — 'с] Доказать. что: а) для схем О и АЗ функция ср(г, в) удовлетворяет нению урав-' оср (г, в) = ~ а!а![)! (в + о — сир (г, в)); с=! б) для схем А1 и А2 функция ср( г, в) определяется куррентной системы функциональных уравнений ср(г, в) =«р,(х, в), о«ср» (г, в) = ~~' а !р«! (г, в), с=! !рм(х, в) =срв п(х, в+໠— а,срв«(г, в) ), ср,«(х, в) = И» (х, в+໠— а«срв» (х, в) ), из ре-1 для схемы А1 И«(г, в) = гф»(в+ о«!) + ~« ' [1 — р (в+ о» !)] ср» с(г, в), 5+0!, ! 138 — и«! (в + о' — ' — (а, х) ! — ')) х) с( (1 — е — *"); 2) либо первая «катастрофа» поступила во время одного из И вЂ” 1-периодов, которые начинаются после прерываний обслуживания требования приоритета И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
