2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 36
Текст из файла (страница 36)
в. Отсюда Мгл<»! = П Мг» »=! 1„1 лп! — П М л»!'! »=1 Итак, изучение исходной системы сведено к системе, в которой требования поступают группами фиксированного объема й) 1. Пусть С„(1) означает событие, заключающееся в поступлении за время 1 и групп требований. По формуле полной вероятности М»п! ~! — »»! '»(л») М[ л ю]- л! л=.О М зл»п! ~~~~ е — л»! (ОР»0 М [з!»»<и [ С (!)] л! л=О Если произошло событие С„(1), то моменты поступления групп требований независимы в совокупности н равномерно распределены в интервале [О, 1). Рассмотрим одну группу требований. Вероятность того, что 1 требований из этой группы не обслужатся (обслужатся) до момента 1, равна С!» [1 — В(1 — и)]! [В(1 — и)]' ' О ~ С'„[В(г — и)]! [1 — В(! — и)] — ]. О 212 Следовательно, производящая функция числа требований одной группы, не обслужившихся (обслужившихся) до момента г, равна — 1(В(и) + г!! — В(и)])" о(и о ! ( — ~(1 — В(и) + гВ(и))оаэи~, о Так как моменты поступления групп требований (при условии С (!)) независимы и одинаково распределены, отсюда получаем М(г'ою]С„(!)] = ~ — ~(В(и) + г(1 — В(и)))оо(и~ о М]г"ок~]С„(!)] = ~ — ! (1 — В(и) + гВ(и))ог!и].
о Следовательно, МгУою =- ехр ( — ар„(! — ~ (В(и) + г(1 — В(и)))о о(и)), о Мг"оо = ехр ( — ар,(г — ] (1 — В(и) + гВ(и))'о(и~]. о Подставляя полученные выражения в (1), получаем утверждение теоремы. И 3. Задачи. 3 а д а ч а 1. Найти совместное распределение т(!) и р (!). Задача 2. Найти конечномерные распределения процессов т(!) и р(!). 3 ад ач а 3. Найти Мт(г), Мр(!), От(!), ОИ(!), сот(т(Г~), т(Го)), сот(!г(1~), р((,)). й 3.
СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ О!]М]оо !. Описание системы. Основные обозначения. В систему обслуживания, состоящую из бесконечного числа одинаковых приборов, поступает рекуррентный поток требований, определяемый ф.р. А(Г). Длительности обслуживания распределены по показательному закону с параметром Ь. 213 Пусть т(1) — - число занятых приборов в момент времени й Введем следующие обозначения: Рн(1) =-Р(т(1) =/[т(0) =1), Р, (г, 1) =- М [г'1и [ т (О) = 1), а (з) =.
1 е —" дА (1), о р(г, а) =- [ е-иР,(г, 1)дй р»(я) =- [ еоа Р,„(1) Ш, о о В (г, 1) = Ро (1 + г, 1) =. ~ г»В» (1), »=.о р (з) = ~е — "В,(1)сИ, 'р(г, з) = ~ е — "В(г, 1)с(1. о о В(г, 1) =- 1 — А(1) + 1 В(г, ! — и) [1 + ге-и' '"[ дА(и). (3) о б). р(г, з) = я — ' + (г — 1) р(г, з + Ь), а !») ! — а (») (4) [)(г з) =з '+ гР(г а+Ь). 1 — а (5) йо(в) =в ', в).
р»(з) =а(в) [1 — а(з)[ †' р» !(я+Ь) = а(») а(»+ Ь) а(»+ Ь(Ь вЂ” 1)) 1 (б) 1 — а(») 1 — а(»+ Ь) 1 — а(»+ Ь(» — 1)) о+ Ь» Р„,(1) = ~ С,'( — 1)'-'В,(1). ~=» Д о к а з а т е л ь с т в о. Перенумеруем все обслуживающие приборы числами 1, 2,: . Если в момент времени 1=0 в систе- 214 2. Основные результаты. Свойства введенного в пункте 1 случайного процесса т(1) описываются утвсрждсниями приводимой ниже теоремы 1.
Теорем а 1. а). Функции Р,(г, 1), Р,(г, 1) и В(г, 1) удовлетворяют следующим соотношениях!! Р (г 1) [1 е — ы+ге' о')!Р (г 1) (1) Р,(г, 1) == 1 — А(1) + [ Р,(г, 1 — и) [1 — е — "' м + ге — Н' — »1) с!А (и), (2) о ме находится ! (!) 1) требований, будем считать, что они занимают приборы с номерами 1, 2, ..., ! Поступаюшие в систему после 1=0 требования будем направлять на приборы с номерамн, большими, чем !'. Введем понятие состояния прибора с номером 1 3,(!) в момент 1: 1, если в момент ! !'-й прибор занят, О, если в момент ! !-й прибор свободен.
Пусть о;(!) — число занятых приборов в момент ! прн условии, что о(0) =). Очевидно. о~(!) =ь1(т)+-.+ь!(Г)+то(!) ° (8) причем 3!(!), ..., $о(Г), оо(!) независимы в совокупности. Учитывая, что Мг~ и! = 1 ес и+ ге-и М г'~' ~ = Р; (г, !), из (8) получаем (1). Далее, пусть в момент 1=0 система свободна. Возможны два случая: 1) до момента ! ни' одно требование не поступит (с вероятностью 1 — А(!)), тогда в момент ! система будет свободна: 2) первое требование поступит в момент и(й Направим его на первый прибор, а все остальные требования будем направлять на приборы с номером, большим 1. Тогда то(!) = $1(à — и) + то (1 — и) Следовательно, Р, (г, !) = 1 — А (!) + ~ Р, (г, ! — и) М гь н — "! 6А(и), о что эквивалентно (2).
Соотношение (3) вытекает из (2) и определения В(г, !). Уравнения (4), (5) получаются из (2), (3). Разлагая левую и правую части (5) в ряды по степеням г и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем (6). Соотношение (7) вытекает из равенства Р,(г, !) =В(г — 1, !). 3. Задачи. 3 ад а ч а 1. Доказать, что 1пп Мо(!) =а/Ь, Задача 215 о ! го о 1)ш0т(!) =— ! Ь ! — а(Ь) Ь, 2.
Пусть А(!) =1 — е-", Ь=!. Показать, 'что В о (!) = И $4. СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ О!!М!и!О. ЗАДАЧА ПАЛЬМА «»=1» — 1» ь й) 1, !о= О. В силу того что потери требований происходят в моменты поступления, а также в силу отсутствия последействия у показательного распределения (которое имеют длительности обслуживания) сл, в, «ь «ь ..., «„, ... независимы и сл.в. «ь ..., «„, ... одинаково распределены. Таким образом, поток потерянных требований является рекуррентным потоком с запаздыванием. Для того, чтобы полностью определить такой поток, достаточно найти две ф.
р. ) р( <1) и О(1) — Р(«»<1), й> 2. Для нахождения функций г" (1) и 6(1) вместо исходной системы рассмотрим следующую: если в некоторый момент в системе находится и требований и поступает и+1-е, то система переходит в состояние и+1 и остается в нем все последующее время. До попадания в состояние и+! описываемая система функционирует'так же, как и исходная. Под состоянием системы будем понимать число занятых приборов 1, при О<1(п, Состояние и+1 определено выше.
Пусть в начальный момент времени 1= =О система находится в состоянии С Положим Ю д (з) = ] е-и и»л (Г), а (з) = ] е-и йА (1). о о 3. Основные результаты. Т е о р е м а 1. Функции !" ('з) мулало 1(з) =Ф,(з) [Ф„ы(з)] и д(в) определяются по форд(з) =Ф„(з) [Ф .~~(з) ] 216 1. Описание системы. Постановка задачи. Рассмотрим систему обслуживания, состоящую из и приборов. Длительности обслуживания требований — независимые в совокупности сл.в.
с показательным распределением с параметром Ь. Входящий поток — рекуррентный с ф. р. интервалов между поступлениями требований А(1). Поступающее требование занимает любой свободный прибор и теряется, если свободных приборов нет. Задача Пальма заключается в определении потока потерянных требований, 2. ПРедварительные результаты. Пусть 1ь 1,, ..., г„, ...
— последовательные моменты потерь поступающих требований (т, е. моменты поступления требований, заставших все приборы занятыми), где Фс(з) =- ~ СсЛо(з) Ло(з+ Ь)... Ло(з+ (1 — 1)Ь), с=о Фо(з) =1, Ло(з) = [а(з)] ~ — 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. а). Обозначим через Л„длину промежутка времени, за который система переходит из состояния с в состояние 1)с, при условии, что промежуток времени начинается или с момента !=О, или с момента поступления требования. Положим В,с (!) = Р (Лсс(!), В, (!) = В,оьс (!), рсС (з) = М е '~ос', рс (з) = рсс+с (з), с = О, п.
Так как промежуток Л„заканчивается в момент поступления требования и в силу свойства отсутствия последействия у показательного распределения Ло = Ла .н + Лс-сс о-г+ ... + Лс и, где сл.в. Л, с+ь ..., Л, с, независимы в совокупности. Отсюда — с Кроме того, очевидно, !(з) =~с„„.с(з), а(з) =б„(з). б). Итак, задача свелась к определению функций рс(з). Докажем, что Во(!) =А(!), (1) с 1 — В,(с) = 1 — В; ~(!)+ ~(1 — е — о') !1 — В;(! — х)) дВ;,(х). (2) о Заметим прежде всего, что функции В,(!) будут одни н те же для систем с 1 приборами, 1=с+1, и.
Соотношение (1) очевидно. Докажем (2). Рассмотрим сначала случай Ып — 1. В момент начала промежутка Л,,.ос (для определения В,(!) отсчет времени начнем с этого момента) в системе находится с требований. Выделим один нз занятых приборов. В течение промежутка Л,,.с, все поступающие требования будем посылать на остальные п — 1 прибор (это предположение не влияет на Вс(!)).
Рассмотрим и — ! невыделенные приборы. В момент начала промежутка Л, с.сс на этих приборах находится с — 1 требование, и этот момент можно считать началом промежутка Лс с; на этих и — 1 приборах. 217 Соотношение (2) при с(п — 1 вытекает теперь из того, что, во-первых, промежуток Лсьы не может закончиться раньше Л; „и, во-вторых, если промежуток Лс „закончился в интервале (х, х+с(х), то для того, чтобы не закончился промежуток Л;сиь надо, чтобы до момента х закончилось обслуживание требования на выделенном приборе.
В этом случае оставшаяся часть (после х) Л,,ч~ — Л'с ььс имеет то же распределение, что и Л,,+ь Случай с'=и доказывается аналогично. Из (1) и (2) получаем ()о(з) = а(з), 1 — 6 (з) = 1 — Р— (з) + (1 — 0 (з)] Ф вЂ” (з) — 0 — (з+ Ь)!, откуда ро(з) =а(з), р, (з) =- ', с =. 1, и. йс,(.+Ь) 1 — (1, с (5) + р, о (5 + Ь) (3) Положим Фо(з) =1, Ф,(з) =рс(з)Ф,+,(з). Тогда из (3) Ф, (о+ Ь) Фс (с) Фс(с+ Ь) Фс+с (5) Ф -1(5) Фс 1(5+а) 1 — + Фс(с) Фс(о+Ь) откуда Фсчс (о) — Фс (о) Фс (с) — Фс-о (с) Фс(о+ Ь) Фс с (о+ Ь) Ф~ (з) = (а(з))-с. Отсюда Фс+! (с) — Фс (о) Ф! (с) Фо (с) Фс (5+ Ь) Фо (о + Ь) или Фоы(з) =Фс(з)+хо(з)Ф,(з+Ь), с=й,п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
