2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 29
Текст из файла (страница 29)
0 1-тре-", бований (1=1,/г), пс+...+п«)0)П(0<Ос«(с — о, х)<у, 1«(т)чь! ~0, тев [О, т — о) [ 1. (0) =и); с Ао — — (в момент времени, лежащий в интервале [и, и+с(и), 0<и<с, началось обслуживание сътребования, /=й+1,г, кото- рое продолжалось до момента, лежащего в интервале [о,о+ 164 Р(А,) =- Р, (1), Р (АО) = ~' ~ Р; (и) [Р»! (1 — и, х, у) и(и, !=! о Р(А,)= ~ [ ~ Р.(и) ~~ е '»' ' Х !=»+!о и и =О »вЂ” и»О»О х П [ '( )1 В'» (1 — о, х, у) !1 В .(о — и) ![и, и,! и ! О=! О+! Ф р(А,) — ~ ~' [ р,. (и) ~~ е "'" "' х у,+! О ио; '"' и» вЂ” о и, О+! х П ' [ас(о — и)1 ' [' е а»!' '! х !' и=! [а»(т — о)1! х ~~~а ~~~) [ С„'»+! [В» (х) [! [1 — В» (х)[" »+' ' х г=о с=о х ~Н»['! (х, у + 1 — т) ![и !1,В; (о — и) !(,М» ! (и, т — о).
О = [) А, и А!ПА!=И при 1чь1, полу!=1 Пользуясь тем, что А чаем (1). Докажем теперь, что ° и и ! [Рп (1 ) ~~~ ~ — а»и (а»а [Ои»+ (1 ) М ( ) + н г=О„„,О О и»-!-! + ~~), ~ е '»" ( "" ~)'С„'„ч.![В»(х)]' [1 — В»(х)["»+' ' х !.=о !=о ! Х [Н») *'(х, у+1 — и) !1М» ! (и, и). 165 +!1о), 1<о<у+1; за время о — и поступило и!)О 1-требований; 1=[,й, (й — 1,1)-периоды, связанные с 1-требованиями, 1=[,Й вЂ” 1, поступившими за время о — и, продолжались до момента, лежащего 1в интервале [т,т+и1т), о<т<у+1; за время т — о поступило 1)0 й-требований, из п»+1 й-требований О, !'=О, п»+1, имеют время обслуживания <х, и суммарная длительность й-циклов, связанных с ними, не превосходит у+1— — т) Далее, Действительно, событие В=(0<)Р«(1, х) <у, 1«(т)ФО, те=(0,1) [1 (0) =и) ю с с— Р(Вс) = ~~)~~ ~е '«" ( «"с )Р'««+'(1 — и,х, у)с(М«с(п,и), л с=о„,о о л«' учс Р(В) =~~> ~ « н с=о с л«-с-с Сс«+с [В«(х)) с [1 — В«(х) ] "« ' ' Х с=о Х [Й«) *'(х, у+1 — и)с(М«с(п, и) н Вс()Во=В, В«ПВ«=Я, соотношение (2) доказано.
Докажем теперь, что %7(1,х,у) = ~~ ~~~ ~ ~ е '«' "' х с=с~=оо с Х,'), "'"'".""' ~'С [В,()) [1 — В,())с-'Х « с=о с=-о Х [Й«)'с (х, у + 1 — о) Щ«с~ (и) с( [Н«)'с (о — и). Справедливость (3) следует из того, что событие С=(0<97«(1, х) <у, $.«(т)ФО, т~(0,1) [1.;(О) =псбс«, 1=1, й) эквивалентно событию (3) 166 эквивалентно объединению следующих событий: Вс=(й — !1-периоды, связанные с 1-требованиями, с=1, ~ — 1, находившимися в системе в момент 1=0, продолжались до момента времени, лежащего в, интервале [и, и+с(и), 0<и<1; за время и поступило 1 1с-требований, 1=б,л, оо[П(0<- <Яс«(1 — и, х) <у, 1«(т)ФО, т~(0, 1 — и) [1.,(0) =(и«+1)бсм 1=1, Ц; Во=(л — 11-периоды, связанные с с-требованиями, с=11, й — 1, находившимися в системе в момент 1=0, продолжались до момента, лежащего в интервале [и, и+с(и), 1<и<у+1; за время и поступило 1)0 )с-требований; с' из л«+1 Й-требований,' с=О, и«+1, имеют, время обслуживания <х, и суммарная длительность Й-циклов, связанных с ними, не превосходит у+1 — и).
Так как С1 = (момент времени, лежащий в интервале [и, и+пи), О~и(1, является моментом окончания жизни яп — 1-поколения и началом жизни яп-поколения; яп-поколение состоит из 1 (1) 1) требований, и время его жизни продолжается до момента времени, лежащего в интервале [о, и+йп), 1~о(у+1; за время о — и поступило 1 (1>0) я-требований, 1 из 1(1~0) я-требований имеют время обслуживания ~х, и суммарная длительность связанных с ними я-циклов не превосходит у+1 — о), и того, что ° е ° о о+о у=1 =оо о ФВ г Х 1) ~ ~~)~С,'.[Во(х)['[1 — В,'(х)[г-'[Н„[п(х,у+ 8 — и) Х '=о Х сй;Н'! > (и) й [Но[и (и — и). Для доказательства теоремы достаточно взять преобразование Лапласа — Стилтьеса по у и преобразование Лапласа по т в соотношениях (1) — (3) и воспользоваться равенством р;(д) =а;[р(д))-'. Система уравнений для определения р;(д) вытекает из соотношения оох (д, х, 0) = д — '.
4. Длина очереди. Теорем а 2. Функция р(г, з) определяется из соотношений р(г, з) = [р(з) [ ' (1+оп(г, з)), ап (г, з) = ), аопЯ> (г, з) + [' оо, '1 б'"" (г, з) п(оо' (г, з), по=! и[,".'(г,з) = Я ~[~ 14[~~ (з+ о' — (а, г)')х й=о~=1 х [ [г; (1 — В, (у)) + ~ е ' '*"йВ, (х)~' ' х о о х [) Я [ ехр ( — (з + и'-' — (а, г)'-') и) х ~=~ о,=1 о х и,, (по и) и ~"",1 о, (г, з) й„Ги ~, (и, у) + 167 + " (1 — ехр( — (з 1- о — (а, г)) у)) 1йВ;(у), о+о — (а, ») где у,о("'у)=- ) е-'ос(„Г; (и, у) = е "о+ "'".
о С л е д с т в и е. Пусть ура<1, тогда а) существует предел ). (1) =»)., г — ~со, причем функции Р(г) =Ма" определяется по формуле Р(г) = (1 — р,1)(1+оп(г,0)); б) среднее число й-требований в системе в стационарном режиме определяется по формуле М1.» = а» ~~„, + ~ 1 + р,— ', 2а,~ и !1 — В»(и)')йВ»(и) ~ "' 1.
2р»[2ро,— р») ) о Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2. Воспользуемся методом введения дополнительного события. Будем «окрашивать» требования, причем любое требование приоритета 1 объявляется «красиым» с вероятностью г; и «синим» вЂ” с дополнительной вероятностью 1 — г; независимо от «цвета» остальных требований. Кроме того, считаем, что в систему поступает пуассоновский поток «катастроф» с интенсивностью з>0.
Функцию зр(г, з) можно интерпретировать как вероятность, того, что в момент поступления первой «катастрофы» в системе нет «синих» требований, Пусть вп(г, в) и зпи<ю(г, в) имеют тот же смысл внутри одного периода занятости и йп-периода., Процесс Б(1) является регенерируюшим, точками регенерации служат моменты окончания периодов занятости. Пусть зр(г, з) имеет тот же смысл, что и вр(г, з), но на отдельно взятом периоде регенерации. Справедливость соотношения зр(г,з) =- зр(г,з) + — п(з)зр(г, з) вытекает из следуюших рассуждений.
Для того чтобы первая «катастрофа» поступила, когда в системе нет «синих» требований, необходимо и достаточно, чтобы: 1) либо первая «катастрофа» поступила на первом периоде регенерации, когда в системе нет «сииих» требований (вероятность этого события равна вр(г, з)); 2) либо за первый период регенерации «катастрофа» не в поступала (с вероятностью — я(з) ), а' поступила позже.
Вео+о роятность того, что первая «катастрофа> после первого периода регенерации поступила, когда в системе нет «синих» требова- !68 ний, равна зр(г, 5) (это следует из того, что процесс 1.(1) регенерируюший). Далее, 5Р(г,з) =. — + 5л(г,5). 5+сс 5+о Действительно, для того чтобы первая «катастрофа» на периоде регенерации поступила, когда в системе нет «синих» требований, необходимо н достаточно, чтобы: 1) либо она поступила в свободную систему (тогда в системе нет не только «синих», но и вообще никаких требований), вероятность чего равна 5/(5+о); 2) либо в свободную систему «катастрофа» не поступила и в периоде занятости первая «катастрофа» поступила, когда в системе нет «синих» требований. Вероятность этого события равна (о/(5+ о) ) зл (г, 5) . Пусть 5лс(г, 5) имеет тот же смысл, что и зр(г, 5), но внутри отдельно взятого 1чпериода.
Докажем соотношение 5Л,(г, 5) = — 'зл1!1(г,з)+ — '' зл1,(г,з) + о, (4) л =-1 с В левой части (4) стоит вероятность того, что первая «катастрофа» внутри 1-пернода поступила в момент, когда в системе не было «снннх» требований. Для выполнения этого события, необходимо и достаточно, чтобы: 1) либо требование, с которого начался г-период, является 1-требованием н в последовавшем 11-периоде первая «катастрофа» поступила в момент, когда в системе нет «синих» требований (вероятность этого события равна — 5Л) с (г, 5)); 2) либо требование, с которого начался 1-период, являетея /-требованием, /=1, 1 — 1. Прн этом рассматриваемый 1чпериод имеет следующую структуру: сначала следует 1 — 1-период и затем — 11л-период, где и-число 1-требований, поступивших за 1 — 1-пернод Возможны два случая: а) первая «катастрофа» поступила в 1 — !-периоде, когда в системе нет «синнх» требований (вероятность этого события равна — '' зл,,(г, 5)); Ос 169 б) первая «катастрофа» поступила в Ил-периоде, когда в системе нет «синих» требований (вероятность этого события равна Ю вЂ” ~~1~~ 6 ' (х,з) зл,,о (г, 5)).
л .=1 1 Учитывая, что зл(х, з) л ал,(г, з), и последовательно применяя (4), получаем Г ал(г,з) =- ~~Г а л!'!(х,з) + ~~~~ аа ~ 6!"а! (х,з)л!ла! (х, 2). а=! 2=2 л1,— — ! Далее, используя формулу полной вероятности, имеем СО л Л!л! (г, З) = ~ ). д<".! (З + О« — (а, г)1) р,; (г, З), а=о!=! где зрп(г, з) — вероятность того, что первая «катастрофа» поступила внутри 1-поколения, состоящего из 1 1-требований, когда в системе не было «синих» требований. Но 1 «л! ехр( — «1(г,з) л) х1~11 — В,(х )1'-" Х ! — ! лл х Д ~ )ехр( — (з+ а1-1 — (а, х)1-')и) я1, (пе и) г1 — л! 1!1,(х з) х 1=! «,=-1О «1 1 — л!.1-! Х 1(„Ги 1-! (и,х ) + ' (1— «+о — (а, г) — ехр( — (а+а — (а, х))х )]) !(В(х!)...а!В(х ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
