2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Очевидно, функция ср,(р) также непрерывна и монотонна и р,(0) =О, р,(!) =1. Таким образом, на отрезке [О, !] функции !р!(р) и !ро(р) принимают одинаковые значения в точке р=1. Наличие или отсутствие еше одной общей точки в интервале (О, 1) (если такая точка есть, то из указанных выше свойств функций !р!(Р) и !ро(р) следует, что она единственная) определяется поведением функции !ро(р) вблизи точки р=1. Если !ро'(1) <! (т.
е. а/(пЬ)>1), то болыпе об>цих точек пет, а если >(о'(1))! (т. е, а/(и/>) <!), то такая точка существует. Далее, рассматривая уравнение (11) для /=-1, ..., и — 1 и уравнение ~ р; = 1, получаем систему уравнений отпоситель/.=о по ро, ..., р„о и с, решение которой имеет вид (4). Утверждение б) теорсмы вытекает из следующих рассужде- ний. В случае дисциплины Г!ГО, если трсбовапис поступает в момент, когда в систсме не более и — 1 >ребования (т. е. есть лота бы один свободный прибор), то его врсмя ожидапия равно нулю (вероятность того, что в стационарном режиме в системе нс более и†! требования, как показано выше, равпа !.-ср/(!— — р)), если же оно поступает, когда в систсме и+/о — 1 трсбова- иие (/>.=-1), то время ожидания равно времени, за ко>орое /г из этих и,' /с — 1 трсбоваиий покинут систему (ф.р. этого интср- вала врсмсии имеет вид (1 — е "о")"", т.
е. является /г-кратной свсрткон показательной ф.р. с параметром и/>). Уч>пывая, что вероятность пахождсиия в сис>сме в стациопариоч рсжимс п+й — 1 требований при /гъ! равна ср'ч а также то, чго сои >ы> (1 — е-""')'" = ( " е-"'с/х, (/> — 1)1 о имеем ло> (р'и> (/) — 1 — + Ссра ! е-"с/х = 1 — р ~ / .) (/г — 111 о сы ср, 1' ът (~р)" >- ср ~ ~>~ — е-'с/х = 32 /и о >=о сы = 1 — + со ( е — '1' — р>>/х ==! — + р 1 — р о + С вЂ” сы>> — р>> ! СР— с>1> — р>> 1 — р 1 — р В случае дисциплины !.РГО, если требование поступает в систему, когда в пей есть свободный прибор, то время ожидания равно пу.>ю. В противном случае, как легко видеть, время ожидания имеет распределение, совпадающее с распределением случайной величины П, ввсдениоп и изученной в и.
2 настоящего параграфа. Литература: (3, 9, 11, 14). ПРИЛОЖЕНИЕ $ !. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕЛИЧИН И ИХ СВОЙСТВА Класс эквивалентных случайных величин задается вероятностным распределением. Для используемых при исследовании СМО неотрицательных сл.в. ниже приводятся: функция распределения на положительной полуоси (для дискретных сл, в.— распределение вероятностей), представление рассматриваемой сл. в. через другие случайные величины, преобразование Лапласа — Стилтьеса или производящая функция, числовые характеристики, важнейшие свойства.
1. Показательное (экспоненциальное) распределение сл.в. а: а — М-М(а). Функция распределения: Р(а<х) =1 — ехр( — ах), х>0, а>0. Преобразование Лапласа — Стилтьеса: Ме-'"=а/(а+а). Моменты: Ма=а-', 1)а=а-', Ма'=/г!а-". Свойства: Р(а>1+а[а>з) =Р(а>Г) =ехр( — а1), для любых з>0, 1>0. Если аг, ..., а„независимй, а — М(а), то а!+ ...
+ а„Е„(а) . 2. Эрланговское распределение порядка й сл. в. а: а Ег Еь(а). Сл. в. а представима в виде а =- ~ аг, где (а;; г=1, гг) незавиг=- ! симы и для каждого и а,.-М(а). Функция распределения: ол г — ! иь ! к~ (ах)! Р (и ( х) = [ е-"ди = 1 — е-" ~' — .) (ь !)! — и о г=о а Преобразование Лапласа — Стилтьеса: Ме — ' = ( ), Моа+з менты: Ма=гга-г, 1)а=да-'.
Свойства: если Ег(а) и Е„(а) независимы, то Еь(а)+Е„(а) Е,е,(а). 3. Равномерное распределение на отрезке [О, Т[ сл.в. а: а (У () [О Т[. Функция распределения: х хец [О Т[ Р(„(х)= т' 1, х)Т. — !г Преобразование Лапласа — Стилтьеса: Ме — '" = . МоьТ менты: Ма=Т[2, 1)а=Т912. 4. Гиперэкспоненциальное распределение сл.в, а: а НМ» НМ»(а, р), где а=(аь ..., а»), р=(р!, ..., р»). Функция распределения: Р (а ( х) = ~~' р, (1 — - е ' ' ), г=! а,~а»з г~], 0(р,.(1, у р,=-1. г=- ! Преобразование Лапласа — Стилтьеса; Ме — '" =- т ' ', Молы»+а! г=! менты: Ма= ~~ рга —,.
', Па=2 ~ р,а,—.г — (~ р.а. !) г=! г= — ! 5. Пуассоновское распределение сл.в, а: а-Л-Л(а). Распределение вероятностей: Р (а = е) = — е-", е == О, 1, 2, ..., а ) О. Гн Производящая функция: Ме =е — '!'-'!. Моменты: Ма= =а, Оа=а. Свойства; если Л(а,) и Л(аг) независимы, то Л(а!)+ +Л(аг) Л(а!+аг). 6. Геометрическое (отрицательное биномиальное) распределение с параметрами (1, р) сл.в. а; а В!(1, р).
Распределение вероятностей: Р(а=»г) =рг1» ', »г=1,2, ..., 0(р(1, р+4=1. Производящая функция: 1 Дг Моменты: Ма =. 1+ —, Ра =- — + ( — ) д Г !112 Р Свойства: для любых целых неотрицательных л и т Р(а>гг+т!а>т) = Р(а>/г) =д», 7. Биномиальное распределение с параметрами (йг, р) сл.в, а: а Вг(Ж, р). Распределение вероятностей: Р(а=юг) =Се»Р" де ", й=О, Лг, О~Р(1, Р+4=1. 229 Пронзводягцая функция: М2 =- (да+ Д) Моменты: Ма=-йгр, !за=А'рд. Свойства: если В1()Уь р) и В1(йга, р) независимы, то В (Уь р) +В (Л!м р) — В:(А1-'-Аа, р). Сл.
в. а может быль представлена в виде о..=- ~~ а.„ггтс (и„, и- =и! =-1, Х) независимы, п„В1(1, р). а 2, интеГРАл стилтьесА Опредслснис математического ожидания случайной вслн ~цны д(а) через А(х) =Р(и<х): Мгу(сг) -- ~ у((сг(ы)) Р(аы)-- [ п(и) г)А (и) о вводится посредством интеграла Лебега --Стилтьеса. При исследовании СМО в большинстве случаев, имеющих практическое значение, интеграл Лебсга — -Стилтьеса совпадает с интегралом Стилтьеса, который допускает удобную вероятностную интерпретацию.
!.!иже приводится констру: пия построения интеграла Стилтьсса. !.!. Построение интеграла Стилтьеса. Рассмотрим заданные на отрезке [а, Ь] функции д(х) и А(х). Предположим, что неубываюцьвя функция А(х) имеет ограниченную вариацшо и непрерывна слева Разбиение отрезка [а, Ь] определяется точками (хе, Й=-О, п): а=ха<х,<...<х„=Ь. Обозначим Ла = [х,, х,), [Ла [ =-ха — ха-н Л= гпах [Ла].
о~~~, Рассмотрим сумму л У„=- ~ д(~„) [А(.ка) — А(х,,)], а ч где гас:— Л вЂ” произвольно выбранная точка из Лы Обозначим я=(ке, Ь=-1, п). Будем изменяп разбиние отрезка [а, Ь] (ха, А=О,п) так, чтобы для Л"'=- шах (х,л' — ха 1"') 11гпЛ'"= 1~1~~ П =-О. Тогда естественно, и и — оо. Заметим, что У„=У,(гп, -). Если су1цсствуст предел 1пп У„(т, "-) =У, 230 который не зависит от выбора последовательности разбиений и выбора а, то этот предел обозначают и Ь 1!щ~ й Дь) [А(хь) — А(хь,)) =- ~ д(х)6!А(х) Ь=! а — О и называют интегралом Стилтьеса функции д(х) по функции А(х) на отрезке [а, Ь).
Всегда считаем Ь Ь [ д(х)6(А(х) = [ д(х)6(А(х) а — О По определению Ои ь [ д(х)6(А(х) =- !!гп ~д(х)6(А(х), Ь ~, а 1.2. Свойства интеграла Стилтъеса. а). Интеграл Стнлтьеса существует, если функция д(х) ограни- ченная и имеет не более чем счетное число точек разрыва, а А(х) имеет ограниченную вариацию. Ь б). ) 6(А(х) = А(Ь) — А(а — О). Если А (х) — функция распределения случайной величины а, то ь ~6(А(х) =- Р(аа, ОЬ< Ь), а При рассмотрении интеграла Стилтьеса удобно иметь в виду, что в нем дифференциал 6!А(х) строился как предельное зна- чение приращения А(х+Л) — А(х) =Р(х(а<х+Л) при Л -0 или ба(х) =Р(х(а(х+6(х). Ь и и 6 в). ~1 д(х)6(А(х) = ~~ь ~дь(х)6(А(х). а Ь=! Ь=~ а г). Если функция А(х) почти всюду имеет производную а(х) = =А'(х) и а(х) — интегрируемая функция, то Ь ь ~ д(х)6(А(х) = [ д(х)а(х) 6(х.
а а ,д). Формула интегрирования по частям ~ д(х) 6(А(х) = д(х) А(х) ~' — ~ А(х)6(д(х), а а если указанные интегралы существуют. 23! 2. Непосредственное интегрирование по Риману на [О, оо). В теории процессов восстановления и регенерирующих процессов используется понятие непосредственной ннтегрнруемости функции по Риману на [О, о). Пусть 1(х) — измеримая по Борелю функция, определенная на [О, оо). Положим Ли= [()о — 1)й, йй), й) 1, й>0, тогда [О, оо) св ~ Ли. Обозначим и~! ти=!п((1(х); хе=ба), Ма--=зпр([(х); хеЛи). Предположим, что ряды тл = — эти, и 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
