2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(1) р, (х, х, э, !) = [1 — В, (х)] ~ [х ((с, п!)]" ! Х п~=! Хр!(х, э, гп)ехр ( — [э+о — (а, х((с, !п))]х), и р!(х, я, п!) удовлетворяют соотношениям Г г Я й, (г, я, п!) 1! (х, я, п!) = П й„' [х(К п!)[' —" х Г=! и=! ь х [1 — (з+ а — (а, х(к, !п))) ~' [х(к, !п)]" — 'р,(з, «). (4) х=! 6). Функции рр(я, !) определяются из системы линейных уравнений „'[: П [г;(з. )]' рр(з )=( + — Яа,р„(я,та)~ '. (5) «!р=! Теорем а 2. Функции п(п', я, ], «) определяются из системы линейных уравнений ь ! ! ~~ ~п(пр, я, !. «) П [г, (я, п!)]!р =ф(х,(я, п!)) П [г, (я, та)]рр р=! (6) Т е о р е м а 3. В случае дисциплины относительного приоритета функция р(х, я) определяется по формуле (1), где р!(х, я, п!) удовлетворяют соотношениям (3), а р;(х, О, я, ]) находятся из системы линейных уравнений ь 1 г Я П [г,р (х!, я, и!)]'р-' П [г, (д!, и!)]'! ' х «=! р=! !=!+! т х,'~' Н!(х!(х!, з, п!) х(, я, и!) р, (х, О, я, «) = р=!+! =1 — [я+ «;(х!, я, рп)]~ р,(я, «) х р=! ! Г х П [г!р(х' я' )]" ' П [г, (й„т!)]'!-', !=!+! где ! т! (х!, я, п!) = зрт', (аи — аиг!.и (х', я, п!)) + я (аи — аиги (йи и!и)).
и=! и=!+! Дока з а тель ство теоремы 1. Рассматривая изменения состояний процесса (1.(1), р(1), ](1), г(1)) в интервале (1, р+Л) !т устремляя Ь-иО, получаем дР!(п, х, !. !1 дР!(п, х, г, !) д! дх 199 х Р, (п, х, 1, )) + ~~ ~ (1 — Ь;,) а Р! (п, х, 1, ! — 1о) + + ~~!! Ь! ла,"Р!(п — 1„, х, 1, 1, !А,! ') е!,', (8 о=! ! г l ЭВ Р; (х, О, 1, 1) = Я г;. ' ~ Р! (х, х, 1, !) т!! (х) о(х— о ! о — Я ~ Р,(1о х, 1, !)т)о(х)о(х+ ~Г Ь;,,аоз„Ро(1,!', !й4'), (9) о=! о о=! г дРо(! 1) = — аР, (1, )) + Я (1 — Ь>,) а, х о=! ю х Р, (1, ! — 1 ) + ~~ ~ Р, (1,, х, 1, )) !)! (х) о(х. (10) !=! о В силу сделанных предположений о начальном состоянии системы Р! (и, х, О, !) = О, Р (О, !) = П ЬО,!.
(11) о=! В соотношениях (8), (9) Р! (г, х, 1, !) = ~~. х"Р! (и, х, 1, )). п=о !, ( 1 — Ь,,о, йчьЕ, ~ 1 — Ь„м!, /г =1. Переходя к производящим функциям в (8) и взяв преобразование Лапласа по ! в получаемом при этом соотношении и в (9), (10), получаем =- — (з + о + т!! (х)) р; (х, х, з, !) + к Г + ~!~! (1 — Ь!,!) а р; (х, х, з, ! — 1 ) + + ~~! ~ Ь,, а,а,р, (г, х, з, 1, ! а,!'), (12) 200 ~ р,(г, О, з, !) = ~ г;.-' ~ рс(х, х, з, !) т),(х) с!х+ о + П Ь!о,! — (з+ и) Ро (з 1) + Я (1 — Ь!ол) подо(з ) 1о) + (13) + ~!' Ь;,,! а,г,ро (з, [, Ч'), Решение системы (12) записывается в виде р, (х, х, з, [) = [1 — Вс(х)[ '~' р, (х, з, сп) х П1=! х [х()с, сп)["-секр( — [з+ а — (а, г(1с, сп))[х), (14) где рс(х, з, сп) — произвольные функции.
Подставляя (14) в (13), имеем г [г()с, пт)[~ сб(х, з, сп) = 7(г, з, !), (15) где Ь (х, з, сп) = ~[, с!! (х, з, сп) р! (г, з, сп), с=! ) (х, з, !) = П ббн! — (з + и) Р, (з, [) + ~ (1 — Ь!о,!) а Х о=! х р,(з, ! — 1,) + ~' б;, ! а„г,р,(з, 1, сФ,!').
Решая (15) относительно б(х, з, сп), получаем б (х, з, сп) = [1 — (з+ а — (а, х(1с, сп))) ~~' [х(1с, сп)[' — ' р, (з, т)~ х Г х [П 7!о (х (1с, сп))о о=! Из соотношения (14) при х=О вытекает р,(г, О, з, )) = ~[ рс(г, з, п!) [г(1с, сп)[" — !. (17) 201 Решая (17) относительно рс(г, я, си), получаем а р! (г, я, сп) = П 7»,.' Я [г(1с, »и)]»-и р! (г, О, я, о). «=! В силу леммы 1 6(г, я, »и) обращается в нуль при г=г,(я, »и). Следовательно, из (!6) вытекает (5). Осталось доказать, что выполняется соотношение (1).
Из определения функций р(г, я), ро(я, ]) и рс(г, х, я, ]) следует, что а ао р(г,я) =~ р,(я, ])+~ ~ ]ер,(г, х, я,.1)Йх, =! 1=! о 1=! но, как показано выше а рс(г х я 1) =[1 — Вс(х)] ~" Рс(г,я, п!) х !«=! х [г(1с, »и)]" — »ехр( — [я+ о — (а, г(1с, си))]х). Следовательно, а ев о ~~ чг..., с~ Г...о кч 1 — Вс(о+о — (а, г(»с.а»В о+ о — (а, а(»с, са)) 1=! о со=! Х ~! (г, я, п!) ~~)~~ [г((с, »п)]о-1, но а г ~)~[г((с, »и)]"-1 = П ~» [гс(а„т!)]"! '! = 1=! »=! 1! — — 1 с о 1 — (ос(а! о»!)1 ! П~ 1 — о! =П В 1 — о! (А! и!) 1 — о! (ас, «Ч) ! 1 с=! Доказательство теоремы 2.
Введем следующие функции: Р; (и, х, 1, ио, ], ч) = (д/дх) Р (1. (1) = и, г(1) (х, 1(1) =], ! (1) = !', й. (т) ~0, ген [О, 1) ] 1. (0) = по, 1(0) = ч), В СО рс(г, х, я, и' 1 о)= ~ е "~' г"Рс(п, х, 1, и' ], о)»11. о и=о Функции р;(г, х, я, по, 1, о) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений дш(г, х 5, »»О 1 9)! ' — = — [я + »с+ т»с (х)] р, (г, х, я, по, ], о) + дх 202 (18) !=! 0 + ~~) ~ (1 — б;, !) агр! (х, х, я, и', 1 — 1м т) + ь=! + ~~~ б/ ! а,г,р! (х, х, я, и~, 1! !й!]!, т), !=! Г т В /!; (х, х~ я.
и, 1, у) = ~! х! ] р! (г, х, я, и, 1, у) т!! (х) ах + Г + П б/... р (х) — (и', я, ], т). (19) !=! Решение системы (18), (19) записывается в виде р, (х, х, я, пя, ], т) = [1 — В! (х)] у у, (г, я, т, и', ш) х п~=! Х [х(й, ш)]' — /ехр( — [я+ а — (а, х()я, т))] х), где у;(х, я, т, и', ш) удовлетворяют соотношениям » Я /1! (х, я, ш) т! (г, я, т, и', ш) = П а„' [х (К ш)]' —" х ! ! »-! ь Г Х ~ [х(й.
ш)]!-! [Д б/ь.. Р (х) — (п», Я, ], )). /=! !=! Отсюда, используя лемму 1, получаем (б). Доказательство теоремы 3. Соотношения (!) и (3) доказаны в теореме 1 для любой дисциплины без прерывания, в том числе для относительного приоритета. Кроме того, в силу этой теоремы р/(х, я, !и) удовлетворяют соотношениям » » /1! (х, я, т) [1! (х, я, п!) =- П А„' [х ((я, т)]' " х !=! »=! х [! — (я+ о — (а, х(к, т))) ~Г [г(в, т)]" — ' р,(я, т).
(20) »=1 Используя лемму 1 нз (20) получаем г /(! (х/ (х/, я, ш) х/, я, т) р! (х/(х/, я, !п) х/, я, т) = ! /+! г / = П //» П [г/!(г/ я щ)] ~! Х »-! !=! 1 х П [хр(й, тр)]»(! — [я+у/(х/, я, !п)] х Р=/+! 203 ь х ~[ ро(з, т) П [з! (г~, з, гп)1»' П [г,(л», т,))» 1. (2 »=г »»=1 1=/-~-1 В случае дисциплины относительного приоритета р,(х, О, з, ! не зависит от г; ь Следовательно, из (3) имеем ь р;(г; (г!, з, гп) г», з, гп) = П А„' ~ р,, (г, О, з, т) Х я=~ ! » х П [г~,(г',з,щ)Г' ' П [.-»(й» т,)[" ' !>!+1. р=1 1=Н-! Подставляя полученное выражение для р;(г,(г», з, гп)г»', з, гп) в (21), получаем (7).
Ю 5. Задачи. Задача 1. Доказать лемму 1. 3 а д а ч а 2. Рассмотрим следующее обобщение изученной. системы. После окончания обслуживания требования 1-го класса с вероятностью р;*(л) образуется л,+...+л, требований и л; из них направляются в 1-й приоритетный класс. Будем пред» полагать, что р;"(0) >О. Положим Р; (х) = Я г"р,'(и). п=О Доказать, что при каждом наборе ть .. т„1<т,<йь 1=1,г, система функциональных уравнений » г; = Р;(г) р;[з+ Я а,(1 — г,(йп т))), ! = !, 1, С=1 имеет единственное решение г;(г', з, т), аналитическое в области [гьы[ <1, .„, [г,[<1, Вез>0.
Задача 3. (продолжение). Пусть гь(г',з,щ) есть значение г~(л„т») при г;=г~';(г',з,щ), где гп(г',з,п1) определено в задаче 2, и 4(г, з, т) =1 — г;-' Р,'"(г)р»(з+о — (а, г(1с, гп))). Доказать, что теоремы 1 — 3 справедливы для описанной в задаче 2 системы обслуживания с соответствующей заменой функций гп(гь з, гп), йп(гоз, гп) н А(г, з, гп). 3 ада ч а 4. Доказать, что при р„<1 существует стационарное распределение случайного вектора 1.(!).
Найти его в случае дисциплины относительного приоритета. Литература: [!9, 20). Глава 5. Многоканальные системы обслуживания В предыдущих главах были изучены одноканальные системы обслуживания при различных предположениях о входящем потоке и распределении длительности обслуживания. При аиализе реальных систем часто возникает задача исследования характеристик систем обслуживания с многими приборами. Примерами таких систем могут служить многомашинные комплексы ЭВМ, системы связи, транспорта и др. В главе 1 мы видели, что если входящие потоки пуассоновские, а длительности обслуживания распределены по показательному закону, исследование многоканальных систем можно проводить теми же методами, что и одноканальных. Если же хотя бы одно из этих предположений ие выполняется, методы, развитые в главах 1 — 4 для одноканальных систем, оказываются вообще говоря, неэффективными при анализе миогокаиальиых систем.
В первых трех параграфах данной главы исследуются системы обслуживания с бесконечным числом обслуживающих приборов. Конечно, иа практике мы всегда имеем конечное (может быть, и очень большое) число приборов. Тем ие менее исследование систем с бесконечным числом приборов ие лишено смысла: характеристики слабозагружеииых систем с большим числом приборов могут быть достаточно точно аппроксимироваиы характеристиками бескоиечнолинейных систем, а соотиошеиия для определения последних имеют значительно более простой и пригодный для вычислений вид.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
