2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 32
Текст из файла (страница 32)
<=«~! <=< <Ф! («и! <ф! < Отсюда вытекает утверждение в). В Нумерацию функций )«<(х) выберем таким образом, чтобы )«<(! ) =О. Положим а«(г) = П (р,(г); — р<т(г)). <Ф« к Л е м м а 2. Ори каждом й, к=1, й(, система функциональных уравнений г<=Ь(э — )<«(х)), 1=1, 1, (4) имеет единственное решение г, = г<«! (г', э), ! = 1, 1, и (г<«>(г', э) = (г««>(г', э), ..., г<«>(г<, э)), аналитическое в области (х<ь<(<1, ..., (х„(<1, Вез>О, пРичем в этой области <ги<«'(г<, э) ! <1, 1=1, <'. Если и « ~~~ с<а —,<~ ~~ ~ р<,< 1, ! —,— 1 <=! 184 то х,(о(0) =1, в противном случае г„(о(0) <1, 1=1, г. Кроме того, при 2 ай<У ]го!а>(0) [ <1, 1=1, г. Д о к а з а т е л ь с т в о. Совокупность систем функциональных уравнений (4) при й=1, !У эквивалентна системе П (х+ а,) =А(рг(з — 'х),..., р!(з — х),г;+„..., г,) х ! ! !к ~' с;аг П(х+ а,), (5) У=! ЮФУ гг=рг(в — х), 1=1, !.
По теореме Руше в области Кез)0, [г!ч.!]<1,..., [г,]<1 первое уравнение системы (5) имеет й! решений х,! (з, х!), ..., х н (з, х!), причем в этой области мехи(з, х!) ~0. По теореме о неявной функции эти решения являются аналитическими функциями в указанной области. Искомые функции г!!<м(х!, з) получаются после подстановки найденных значений х в соотношения г,=5;(з — х). Остальные утверждения леммы являются следствием свойств функций р;(х), доказанных в лемме 1. Положим й,л(х, з) =1 — г! — ' р!(з — рл(х)), ил'" (з) = ил (х,<л! (з) ), (6) !р(з) = Д" с;а! П (з+ а,~ П [з — р,'(з)] '. У=! М!' т=! 4. Основные результаты.
Как уже отмечалось выше, основная цель параграфа заключается в изучении свойств процесса Е(1) и случайной величины П(по), представляющих собой число требований в системе в момент г и период занятости рассматриваемой системы обслуживания. Результаты о поведении этих характеристик содержатся в приводимых ниже теоремах 1 — 3 и их следствиях. В тех случаях, когда мы будем пользоваться результатами лемм 1 и 2, будем полагать А(г) = (р, х).
Если в формулировке результата нет указания на приоритетную дисциплину, это означает, что он справедлив для всего класса систем без прерывания. Напомним обозначения основных характеристик: 185 р(х, я) — преобразование Лапласа производящей функции совместного распределения длин очередей из требований при- оритетных классов 1, !", р,(я) — преобразование Лапласа вероятности свободного состояния системы; п,„(п', я) — преобразование Лапласа плотности распреде- ления длительности периода занятости, начавшегося с п' тре- бований и такого, что в момент его начала а=а„, а в момент окончания а=аь Т е о р е м а 1.
а) Функции р(х, я) и ро(х, х, я) определяют- ся по формулам и р(х, я) = р»(я) + [(р, г) — 1] ~] ~] ])] ' (г, я) Х »=! с=! Х [1 — р! (я — р» (х))Цр»(г) (я — р»(г))] — ', (7) Уй рн (х, х, я) = [1 — В! (х)] (р, г) с; ~~ [р» (х) + а ] ]— ' х »=! Х р] '(х, я)ехр( — (я — р»(г)) х), (8) где [1]~!(г, я) = а»'(г) П(р»(х)+ а;) $! '~п(*' '', (9) и» (*) + е! / ! »=! и 8!!»!(г, я) удовлетворяют соотношениям т и ~ д!» (х, я) р]~! (г, я) = а» ~ (х) !р(я) П [р»(х) — р," (я)]. (1О) $=! и=! б). Функции р„(я) определяются из системы линейных уравнений М н — ! ~ а, [с, — (я + а,) р„(я)] !), П а„= !=! !<!,<...~лд !<и !=! !»м1, »-!, »!-! п ! и — ! и [( — 1)" — ! П р,' (я) — П а,,~~ ~'.атр»,(я).
(11) !<с,<...~!п !Си с=! с=! т-! в). Функции р»(я) и 1 а,р!ь,(я) определяются по формулам ~=! р,() = -![1 — ( — 1)'р(я) Пат (я)], !=! атрО» (я) = !р (я). (12) т=! 186 3 а м е ч а н и е. Поясним смысл утверждений теоремы 1. Утверждения б) и в) показывают, что функции ро!(з) и ро(з) не зависят от приоритетной дисциплины и могут быть определены из соотношений (11) и (12).
В отличие от ро!(з) и ро(з) функции р(х, з) и рп(х, х, з) существенно зависят от приоритетной дисциплины. Утверждение а) показывает, что зависимость функций р(х, з) и рп(х, х, з) от р;,(х, О, з) одинакова для всех систем без прерывания и выражается формулами (7)— (9). Кроме того, определенные линейные комбинации функций ро(х, О, з) (соотношения (10)) также не зависят от приоритетной дисциплины. Т е о р е м а 2. Функции пм(по, з) определяются из системы линейных уравнений Х*' п!ч(п', з) = . ' !р(х!")(з)), я = 1, !Ч, (13) (оо(о)+ а! (!о(о)+а„ !=! в частности, и п„(по, з) о ! '~~~ п)~(по, з) = = ) !р (х!'! (з)) П а (р,'(з) + а,) П )о,'.
(з) [р,'. (з) — р," (з)[ — !. (14) о=! ЕФи ало С л е д с т в и е. а). Функция п(з) — преобразование Лапласа — Стилтьеса ф. р. длительности периода занятости системы П, начавшегося с поступления требования в свободную систему, — определяется по формуле и п(з) — 1 ( 1)и Па' !1!'(з) (15) /=1 б). Если р„!<1, то первь!е два момента длительности периода занятости определяются по формулам ' и и МП=( — 1) — ' Па,.' ' оп Пр,'(О), ! — оп (16) к=! и Мпо = ( — 1) и — ' П а —,. Х 2 )о=! ~" с,а,. о — ( ~ с;а. 1=! !=! и ~г~ с;а !=! ')' и П (о"п(0)— о=о) 187 Ф (0 Ь,!в 1=2 П»1 в противном случае МП=МП'= ьь, где (~5 с(а( П (р( (О)+ад)5 р(1-- ' " ~ЕРА(-р (0))! ~ с,а( П (р( (О)+а,)5 1=1 1=1 15»1 р((з) = " ' ', 1 = 1, т. ((5 (17) Т е о р е м а 3.
В случае дисциплины относительного приоритета функция р(г, з) определяется по формуле (7), где р((»'(г, з) находятся из рекуррентных соотношений р[ ' (г, 5) = ~)~ са» (г, 5) [)['1 ( 1,, 5), (18) ,')," д,»(,.„в)~1;"(,» ) =а»'(;»)р(з)П [р (.1) — р,'(з)[ (!9) где 188 сф (г, з) = а» '(г)а„(.;„) П )'»( ) Р( '" , (20) р,(;,) — и(( 11) ' 1~5 а запись ( ° с») означает вектор г("1, (г( ', з) г( — '.
3 а м е ч а н и е. Поясним алгоритм нахождения функции р(г, з), задаваемый соотношениями (7), (18), (19). Сначала из соотношения (19) при (=г находим р',"1(,ы 5). Зная [)и(,», з), из соотношения (18) определяем Ф"'(~, ), 1',и(...,.), 1',"(..., ),..., 1,"'(-„, ) Далее, из (19) при (=г — 1 находим р('1(, (ы 5) (это можно сделать, так как р, (, ьь з) уже известно), а затем из (18) м) — р(111(г, з), р(11(, »», з), ..., р("1(,„, 5).
Повторяя эту про- цедуру, находим р( (г, 5) для 1=1, г и по формуле (7) (»( р(г, 3). С л едств не. При р„((! существует предел 1. (1) =:- 1,, 1-»-ьо, причем в случае дисциплины относительного приоритета функ- ция Р(г) =Мг" определяется по формуле Р(г) = (1 — р„) + [! — (р, г) [ Х (22) к=! ч=! где о(Л)/Л-+О при !з-!-О, а 1 — 6,,0 йФ!' е<„!! =- 1 — 6,„,!, й=!. Разделив обе части (23) на а и переходя к пределу при й;!-О, получаем ~~~((» ° )+д с!(~» ) ( +!) ( ))Р ( 1)+ д! дк М + с; ~) ! т ' а,р!, (п — 1м х, 1) е!!! р„. (24) (25) А=! к=! Из начальных условий следует, что Рн(п, х, 0) =О.
Переходя в (25) к производящим функциям и преобразованиям Лапласа по 1, получаем "'! ' " ' = — [з+ а, -)- Ч, (х)) р„(г, х, .) + дк + с! (р, г) ~ а,р!» (г, х, з). (26) 189 Х ~' Я р) '(г)рк (г)11 — р,( — р,(г))], (21) А=! !=! где р!<м(г) находятся из рекуррентных соотношений р(" (г) = ~Г' с',.",(г, 0) р!Х! ( с,), ч=\ к ~Г йм ( !и 0) р! ! ( !к) = (1 — р„) ак ' ( !к) и т=! х П( — р!(ОН- П(а;Ь ( м) — р,'(0))) 1=2 /=! здесь запись ( тк) означает г!."!,(г' — ', 0) г' — '. Доказательство теоремы 1. Рассматривая возможные переходы системы из состояния в состояние за интервал времени (1, 1+А), получаем Р„(п, х+а, 1+!)!) =Р(п, х, 1) (! — (а,+ти(х))Ь)+ г Ф + с ~ ~~~ а,р!ч(п — 1„, х, 1)е!!!рк!з + о(Л),' (23) Аналогично для Роо(1) получаем систему интегродиффере циальных уравнений = — а;Р„(1) + ~~~1 Ра(1!, х, г)Ч,.(х)с1х.
(2 =! о Кроме того, в силу начальных условий Ро,(0) =сь (28 Положим Рц(г, х, !) = ~ г"Р,; (и, х, !). «=о Докажем, что ч ~ Р!!'(г, О, () = ~ г. ' ~ Р1 (г, х, 1) «1! (х) с(х— о=! о о! — ~ Р,; (1о х, 1) !1! (х) с(х + с1 (р, г) ~ а,Роч (1). (29) !=! о ч ! Умножим обе части (29) на Ь вЂ” произвольное сколь угодно,. малое положительное число. Тогда с точностью до величин порядка о(А) при А-»О слева будет стоять вероятность того, что в интервале времени (1, 1+А) началось обслуживание не-,' которого требования, все требования, находящиеся в этот момент в системе, являются «красными», и а=аь Для выполне-' ния этого необходимо и достаточно, чтобы: 1) либо в интервале времени (1, (+А) закончилось обслуживание некоторого требования, система не оказалась свободной, все оставшиеся в системе требования «красные» и а=а« (вероятность этого события равна ч ! г;.' ~ Р!!(г, х, () «1о(х) Ихб — Я ~ Ра(1!, х, () Ч!(х)с(хЬ + о(А)) с-! о а=! о 2) либо в интервале (Г (+А) произошло поступление, «красного» требования в свободную систему и а приняло значение а; (вероятность этого события равна с!(р, г)Я а,ро,(1) А+ о(Ь)).
ч=1 Переходя в (29) к преобразованию Лапласа по ! и учитывая (27) и (28), получаем Г Э Я ри (г, О, з) = ~ г,. ' ( рио!(г, х, з)1!1! (х) с(х + о 190 + с; — (я + а;) р„; (я) + с; (р, г) Я а,р»»(я). (30) »=! Решение системы (26) записывается в виде р;;(г, х, я) =(! — В;(х)]с;~ у!]»! (г, я) Х »=! Х (р»(х) + а!]-' ехр ( — (я — !»»(г) ) х), (31) где у!<»!(х, я) — произвольные функции. Подставляя (31) в (ЗО), имеем ~' 1)»» (х) + а!] — ' 6» (х, я) = ]! (х, я), ! = 1, У, (32) где 6» (х, я) = Я Ц(х, я) а — ' (х) П (()»» (г) + а!) (р; (г) + а,)] х !=! /=! Х ]р» (х) + а,] — ' П (а! — а„] — !.
»Ф! Вспомним, что функции !»!(х), !=1, Л!, являются решениями уравнения »! »! П ()»+ а!) = (р, г)~ с,а, П (р+ а;). /=! !=! а»! Следовательно, П (р + а;) — (р, г) )!" с,а, П (р + 1=! !=! у,»! Подставляя в (33) !»= — а!, имеем и ( — 1) и П (р; (х) + а,) = — (р, 1=! а;) = П (р — р,(г)). (ЗЗ) х)с,а, П (а; — а,). !»»! 191 6 (х, я) = ~ с(,» (х, я) у!»! (г, я), !=! !»! (г, я) = ! — (я + а!) с,. !Р»! (я) + (Р х) Я а Р»! (я). !=! Для определения 6»(г, я) мы получили систему линейных уравнений с матрицей Коши. Решение этой системы записывается в виде Отсюда находим, что П (р; (х) + а,) П (а, — а„) — ' =- с,а, (р, г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
