2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 35
Текст из файла (страница 35)
За исключением бескоиечиолииейиых систем, при достаточио общих предположениях относительно входящего потока или распределения длительности обслуживания изучено немного классов многоканальных систем. К иим относятся системы с потерями, в которые поступают пуассоиовские потоки, и системы с рекурреитиым входящим потоком и показательным распределеиием времени обслуживания. Такие системы рассмотрены в $ 4 — 6. й Ь СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ М1О)со !. Описание системы. Система обслуживания состоит из бесконечного числа одинаковых приборов.
Длительности обслуживания требований — независимые в совокупности сл.в., стохастически эквивалентные сл.в. В, имеющей ф. р. В(1) =Р(В< <й Входящий поток требований — пуассоиовский с интеисивиостью а. Мы будем изучать свойства случайных процессов ч(1) и ц(1), где т(1) — число требований в системе (или, другими словами, число занятых приборов) в момент времени 205 и 1!(С) — число требований, обслуженных системой в интервале [О, С).
В силу того что все обслуживающие приборы одинаковы, алгоритм, по которому поступающее требование выбирает прибор, не влияет на поведение процессов т(С) и р(С). В дальнейшем мы будем выбирать этот алгоритм исходя из удобств решения каждой конкретной задачи. Предположим, что т(0) =О, р(0) =О. При С!<Сг«...Си положим <р (г„..., гк, С„... С и) = М П г,"' ', !=1 !р(г„..., ги С„, Си) = М П г,""' . 2. Основные результаты. Основное содержание параграфа составляют приводимые ниже две теоремы.
Теорема 1. Распределения случайных величин к(С) и !!(С) являются пуассоновскими: Р(ч(С) =С!) = 1~(01 е — ыо, Сс)0, И Р(Р(С) =и) = 1 ( ! е — 1"-мФО, п)0, и! еде р (С) = а ~ [1 — В (и)[ Ии. о С л е д с т в и е. Пусть р=аМВ< ос, тогда 11щ Р(к(С) = С!) = е — ь 1~ ° И Теорема 2. Функция !р(г!, ..., г„, Сь ..., Си) определяется по формуле и С-! <р(гм..., гк С! ., Ск) = ехр Д (г! — 1) П гср(С!) !=! /=1 и ! и С;! — (1 — г,)(1 — гс,) П гср(С!.— Сц)~. 1,=-! !1.— -(,+! !=!+! Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1. Обозначим через А„(С)' событие, заключающееся в том, что в интервале [О, С) поступило и требований.
Тогда Р(А„(С)) = е — "' —, л! По формуле полной вероятности Р(т(1) = и) = т~~~е —" ( ) Р(т(1) = /г]А„(1)), (1) !а! «=» ° В Р(Р(1) = й) = Я е — "' — ! — Р(Р(1) = й]А„(1)). (2) т». «=» Одним из свойств пуассоновского потока является следующее: если известно, что в интервале [О, 1) поступило п требований, то моменты их поступления независимы в совокупности и равномерно распределены в указанном интервале. Следовательно, при выполнении А„(1) вероятность того, что любое из п требований не обслужится (обслужится) до момента 1, равна [1 — В(1 — и)] —" = — ~[! — В(и)]»(из" р(1). ( ~В(1 — и) — = — ~ В(и) г(и = 1 — р(1)), аи 1 .3 Но эта вероятность равна Р (т (1) = й [А„(1) ) (Р (р (1) = й [А„(1) ) ) .
Подставляя полученные выражения для Р(т(1) =й/А„(1) ) и Р(р(1) =й/А„(1)) в (!) и (2) соответственно, получаем Р (т (1) = й) = Х е —" ( ) С. [р (1)]» [1 — р (1)] л! а !агр (О!»»гч И «=» и аналогично (аг(! — рЯ)!" ' „и> МрЯ!» (а! ( ! — р (»Ц]» »! Но а1р(1) =р(1), отсюда вытекает утверждение теоремы. ° 207 и останется или нет каждое требование (из этих и) в системе до момента 1, не зависит от судьбы остальных требований. Отсюда вероятность того, что Й из и требований не обслужатся (обслужатся) до момента 1, равна [р(1)]»[! р(1)]™ (С [1 р(1)]»[р(1)] )' Доказательство теоремы 2. Пусть т>(0 1, (ь 1;) число требований, поступивших в интервале [1, ! Ц и поки- нувших систему после 1; (12=0, !'(((Н).
Очевидно, о (11) = Ч (О, 11, 11), У (12) =Т1 (О, 11, 12) +Т1 (11 (2' 12) ' о((и) =Ч (О, Гь (и) +- +Ч ((и->, 1и, (и) Кроме того, случайные величины Ч(0 г! 1ь) Ч(21 го г!ч) . ° Ч(1и — 1 Ь ги) независимы в совокупности для любых 11>1, 12>2, ..., (и-1> > !о' — 1. Отсюда !р(гь ..., ги! (ь ..., (и) = и и „Т-т Ч>О,1„1;,> Гт и11,,!.,1; > го!!И-1'И'И> и=1 Ь=2 к и ~!2,1„! >М ч!1~.1,! > М ~>!к — ! !иги> 1,=1 Ь=2 Далее, в силу стационарности входящего потока, распределения случайных величин т>(1, 1, 11, 1;) и Ч(0, 1,— 1! ь 1; — 1; 1) совпадают. Отсюда к р (г,,..., ги, 1,, ..., 1и) = М Д г,,"зй> >с и=! М т т ч!21,— 1,.!> — !и о>о!и — ти 1.1и — !и 1> Ь=2 и Итак, достаточно найти М П г',." ' 'р.
/.= 1 Из определения величин т>(0,11, 1,) имеем Р(Ч(0,11,1!) =й>, ... -, Ч(0, т>, ти) =йи) =О, если йь ., й„не удовлетворяют неравенствам й>>йо> ...>йи. При выполнении этих неравенств по формуле полной вероятности Р (Ч(0, 1„1!) = й„..., Ч (О, 1„1к) = ик) = ~, е-" х о=о, и ("'" Р(Ч(0, (,, (,) = й„..., Ч(0, 1„1 ) = Ь [А. (~,)), (З) где событие А,(1) означает поступление ровно и требований в интервале [О, !).
При выполнении события А„(11) моменты 208 В(!м ! — и)] —, а!и б ' Рм !((„гм !, (м) =5(В((м и) а Рм((„г, ) =~(! — В((м о !!и — ))в Кроме того, Р (т! (О, 6!, 6!) =й!, ..., т! (О, (!, (и) = йм ~ А ((!) ) = и! (л — ь!)! (а! ае)! ... (ьм, Х (Ро((„0, (!))"-" (Рт(~„г„~в))"-»* Х ...
Х Х !гРм — !(1! 1м — 1м)1 ' "т!РмД ( ))ам. Из (3)' н (4) имеем П'"""' = Х Х . (4) га ...гамХ Х м ом=о ом !=им а,=м Х ~~)! .а!,( ( )л !~ е(д! ° О д!))" (л — Ге!) ! (Ге, — !ее)! л=а, (Рм(! ° дм ' )) м (лм — ! 'тм) "н' Отсюда ьяр, р„о, й))!м-ь! Х !м+! М П д'!!" !;! е — ва, ~~ ! т=! б=о тм+!=о дмРм (!„!м, ое))б (адтдтР! (д„б, де))~м (адат! Х Х...Х !м! !т! 209 3 В Ф.
Матвеев, В. Г. ушанее поступления этих и требований независимы н равномерно распределены в интервале (О, !!). Пусть Ро(!е, О, д!) — вероятность того, что одно фиксирован- ное нз и требований, поступивших в интервале !О, д!), обслу- жнтся в этом же интервале, Р!( д!, д!, ад) — в ' интервале !(е, 6д), ..., Ри((ь 1м, оо) — в интервале ((м, о). Очевидно, Р,(е„О, е!) = 1В(1! — и) —" = — ~В(и) !(и, о о !, Р,(~а, (т, (в) = ~ (В ((в — и) — В(е! — и)) —, о = ехр ( — аЕ !+ аЕ!Ро (Еь, 0 1 !) + аЕ гьР, (Еь, Еь, Ез) + +...+аЕьг! ... гм ьРм ь(Ео Ем-о Ем) + + аЕьг! ...
гмРм(Ео!и, ео)). Но аЕ,Р„(Е„О, Е,) = а ~В(и)ь(и == аЕ, — р(Е,), о у~ аЕР, (Е,, Е,, Е ) =- а ~ [В(Š— и) — В (Е, — и)] ь(и а = [р(Е!) — р(Ез)+р(Ез — Еь)], аЕ,Рм, (Е,, Ем „Ем) =. а~ ~В(Ем — и) — В(Ем ь — и)]ь(и =— = [р(Ем-ь) — р(Ем-! — Еь) — р(Ем)+р(Ем — Еь)] ьь аЕ,Рм(Е,, Ем, оо) = а~ [1 — В(Ем — и)]у(и =- [р(Ем) — р(Ем — Е,)].
о Следовательно, М П г",.ьз"'у! = ехр( — р(Е,)) ехр(г, [р (Е,) — р(Е,) + у=-ь +р(Š— Е )]) ехр( [р(Е ) — р(Š— Е ) — р(Ез)+ +р(Ез — Е!) ]) ... ехр (г! ... гм, [р(Ем !) — р(Ем ! — Е!)— — р(Ем) +р(Ем — Еь) ]) ехр (гь .- гм [р(Ем) — р(Ем — Е!) ]) = =ехр((г, — 1)р(Е,) +г,(гз — 1)р(Ез)+...+ +г! ...
гм-ь(гм — 1) р(Ем) +гь(1 — гз) р(Ез — Еь) + +гьгз(1 — гз) р(Ез — Е!) +--+гьгз ... гм-з(1 — гм-ь) Х Хр(Ем ! — Е!)+г! ... гм ь(1 — гм)р(Ем — Е!)). Отсюда у — ! ьр(г„..., гм, Е„..., Ем)= — ехр~~ (г; — 1) р(Е ) [ ] г, + у=! у.—. ь м у — ! м у — 1 (1 гу)р(Е Еь) Пг,+ ~~ (гу — 1)р(Еу Еь) П гу+ у=у у=-г у=з и у — ! Н ~ (1 — г;)р(Е, — Ез) Пгу -ь- . -1 (гм — ! — 1)р(Ем — ь — Ем — з) зе 210 + гя-~ (гя — 1) р(!я — !я-~) н- гк ~(1 — гм)р(!я — тя-~) + + (гя — 1) р(гя — тя — ~)~.
Отсюда после несложных преобразований получаем утверждение теоремы. 3. Задачи. 3 ад а ч а 1. Пусть т(0) =Е Доказать, что Мгнч=(В(1)+г[1 — В(!)])'ехр(р(!) [г — 1]). 3 ад а ч а 2. Найти функцию ф(гь ..., гю 1ь ..., Ья). 3 ад а ч а 3. Найти сот(т(1), у(1,)). $2. СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПРИБОРОВ И НЕОРДИНАРНЫМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ 1. Описание системы. Рассматриваемая в данном параграфе система обслуживания отличается от системы 5 1 только входящим потоком. Будем предполагать,. что требования поступают группами, поток групп требований — пуассоновский с интенсивностью а>0.
Количества требований в группах — независимые в совокупности сл. в., стохастическн эквивалентные сл.в. Я с распределением рл= Р(!г=я), я= 1,со н производящей функцией Ф(г) =Мго. ПустьВ(х) — ф.р. длительности обслуживания требований, т(!) — число требований в системе в момент времени 1, р(!) — число требований, обслуженных системой в интервале [О, !), ~р(г,!) =Мг"п~, ф(г,1) =Мг"'". 2. Основные результаты. Содержание параграфа составляет теорема 1, в которой выводятся соотношения для определения <р(г, !) н ф(г, !).
Теорема 1. Функции ~р(г, !) и ф(г, 1) определяются по формулам ~р г, !) = ехр [а [ [Ф (а (г, и)) — 1] ди, о 1 ф(г, 1) =ехр[а] [Ф(р(г, и))) — 1]ди, 0 где а(г, и) =В(и)+г[1 — В(и)], Р(г, и) =1 — В(и) +гВ(и), Д о к а з а т е л ь с т в о. Исходный поток можно представить в виде суперпознцни независимых потоков Ьь Еь ..., Ь.г ..., таких, что требования потока 1.; поступают группами объема ! 211 в моменты, образующие пуассоновский поток с интенсивностью арь Как уже отмечалось в $1, процессы т(() и р(() не зависят от того, какой из свободных приборов выбирается для поступающего требования. Мы будем считать, что обслуживающие приборы разбиты на бесконечное число групп приборов Г!, Гм ..., Г„ ....
Каждая группа состоит из бесконечного числа приборов, и приборы из Г, обслуживают требования только потока Ль Пусть т»(1) и р»(() — соответственно число занятых приборов в группе Г» в момент 1 и число требований, обслуженных приборами группы Г» в интервале [О, 1). Тогда, очевидно, ( 1 ) Е т» ( 1 ) Р ( 1 ) Х р» ( т ) »=! »=! причем последовательности т|(1), т»Я, ..., т»(1), ... и р!(1), 1»О(1), ..., р»(1), ... состоят каждая из независимых в совокупности сл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
