2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 33
Текст из файла (страница 33)
)=1 лм! Следовательно и й 6я (х, я) = а,—,' (х) (р, г) (1,"' с,а, П (ря (г) + а)) (1 — (я + а,) с;-'р„(я)] +,' !=! у!а! и и +П(ря(г)+ )~: "р (я). (34) /=! я=! В силу леммы 2 бь(г, я) обращается в нуль при г=г,!">(я), ' поэтому из (34) получаем 6я(~ я) =(Р )~я ! ( ) [~ ~~ро (~)) П ()яя(~) )! (я)) (36) у=! 1=! Сравнивая два представлении для бх(г, я) ((34) и (35)), получаем систему линейных уравнений (11) и из нее получаем (12). ' Из определения функций р(г, я), ро(я) и рм(г, х, я) следует, что г И р(г, я) = р, (я) + Я ~ ра (г, х, я) Йх. (36) 1=! )=! Положим у!(Я>(г, я) =(р, г)р!!">(г, я).
Тогда из (31) вытекает (8). Подставляя (8) в (36), получаем (7). Осталось показать, что р!! ' (г, я) = а~ ' (г) П (р, (г) + а;) 11 "Ра (*' д,д ря(г)+ а! 1=1 !=! Из (8) вытекает, что Х (й! ) рт(г, о, !) р!(г)+а с!(р, г) г=! Заметим, что система уравнений (37) (относительно р!<Я!(г, я)) имеет ту же матрицу коэффициентов при неизвестных„ что и система (32), следовательно, Х໠— '(х) (р,(г)+а!]-!с!а!(р, г). 192 Отсюда (1!"'(г.з) =!гг'(г) П[(р„(г)+а() з!!. ' " ' ' . ° С Ф рг(г)+ а! у=! !=! Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2. Покажем сначала, что соотношение (14) вытекает из (13).
Умножив обе части (13) на П()!'(з) + а!), получаем !=! и ~ а; П (р,'(з) + а!) п),(п', з) = а, П (р' (з) + а!) !р (г! ! (з)). (38) /=! !м! !!еч Рассмотрим многочлен по )! степени У вЂ” 1 вида ~ а! П (р + а!) и;„(п', з). (39) у=! !г ! Соотношение (38) показывает, что в точках р=)!ь*(з), 1=1, У, многочлен (39) принимает значения а, П (р» (з) + а!) !р (г!~! (з)). !!ай Из вида многочлена (39) вытекает, что его свободный член равен и и П г~ .("). 1=1 /=! Отсюда следует (14).
Докажем теперь (13). Для этого рассмотрим процесс изменения длины очереди на периоде занятости. Введем следующие функции: р!!т!(и, х,(, по) = д р(1.(() =и, г(()( х, !(1) =1, /(Г) =1, дх 1. (т) ~0, ген [О, 1) )1(0) =т, 1,(0) =по), р(~! (г х з иО) ( е ы!)~~ г~! )э(. (п х Г ио) Ш Ц о а=а Аналогично тому, как это делалось в доказательстве теоремы 1, выводится система дифференциальных уравнений для определения р<х!(г, х, з, по): др)т>(г, х, а, по) = — (з+ а;+ !)!(х)]р(т!(г, х, з, и') + 193 + с> (р, г) ~~>~~а>р~ > (г, х, з, пю), (40) Г Е р>т> (г 0 т по) = >/ >=! г 46 =~ г —.> ~р>т>(г х з пю) т>,.(х)а>х+ 6>,ю!р(г) — п,ю(по з) (41) о Заметим, что система дифференциальных уравнений (40), (41) имеет тот же вид, что и система (26), (30) с заменой с>>>(г, з) на б>>,>р(г) — и;„(п', з).
Используя рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 1 (а именно способу нахождения функций р„(з) ), легко показать, что Е (б>т,>р (г) — п>гю (по, з)) >!» (г) + а; /=1 обращается в нуль при г=г„!">(з). Отсюда получаем (13). ° Доказательство следствия к теореме 2. Из определения функции п(з) вытекает, что и и (з) = ~' с,л,'(по, з) при >р (г) = (р, г). Подставляя (14) в (42) и произведя элементарные преобразования, получаем (15). Соотношения (16) и (17) (при р,>(1) получаются из (15) по формулам !>о >!=о с>юю ! =о Доказательство теоремы 3.
В силу леммы 2 из (10) вытекает 1191. В теореме 1 было доказано соотношение, связывающее р>>о>(г, з) и ро(г, О, з): ао(г) р('(г, з) = ~, а, П (ро(г) + а;) ра (г, О, з). (43) >=! по! а, П(»,(г)+а,) ра(г,б.з) = Е >=! >!о! 194 Дисциплина относительного приоритета характеризуется тем, что рп(г, О, з) не зависит от г, >, отсюда и из (43) следует, что =Х (!)рка( ')П """..':"',", — ч !. а ~со „(,) „,(,,) ч-! !!а! Подставляя полученное выражение для ~ а, П (р„(г) + а,) ра (г, О, з) !=1 ! !!! в (43), получаем (18). 5. Заключение. Методы, использованные в данном парагра- фе, могут быть применены при анализе более сложных систем, чем рассмотренная. В частности, можно предполагать ненадеж- ность обслуживающего прибора, наличие «разогрева», неорди- нарность входящего потока и др.
Полученные результаты для длины очереди и периода заня- тости дают возможность изучить и другие, не менее важные характеристики рассмотренной системы обслуживания, такие как время ожидания, время пребывания в системе, число тре- бований, обслуженных за период занятости. Соотношения,. справедливые для всего класса систем без прерывания, можно использовать для решения задачи об оптимальном назначении.
приоритетов при различных критериях эффективности. 6. Задачи. 3 а д а ч а 1. Положим Р;(г)) = Мгй), Ц вЂ” число требо- ваний )ьго приоритетного класса в системе в стационарном ре- жиме. Доказать, что при р,!(1 Р!.(г;) =Ргг; (1 — г!)'~ р',р!( .)1 ( — )! ( !))р '( ) 3=! где ( !)=(1, ° ° °,1,гп 1 ° .. 1). ! †! ! — 1 3 а д а ч а 2 (продолжение), Найти функцию Р!(г;) в случае У=1 (пуассоновский входящий поток). Доказать, что в этом случае первые два момента стационарного распределения числа требований /-го класса в системе определяются по формулам М!'.! — — а) р! + — [ 2 (! — р!д (! — р! !!) 1 ' МЕ=а( + ; =а! ~ 3(1 — р! !,)(! — рд) 2(! — р! и)!(! — р)!) + раап)! + Рмрв + 5 ! + (! — р)!)(! — р, ) 2(! — р! и)'(! — р)!)! +а) р!+ 2(! — рп)(! — р) ) ! „'™ 195 3 ада ч а 3. Рассмотрим следующее обобщение изученной в данном параграфе системы обслуживания, Г!усть закончилось обслуживание требования 1-го приоритетного класса, тогда с вероятностью р,*(п) образуется и!+ ...
+и, требований и п; из них направляются в 1-й класс, 1'= 1, г, Р' (х) )Г г„р. (и) р. (О) >0 «=а а) Доказать, что при каждом А=1, У система функциональных уравнений г!=Р!~(г)р!(з — ра(х)), 1=1, 1, имеет единственное решение х;!"!(г*, з), аналитическое в области )г!+!) <1, ..., )г,) <1, Кез>0. б) Положим !1!а(г, з) =1 — г! ' Р,*(х)(1!(и — ра(г)). Пусть ра*(з) и !Р(з) определяются по формулам (6), если подставлять в них функции х!!х)(х!, з), определенные в пункте а) задачи. Доказать, что теоремы 1 — 3 остаются справедливыми и для рассматриваемой в задаче системы обслуживания, если в них подставить значения ха!"!(х', з), !1!А(г, з), рда(з), !р(з), определенные в данной задаче. 3 а д а ч а 4.
Показать, что все результаты параграфа справедливы, если с! — произвольные действительные числа, такие, что с,чьО, ~с,=1, 1 с;а,—.!ФО а=! Я с1а; ехр ( — а!1) > 0 при ! > О. $2. СИСТЕМА Е,(б,) !1оо С ОТНОСИТЕЛЬНЫМ ПРИОРИТЕТОМ !. Описание системы. Рассматриваемая в этом параграфе система обслуживания отличается от рассмотренной в $ 1 только входящим потоком и распределением требований по приоритетным классам.
Будем предполагать, что в систему поступают г независимых эрланговских потоков требований с параметрами (йь а!), 1=1, г. Требования 1-го потока образуют !-й приоритетный класс. 196 Поступление требований 1-го потока можно интерпретировать следующим образом Введем вспомогательный марковский процесс );(1), принимающий значения 1, 2, ..., йь Длительность пребывания процесса (;(1) в состоянии 1 — показательно распределения с параметром а; случайная величина, после чего он переходит в состояние 1+1 при 1(А; и 1 — при 1=йь Требования 1-го потока поступают в момент перехода процесса 1;(1) из состояния Й; в состояние 1. Предполагаем, что в начальный момент времени 1=0 система свободна и /о(0) = 1, 1= 1, г. 2.
Основные обозначения. Для параметров длительностей обслуживания сохраним обозначения предыдущего параграфа. Введем случайные процессы: 1(1) =(1.~(1),",!'(1)), где !л(1) — число требований 1-го класса в системе в момент времени 1; 1(1) .-. номер приоритетного класса, требование которого обслуживается в момент времени 1, и г(1) — время, прошедшее с начала его обслуживания (если Е(1) =О, полагаем 1(1) =0 и г(1) =0); ! (1) = (! (1), -, !. (1) ); П (и') — длительность периода занятости, начавшегося со случайного числа требований по;~р(х) =Мх"'..
Положим Р (и, 1) = Р (1. (1) = и), р (х, з) = ) е- Мхью Ш, о Р; (п, х, 1, 1) = — Р (1. (1) = п, г (1) ( х, 1(1) = 1, ) (1) = )) д дк М р, (г, х, з, 1) = ) ег н Я х"Р, (и, х, 1, 1) й, о п=о Ро(1, !) = Р (1 ° (1) =О, 1(1) =!), ро(з, !) = $ е-яро (1, !) 11. о П(по,1,1, и)г(1=Р(П(и')ен(1, 1+61), 1(1) =1Ц(0) е и), Ю и (и', з, ), и) = ) е —" П(и', 1, 1, ~) о(1, о а=~по ра =~ а/г~ ~а. =о 197 еде 1 р!(х, э, тл) = Г[ /ч„~~ [х((с, пт)]" — ~р,(х, О, э, т), (3) 198 3. Предварительные результаты. В этом пункте бу введены и изучены функции га(х', э, !п), через которые вы жаются характеристики рассматриваемой системы обслужи ния. Пусть г= ]г]е!е — некоторое комплексное число, тогд((, через г(/ч, /), /= 1, К будем обозначать /-е значение корив /!-й степени из г, т.
е. число г(/!, /) =З~~г]ехр(![<р+ 2п(/ — 1)]//!). Л ем м а 1. При каждом наборе тпь ..., т„; 1<т!<й!,!=1,т, система функциональных уравнений Г г/ = р/(э+ Я а,(1 — г,(й„т))), / = 1,1, !еч имеет единственное решение г!=га(х', з, !и), 1=1, !, г;(х', э, п!) = (гп (г', э, п!), ..., ги(г', э, гп) ), аналитическое в области ]г!+!]<1,..., ]г„]<1, Вез)0, причем в этой области ]га(х', з, га) ] <1. Если р„!<1, то х„(0, 1) =1, и в противном случае — г„;(0,1) <1, кроме тога, ]гм(0, п!) ] <1' при и!~1.
Положим д!(х, э, гп) = 1 — г!-' р!(э+ о — (а, х(К юп) ) ), (х(К п!) =г!(А!, и!), ..., г,(й„т,) ). Значение гз(/!!ч т;) при г;=г!!(х!, в, !и) будем обозначать г;;(х, э, п!). 4. Основные результаты. Содержание данного пункта составляют теоремы 1 — 3, в которых изучено поведение сл. в. $.(/), Е(/), ](/) и П(по). Теорем а 1. а) Функции р(х, в) и р;(х, х, з, ]) определяются по формулам х ь р(х э) ~ р (з ]) + ~~~Р ~~~~! ! Рч(э+ в (а, х(ь, ~))) Х э+в — (а, хб!. вп)! 1=! ю=! аул""амтмеж х' " тт~ -тн,!! - Г Х~!(*,"," )И,, „'"„,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
