2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 28
Текст из файла (страница 28)
— "(1 — ();(р!з))))~. х[ -р„' ' ' У вЂ” — /р!з (У С4 а /=!+1 Следовательно, !!(э) = ' ' [(1 — р„)р;(з)+ о(« — а/+а!Рг(р!(!) ) + Я а;(1 — р/(р/(з)))~ [ — / р, (з)/ о / !+1 (1 — е!!))!/(«)+ ~ч~ ~сч(1 — р/(и,(»))) /=4+! 5 — я! + «г()г()6г($) ) Теорема доказана. Доказ атель~ство теоремы 2. Докажем сначала, что Г р<„'!(х,з) = );1/Р// — !(О!,х/-') — Рм ! (О,х')) х !=! х г! !р,(з+ и — (а, х)) + Рн ! (0,) ~1„' ()!(з+ о — (а, х)). (17 !+а !=! Используя дополнительные события — «катастрофы», пото которых пуассоновский с интенсивностью з)0, и «окрашива ние» тРебований, фУнкции Рн!!!(х, з) можно пРидать следУю щий веРоЯтностный смысл: Ри!'>(х, з) — веРоЯтность того, чт в момент ухода из системы /«'-то требования в ней не остаетс «синих» требований и за время между уходом /)/ — 1-го и Л/-г требований не поступали «катастрофы».
Для этого необходим и достаточно, чтобы: 158 1) либо после ухода из системы !«' — 1-го требования система освободилась, после этого ~из суммарного потока требований и «катастроф» первым поступило требование и за время его обслужи|ванна не поступали «катастрофы» и «синие» требования (вероятность этого события равна Г Рм ! (О,)~~ ' р!(э+и — (а,х))); «+е 1=1 2) либо после ухода Ж вЂ” 1-го требования система не освободилась (т. е.
!»'-е требование уже)(находится в системе и сразу поступает на обслуживание), все оставшиеся требования, кроме Л/-го, являются «красныагн» и за время обслуживания У-го требования не поступали «катастрофы» и «сии~не» требования (вероятность этого события ра~вна Я (Рм, (О;,х'-') — Рм, (О!х!)1х!-! (),. (з+ и — (а, х)). !=1 В теореме 1 было доказано, что при р„!<! существует предел !пиРгг(х) =Р(х), Отсюда и из (17) следует существование.
предела !ппрл!!!(х, з) =Р!')(х, з). Отсюда следует (11). Соотношение (!2) доказывается аналогично. И 3 а м е ч а н и е. Результаты теоремы 2 дают возможность. найти различные характеристики суммарного выходящего потока требований всех приоритетов в изученной системе обслуживания (см. задачи 2, 3). 3. Задачи. Задача 1. Доказать соотношение (12) из теоремы 2. 3 ад ач а 2.
Используя результаты теоремы 2, найти 1пп Ме 'л, !пп Ме """+ь'"+'!. к ю 3 а д а ч а 3 (продолжение) . Найти 1!гп Мтн, 1!т г»тю 1пп сов(т», те.»!). $4. ДИСЦИПЛИНЫ БРТ н ЬРТ В СИСТЕМЕ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМ ПРИОРИТЕТОМ 1. Описание системы. В одноканальную систему обслуживания поступают г (г)1) независимых пуассоновских потоков требований с интенсивностями аь ..., а, соответственно. Длительности обслуживания — независимые в совокупности случайные величины, стохастическн эквивалентные для требований и-го потока (й-требований) сл.
в. Вм В»(1) = Р(В,<!). 159. Число мест для ожидания неограничено. В начальный момент времени 1=0 система свободна. Пусть в момент Т,,6' в системе Л'х~")1 л-требований и' впервые й-требование поступило на прибор. Эти М~,сп к-требо- вания образуют ЙО-поколение (нулевой пакет й-требований). Пока требования кО-поколения не обслужатся, новые к-требо- вания на прибор не поступают, т.
е. Ф-требования, поступаю- щие в систему после формирования нулевого пакета, накапли- ваются в очереди и не могут поступить на прибор, пока не об-' служатся й-требования нулевого пакета. Пусть Тх~п — первый из моментов поступления на прибор (с-требования, не принадлежащего яО-поколению, находящиеся в системе в момент ТР Ухп~)1 я-требования образуют И-по- коление (первый пакет л-требований).
Пока требования к!-по- коления не покинут систему, новые й-требования накаплива- ются в очереди н на обслуживание не поступаю~. Аналогично определяются ФЛппоколеиие и сл. в. Л'хьч>, Тхпг( Внутри очереди Й-требований одного поколения приняты дисциплины (.РТ и ЬРТ: (.РТ(ЬРТ) означает, что из очереди Ф-требований Ип-поко- ления первым на обслуживание принимается требование с наи- большей (наименьшей) длительностью обслуживания, потом— следуюшее по длительности и т.
д. Между требованиями разных потоков принята дисциплин относительного приоритета, причем потоки перенумерованы и порядке убывания приоритетов. 2. Основные обозначения. П редварительные результаты. Пусть Пы Пеп и Н, — длительности и-периода, (О-периода и и-цикла соответственно (определения см. в 5 1), Пы(1) =Р(Пи<1), Пз(() =Р(Па<1), Н~(() =Р(На<(), М вЂ” и, ) т. — ~п„й () (У) — *н П (1) = П, (1), и (з) = и, (з), Р, (з) =- Ме 5 и . Эти характеристики для дисциплин ЯРТ, (.РТ и Р(ГО совпа- дают и изучены в параграфе !. В частности, йх(з) =(),(р,(з)), рьы(з) =р(з), и;,(з) =а+о~ ~ — ое ~я; ~(з). В дальнейшем мы будем рассматривать дисциплину ЬРТ.: Рсзультаты для дисциплины 1 РТ вынесены в задачи. Положим Я,~,.;,„~(и) =...
Р(Т~~ <и, %~о ' == 1, 1.. (1) ч~О, 1 Вч (Т,"', Т)х '),'Х,,"~::: т, Т,"~ -=- 0), 1. (~) = (й, (Н,, .., й, Н)). 160 где Ц(!) — число требований приоритета ! в системе в момент 1, д»";' (е) = [ е-а" й4"' (и) о д»в ~ (е, г) = ~, ' д»$,"' (е) г>, т=о (ау)в е, (г, е) .= р; (е + о'-' — (а, г)'-'), и (и, 1) = е '»' ае б»" »' (г, е) =- ~ ехр ( — [е -1- а' — (а, г)»] и) и» (п», и) дП», (и), о Введем последовательность функций й» (е, г): п»о(е, г) =г, й» ш(е, г) =Ь»(е+໠— а»й»„(е, г)), пъ О. Л е м м а 1.
Функции д» (н>(е, р) определяются по формулам фн~(е г) йш (е г) йш (е О) Пусть, далее, )Р»(1, х) — виртуальное время ожидания в момент ! для я-требования с длительностью обслуживания х. Положим )у'» (1, х, у) = Р ( Ю» (1, х) (У), оа»(а, ха а) = ~е-а'Ме ' ' ' Ж о Дп =-М[В,1', р„= ~~~ агап, р» =-! — р»„ »=1 В»(1) [В»(х))-», т <х, О 1)х.
[)» (х, з) = ~ е»м т(, В» (х, т), Ь (х, е) = р (х, !»» (е)). о у»(х, з) =а»В»(х) [1 — Й»(х, ы)], г»=й»(8+у»(х, е) ), г»'=й»(у+у»(х, е)), гв» = ໠— а»п»„(д, г»), г'„» = ໠— а»й» (д, г'») . 6 Б ф Матвеев. В Г. ушаков 161 Используется обозначение: [(и) ['„'=ь = — !(й) — !(а). 3. Виртуальное время ожидания.
Теор е и а 1. Функция ОО»(о, х, з) определяется по фо муле Оэ» (д, х, з) =- [д — з] ' (а» [р( д)]-"~' й»„(д,г)[, —,' + л=-О лл + [и (д)]-' [~ и», (ол) [,л -,"' + и», (и + у» (х, в)) [„"='] + л=ь л + у р;(д) [~;()»»(и+у»(х,з))) [ = + !=»-ы + ). [);(р (у+ о.)) [,„": —,"']]+ [р(у)] ' л=ь л» где функции р;(о) определяются из рекурреитных соотношенн а, [р (о)]-» ~ [) »„ (о, 1) — Ь»„(ц.
й» (о))] ,— л=о + [р(д)] ' (1 — а»,(д) + ~ [и»,(а — а»й»л(д, 1))— л=ь л — и», (໠— а»Л»„(о, Ь» (д)))]] + ~~ р; (о) (1 — ~; (рл (о)) + 1=»+1 + ~ ф;(р»(д+ ໠— а»й»„(д, 1))) — ~; ()»»(д+ а»вЂ” л —...Π— а»й»„(д, В,(д))))])= 1 — д[!»(д)] †'. Следствие.
Пусть р„1<1, тогда а) существует предел ю»(1, х) =~-к»(х), 1- оо, и функция ы»(х, з) =Ме — л™»ьо определяется по формуле О»»(х, з) = р,(1 +а»з-'~,' й»„(0, и) [:» + л=ь со з-»[и (и, у (х з))[л=-О+ ~~ ~и (и)[л л ]] 162 + з-' ')~ а; (()) (р» (и + у, (х, з))) 1"~ + ~ ' ()) ()й» (и)) )„," ~,. «=о !=»+! где га»=)йй(уй(х, е) ), г'„»=ай — аййй„ (О, г"»), г„, = а, — ай)йй„(0, г»); б) первые два момента виртуального времени ожидания и стационарном режиме для й-требований с длительностью обслуживания х определяются по формулам о ( ) + 2а»г,»(х) г» ! 2Р»(2-й †) =(."','~ о (х) а»а (х)г + (х) ) о + (Р )й Ро ( )й + о ( )й !лл ы + Рй»(Р» й Р»)!) Р» ~ (Р»-й Р») где За»о о»1»(к) + 2 а„(х) =! + ~о»-й а»»(х) = —, + о,й(х) г,»(х)о» „ Р» о»д, е,»(х) = ~ игдВ»(и), 1) )1.
о В Оо р)(з)= ~( еир. (1) сИ р) (з) 5 е-"Р. (1) дг, о о В7((,х, у) = Р(0< Яуй(г,х) < у, 1.,(т)~0, т~(0, 1) !$.(0) =и), $' '"(г,х,у) =р(0<()тй(г, х) <у, Ь»(т)чеО, те=(0, г) )Е)(0) =тбьй, 1=1,)г). Докажем сначала, что )й'й(1, х, у) и )йтй" ((, х, у) связаны соот- ношением ()т»(з, х, у) = ~' ) Р;(и) У»~(г — и,х,у)ди+ !=~ о 163 Доказательство теоремы 1. Введем следующие величины: Р,(1)д( — вероятность поступления в свободную систему )-требования в промежутке (1, г+Ж), Р;(г)Ж вЂ” вероятность попадания начала обслуживания 1-требования в промежуток (1, 1+И), и с ,+ ~ ] ] Рс(и) ~~~е '«" "' х с=«--с о пС,=О п««по х П ' " У«(с — о),х,у)с(„В;(о — и)с(и+ А «~с Р;(и) ~, е '«сп по х с=«есо с п«=О « и.
о-Ьс П"-"с] -"- е «х пр со ~„С„' ч, [В (х)]с х С=-О с=о х [1 — В«(х)]п"+ ' [Й«] '(х,у+ с — т)ди х , Хс(пВс(о — и)с!М«' с(п, т — о) +Ро(!), где М„, (п, !) = (П«-,,] "' * ... * [П«, „-,] "«-' ((), о — знак свертки, а Н«(х, !) — ф. р., преобразованием Лапла--: са — Стилтьеса которой является Е«(х, з) (Н«(х, !) — ф. р.', й-цикла, при условии, что время обслуживания й-требования, с которого начинается сс-цикл, не превосходит х). Справедливость соотношения (1) вытекает из следующих рассуждений. Событие А =(Ж«(г, х) <у) эквивалентно объеди-' нению следующих непересекающихся событий: А,=(система свободна в момент (); А,=(в момент времени, лежащий в интервале [и, и+о(и),: О;си<с, в свободную от требований систему поступило счтребование, 1=1, сс) П(0<)й«(! — и, х) <у, 1«(т)чьО, тек ен [О, ! — и) [ 1. (0) =! с); Ао=(в момент времени, лежащий в интервале [и, и+с(и), 0<и<1, началось обслуживание !чтребования, !=со+1, г,, которое продолжалось до момента, лежащего в интервале ", [о, о+ссо), и<о<1; за время о — и поступило пс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
