2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 37
Текст из файла (страница 37)
По индукции отсюда получаем с Ф,(з) =',$ С!!со(з))со(з+ Ь) . !со(з+ (! — 1)Ь! Е с=о 218 4. Задачи. 3 а д а ч а 1. Найти математическое ожидание и дисперсию интервала времени между двумя последовательными моментами потерь требований. (.(1< и — (, Р„(1+Л, х!+Л, ..., х„+Л) =Р„(1, х!, ..., х„) Х о х ~( — ~ х((х;) Л~+ о(Л), !'=! о ~ Р,(1+ Л, и) г(и = пР,(1) Л+ о(Л), о Ь ~ Р! (1 + Л, х, + Л, ..., хо, + Л, и) йи = о (2) = Р,, (1, х!,' ..., х; !) аЬ+ о (Л) . Из (1) — (4) получаем = — аРо (1) + ~ Р, (1, х) х((х) с(х, о (4) (5) дРо(г, х!, ..., хД д! дРо(1, х,, ..., хх) ~~ дРх(! х!., хх) дх! !'=! = — ~~~~ !) (х;) Р„(1, к„..., х„), /=! Р ! (1, О) = про (1) Р,(1, х,, ...,х, !, О) =аР; !(1, х!, ...,х, !). (7) (8) Положим р;(х!, ..., х,) =(пп Р,(1, х!, ..., х;) . ! Тогда из (5) — (8) получаем ар, =- ~ р, (х) Ч (х) !(х, о (9) ! ' = — ~ а + ~~~т((х()~ р,(х,„..., х,) + !=1 1=1 220 = — ~а+ ~~~!)(х;)~ Ро(1, х„ /=1 дР;(1, х„....
х,) дх; !=! , х!) + ~ Р!+! (1, х,, ..., ки у) !) (и) !(у, о (8) + ~ р, ь!(х,,..., х!, у) !)(у)!(у, о (10) = — ~~~~ т1 (х;) Рл (х,, ..., х,), !=! !'=! р! (О) = про р,(х!, ..., х, !, О) =ар! !(х„..., х, !). (11) (12) Кроме того, л л р, + ~~ ~ ... ~ р, (х„..., х!) с(х,... !(х, = 1. (13) !=! О !! Реп!ение системы (9) — (12) имеет вид Р; (х„..., х!) — П (1 — Д (х!)) —. Ро. /=! Из условия нормировки (13) находим рм л Рл=~ )' сг и Утверждение теоремы вытекает теперь из равенств р, = ~ ... ) р,. (х,, ..., х,.) ах!...
ах! о о 3. Заключение. Утверждение теоремы 1 показывает, что стационарное распределение процесса 1.(1) — числа занятых приборов в момент 1 — не зависит от вида ф. р. длительности обслуживания. Эта теорема нами доказана в предположении, что существует плотность распределения времени обслуживания. Можно показать, что это предположение несущественно. Кроме того, результат теоремы остается справедливым, если длительности обслуживания требований являются определенным образом зависимыми сл.
в. $6. СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ 6!!М!и!со 221 1. Описание системы. Основные обозначения. В систему обслуживания, состоящую из и приборов, поступает рекуррентный поток требований, определяемый ф.р. А(1). Длительности обслуживания — независимые в совокупности, показательно распределенные с параметром Ь случайные величины. Обозначим через рь„вероят<н>сть того, что п-е трсоованн<.
(нумерация требований производится в порядке их поступления в -систему) в момент своего поступления застанет в системс !г требовании; !ь>,,<'>(!) — функння распределения времени ожидания начз.>а обслуживания для <рсбовзпня с номером п (нрн днсниплнне РРВО, сели <- ! н при диснннлине 1.!ГΠ— если <=2). Положим а — ' -= ~ гдЛ(!). ь 2. Вспомогательные результат <.
Пусть в некогорый мо«снт времени Т в системс нз однтся и†! требование и и >ступает и-с. В этот момент врс><они всс приборы становятся ш пяты > и и в «плу отсутствия ног,>слей<твин у пока.>атс.>нного распчсдслсния, длитсльпошн дообслужнвзнпя требовании, нз л>дящи:- ся на приборах в н>мент Т, ичсюг показа>ель*ос распределение с парзмстроч Ь. Рз««мотрим интервал времени, >шчинаю<нийся с момента Т, до перв< го моь:сита, когда число требований в си< >смс станет меньше и.
О<>о.>начим это время через П. В силу того, что в теченис времени П все приборы заняты, и в силу свойств ш>казательного распределения, а именно свойства отсутттьия послсдействия и следуюшсго свойства сели ь>, .з, ..., ь, — независимы и показательно распределены с параметрами Ьь Ьв ..., Ь„ соответственно, сл. в. - = пнп ~, имеет показательное распре>к~~л деление с параметром Ь,+Ь. + ...+Ь<ь распределение промежутка П совпадет с распределением периода занятости системы 6! ~М(1(ьо с ф. р. интервалов между поступлениями А (!) и параметром показательного распределения времени обслуживания пЬ.
В приводимой ниже лемме 1 найдено преобразование Лапласа — Стилтьеса ф. р. длительност* периода занятости системы 61) М)! ) ьо Л ем ма 1. Рассмотрим систему обслуживания 6Т!М!1!оь. Пусть ЛТ() — функция распределения интервалов между поступлениях>и требований, В!() =-1 — е-", <р)0, функция распределен«я длительности обслуживания, и ПТ!) — функция распределения длительности периода занятости.
Тогда если п(з) -= ~е-><дП(!), а(а) -=- )егмдЛ(!), то ч (с) ° . ~Г !! — у(з! у(з) =а(з+ р — (у(ь)) причем зги условия определл>от единственную пару функций 222 7(з) и п(в), аналитаческик в полуплоскости Вез>0, в которой ]у(в) ~ <1 и ~п(з) ]<!. Доказательство. Обозначим через П» длину промежутка времени, начинающегося с момента поступления некоторого требования, заставшего в системе й требований, до следующего непосредственно момента освобождения системы. Очевидно, П» есть период занятости системы. Положим П» (1) = Р ( П» < 1) .
Докажем соотношение 1 — П» (1) = (1 - А (1) ] (е "~+ фе -"+ ... + + —,е-ч ~'+ ~" ~]е-е (1 П»+,(! — а))+ 1Ф1», ~, г ! о + — е ""(1 — П»(! — и)) -~- ... л- " е — эи( ! — и (фи) 1! И вЂ” П1(! — и)Цс(А(и), А~0 Действительно, в левой части равенства (1) стоит врроятность того, что длительность промежутка П» не меньше й Для выполнения этого события, необходимо и достаточно, чтобы 1) либо за время ! не было поступлений и обслужилось не более й требований (вероятность этого события равна 1! А(1)] ]е — э»+»р1е — д' 1- ...
и т 1 е — т» ~ ); И 2) либо первое поступление произошло через время, лежащее в интервале (и, и+да), за которое прибор обслужил ! требований, 1=О,К и начинающийся после ! — и промежуток П».»,, был не меньше ! — и вероятность этого события равна ']е — т" (1 — П»~ь,(1 — и0+ <рис — ч" (1 — П,(! — и)) -~- о + ... + ~ е ч'(! — П,(1 — и)) с(А(и)~ Положим П(г, 1) =- ~] г» [1 — П»(1)], »г а и (г, з) = ~ е-' У,П (г, 1), о 223 тогда из (1) получаем п(г,з) [г — а(з+ !р — <рг)] = ' Х ( 1 — 7) (5+!ь — !а7) Х [1 — а(з+!р — рг)] — а(в+!р — !рг)п(0, з). (2) Рассмотрим уравнение (относительно г) г=а(з+<р — !рг). Используя теорему Руше, получаем, что оно имеет единственное решение у(з) в области Вез)0, причем ]у(з)](1 в указанной области.
Аналитичность у(з) следует из теоремы о неявной функции. Полагая в (2) г=у(з), находим п(0, з) = !+!р — ч!у(О Но из определения функции п(0, з) следует, что л(з) =1 — п(0, в). Отсюда „(,) р11 — т 001 .+4!1 т(.Н !пп рь„=р,, 1ш! )е'„!'1(1) = Ф'!о(1), не зависящие от начального состояния системы, при этом р, > О, ~" р, = 1, ь=о рь«! =ср". Й) О, (3) « †! рь = ~], ( — 1)' ьС'М/а lг = О,, п — 1, (4) где С! У! =- сс,.р 1) ! ~! ! l=!+! л(1 — а!) — ! л(1 — р) — !' С! + ~ «л(1 — а!) — ! Й ! с;(1 — а!) «(1 — «) — ! 1=! 224 3.
Основные результаты. В приводимой ниже теореме 1 найдено стационарное распределение времени ожидания и длины очереди, Т е о р е м а !. Если а](п(з) < 1, то: а) существуют пределы с,. = "' ... ', а! =- а(1Ь), 1 — а, 1 — а; а р — единственный корень уравнения р = а (пЬ вЂ” пЬр), лежащий в интервале (О, 1). б). дп = Р (т„+! =! [о„=1), тогда да=О пРи 1>1+1, д,; = С!+! ) [1 — е-ы'1'+еле-ыздА(1), 1<1+ 1 <и, о (5) (6) оы,[А(1) и -1 -,.
+ 1 [пы)о+' ! 3 (+! — Д! о е Уи=С!(е!за/ ~'(""'" Х (! — л) ! о о Х (е ьо е-ы)е — ! пЬду)НА(1), 1<п<Е+1, (7) (8) Р1 +! = ~~ Рееуи ° е=о (9) 225 [оее!!! (1) 1 сΠ— ь! ! — о!е 1 — о ое!" о!!о1 (я) = ~ еси й[Р!о1 (1) = о = (1 — ср(1 — р)-') +ср(1 — р) — ' п(я), и (я) = пья '[! — т(я)1 1-~-поя '[1 — т(я)1 а у(я) — единственное решение функционального уравнения у(я) =а(я+пЬ вЂ” пЬу(я)), аналитическое в полуплоскости екея>0, где [у(я) [<!. Доказательство.
а). Пусть 1ь 1о, ..., 1„, ... — последо- вательные моменты поступления требований; 1,=0, ч(1) — чис- ло требований в системе в момент 1; т„к о(1„— 0), ро„=Р(ч =й). Тогда последовательность (т., п)1) образует цепь Маркова. Из состояния !' за один шаг система может перейти с положи- тельной вероятностью лишь в одно из состояний О, 1, ..., 1+1. Положим Т)) сть (!0) Р! ='1 "т' Р!' П Ф Так как рассматриваемая цепь однородна, неразложима п непсриодична (это вытекает из (5) — (8)), то пределы (10) существуют.
Следовательно, из (9) получаем Р! = Я Р Ч !. с =пз*м о. !'- ! ! Рассмотрим сначала (11) при 1»>п. В силу (7) соотношения (11) для таких 1 записываются в виде е (сыр+!-! р; = — ~~о р, ! е-""!!(А(!). !'>п. (;+! !)! =!.— ! о Будем искать р, для !>п — 1 в виде р!=ср!. Из (12) имеем я'Х е (пм)о+! ср!' .. ~ ср' ~ е ьЧА(!) (!! ) (12) о=! — ! о Отсюда 226 р — ~ ро+!-! ~ е-~о! аА (!) с (оы)!+' ' (о+ ! — 1) '. (=!' — 1 о В е-"о' !!А Я = а (пЬ вЂ” пЬР) .
с=.о о Рассмотрим уравнение р=а(пЬ вЂ” пЬр). Докажем, что в условиях теоремы (т. е, при а/(пЬ) (1) это уравнение имеет единственное решение в интервале (О, 1). Рассмотрим функции !р!(р) =р и !ро(р) =а(пЬ вЂ” пЬр) на отрезке [О, 1]. Так как а(з) — преобразование Лапласа — Стилтьеса неотрицательной сл.в., то !ро(р) — непрерывная, монотонно возрастающая функция, для которой <ро(0) =а(пЬ) >О, !ро(1) =а(0) =1 и !р" (р) >О при ре- =[О, 1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
