2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (1186155), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(33) В силу того что принята дисциплина НГО, требования, кото- рые остаются в системе после окончания обслуживания А1-го, поступили в систему после него, но до его ухода из системы, т. е. за время ожидания и время обслуживания А!-го требо- вания. А именно этот факт (в терминах производящих функ- ций) и выражает соотношение (33) Полагая а — аг=з, полу- чаем (21). Соотношение (22) является тривиальным следствием того, что время пребывания в системе А1-го требования пред- ставляет собой сумму двух независимых случайных величин: его времени ожидания и времени обслуживания. б) Умножая (20) на шил! и суммируя по А! от 0 до оо, по- лучаем «(р(!о, г) — 1) = шр(ш, г) () (а — а«) + + (г — 1) (1 (а — аг) шр (ю, 0), 1!лп р(ш, г) — — ' «+ (.
— 1) )3 (а — аг) мр(оч О) 2 — ыр (а — и-) 91 Рассмотрим уравнение (относительио г): г= вр(а — аг). Используя теорему Руше, легко показать, что оно имеет единственное решение г=(р(в) в области [в[<1, причем в этой области [р(в) [<1. По теореме о неявной функции (р(в) аналитическая функция при [в[<1. Функция р(в, г) ограничена при [а[<1, в частности прн г=(р(в). Но это возможно только в том случае, когда (((в) + ((р(в) — 1) р(а — ач) (в) ) вр(в, 0) =О. Отсюда р(в, 0) = [1 — (р(в)) Соотношения (24) и (25) являются тривиальными следствиями (21 )и (22) и принципа аналитического продолжения. в). Докажем соотношение и-)- ! и (и %!( ( кк.) — л.)- ! Р((и) (lг, и) = —. ~'рх ! (и) ) е '" ((В(х) + (/( — л+ !)! л-.= ! о и и — и --, 'р)и ((0) ~ ~ е —" (ак) ((В(х)(((1 — е — ").
(34) 0(и) 0(к) В левой части (34) стоит вероятность того, что после окончания обслуживания М-го требования в системе осталось е требований и интервал времени между уходом из системы 1()' — 1-го и Ж-го требований меньше и. Это событие осуществляется в том и только в том случае, когда: 1) либо после окончания обслуживания )() — 1-го требования в системе осталось и (и> 1) требований; тогда интервал между уходом пз системы Л) — 1-го и )(('-го требований равен длительности обслуживания )0'-го требования, и необходимо, чтобы это время было меньше и и за него поступило Й вЂ” и+1 требований; вероятность описанного события равна 0 -)- ! и [" (ах) рл) )Рл) [е —" " ((В(х)! (л — л Ь !)! л=-! о 2) либо после окончания обслуживания У вЂ” 1-го требования система стала свободной. Тогда интервал между уходом из системы )() — 1-го и )()'-го требований равен сумме двух случайных величин; интервалу времени между поступлением Ж вЂ” 1-го и Л'-го требований и времени обслуживания )0'-го требования.
Сумма этих времен должна быть меньше и, и за время обслуживания должно поступить )( требований; вероятность описанного в 2 события равна и и — и (О) ~ ~ е — ак ( ) и)В (х) (( (1 е — аи) )г! 0(и) 0(к) 92 о г" о=о д+( д =о о(д) !!з (34) получаем =) г ~~ри ) о=о дд + р, ), (О) ~)' г ~ е — д'((дР7()(, и) = о (лд)д — л-(-( (а) ~ е — (д-)д)д ()В(и) + (л — л+ 1)1 о и (охи е — дд ~ ае — д(д — д)е — дд ° ° ВВ (х) ((и И о(д) О(сюда р")(г, з) =(Ри ((г) — Р(( ((0)) + г + Ри ((0) р(з+ а — аг), д-)- а (то доказывает (26).
Доказательство (27) аналогично. г). Как уже отмечалось, последовательность (Вл, У> 1) обра- зует цепь Маркова. При выводе соотношения (32) мы нашли матрицу вероятностей перехода (РО) за один шаг этой цепи: Р,;= ~е — ' ( ) ((В(х), !>О, р о ° Ф д„(дк)) Р„=- ( е — '" ! ) (!В(х) прн !) ! — 1, 1>1, (! — ('+ 1)! о РО=О при )<! — !.
Отсюда следует, что рассматриваемая цепь Маркова однородна, неразложима (так как из любого состояния ( с положительной вероятностью можно перейти за один шаг в состоянии ! — ! (при (>1) (, !+1, ... п за конечное число шагов в состоянии ( — 2, ( — 3, ..., 0) и непериодична (так как в каждом состоянии ( можно с положительной вероятностью остаться на следующем шаге). Положим х(=ф(>0. Тогда прн (>О д ~ Рах; = (( — - ! + ар() р) = (р) — р( (1 — ар)) =- х( — е, (=о где е=р((1 — ар() >О при ар(<1. Далее, при (=0 У Ро(х( = а))( < од) ('=-о Следовательно, выполнены условия теоремы 4.5 Введения. От- сюда следует существование предела Е(о--Е, Л(. оо, причем ~„рК =-)) =-- !. Найти р(г, 5) —.= ~ е — "Мгыггг)! в системах о Задача 3. а) М!61'1!О, б) М!6!111.
3 а д а ч а 4. Найти М)ог, !)%' в системе М)6!7)аа. 3 ада ч а 5. Рассмотрим систему М!611)аа. Пусть Ф случайное число требований, обслуженных за период занятости оРь=Р(Ф=/г), гр(г) =-й!га'. Доказать, что гр(г) удовлетворяет уравнению го ( ) =- г() ( и —. игр (г) ) . 3 а д а ч а 6 (продолжение). Показать, что при а а) о (л) - 1 е-ьг ог 6! — 1 ь а О, х~(Ь' — а б) В (х) -= ь ' ' ь 1, х>ьг ' гм Отсюда следует существование 1ппР5(г) =Р(г), Р(1) =1, и в силу (21), (22), (26), (27) существование Ж'а=ь-Ю', ра=ь.)г, Л! — +-ао, )ПП ран~ (г1 га 51 5 ) — )г(Ю (г~ га 51 5а) Переходя к пределу при У вЂ” оа в (20), имеем !Р(0) (г — !) () (а — аг) Р(г) =- г — 1) (а — аг) Так как Р(1) =1, отсюда следует, что Р(0) =1 — арь Далее, иа (2!) имеем (при О.а:5<а) (5) =- Р(5))- Р !'1 — — '1== а / г — а+а!)(5) Используя принцип аналитического продолжения, доказывае справедливость этого соотношения при всех 5, таких, ч Вез)0.
Остальные утверждения пункта г) теоремы являютс простыми следствиями (28), (26) и (27). 7. Задачи. 3 а д а ч а 1. Доказать, что ПЛС длительности периода за нятости системы М)6!1)! определяется по формуле (5 + а) р (я - - а) п(5) =- 5 + ар (э + а) 3 а д а ч а 2. Найти ПЛС длительности периода занятост системы М)6!1!2. 3 ада ч а 7 Используя пункт г) теоремы 5, найти ПЛС интервалов времени между последовательными уходами из системы требований. 3 а д а ч а 8. Используя метод вложенных цепей Маркова, найти стационарное распределение числа требований в сис;смах: а) 51 ) 6!1(1, б) М ! 6)! 12, в) А() 611!а, п) 1.
й 2. ДИСЦИПЛИНА РАЗДЕЛ ЕНИЯ ВРЕМЕНИ 1. Введение. Описание системы. Одной из интересных и важных дисциплин обслуживания является дисциплина разделения времени. Ее описание следующее. Каждому требованию, поступающему на прибор, выделяется некоторое, вообще ~ оворя, случайное время (квант), в течение которого оно обслуживается. Если в течение этого кванта времени требование не успело обслужиться, оно возвращается в очередь (мы будем рассматривать случай возвращения в конец очереди) и ожидает до тех пор, пока не используют свои кванты времени требования, находящиеся в очереди перед ним.
При новом поступлении требования на прибор ему выделяется новый квант, и оно продолжает обслуживание. Если за этот квант требование закончит обслуживание, оно покидает прибор, в противном случае возвращается в очередь, и т. д. Наиболее простая математическая модель соответствует случаю, когда кванты времени, выделяемые требованиям, являются независимыми и одинаково распределенными сл.в. и зля полного обслуживания одного требования необходимо случайное число квантов т, имеющее геометрическое распределение. Р(м=й) = (1 — р)рэ ', й)1.
Именно такую модель системы с разделением времени мы изучим в данном параграфе. Другой очень важный специальный случай дисциплины разделения времени будет изучен в следующем параграфе. Пусть а — интенсивность входящего потока, В(х) — ф.р. кванта времени, выделяемого каждому требованию при его поступлении на прибор. Рассматриваемую дисциплину обслуживания можно интерпретировать следующим образом (этой интерпретации мы в основном и будем придерживаться в дальнейшем). Длительность обслуживания каждого требования есть сл.в., стохастичссьн эквивалентная сл. в. В, В(х) = Р(В<х), 8(в) =Ме-". 11осле окончания обслуживания принимается решение: считать требование обслуженным или отправить его в систему для повторного обслуживания, причем с вероятностью 1 — р каждое 95 требование считается обслуженным и с вероятностью р направ-' ляется иа повторное обслуживание, независимо от остальных, требований и числа предшествующих поступлений на прибор.' данного требования.
Полное время пребывания требования на приборе (или, в старой интерпретации, его время обслуживания) имеет ф. р. Н (х), преобразование Лапласа — Стилтьеса которой й(з) равно (! — я)р(е) (з) = ! — рр(л! Определения случайных процессов Е(!), Я7(!), )т(!) и периода занятости такие же, как в $1. Определения процессов (Ен), ()ч'н) и ()тн) несколько отличаютсЯ. ОпРеделение (Ен) будет дано в и. 5, В этом параграфе мы ограничимся изучением процессов Е(!), )т'(!) и (Ен) и периода занятости. Исследование процессов )т(!), ()т'н) и ()тн) существенно более сложно.
Для характеристик указанных процессов сохраним обозна-' чения 5 1. 2. Период занятости. Уравнения для определения преобразования Лапласа — Стилтьеса длительности периода занятости п(з) и многие его свойства аналогичны свойствам периода за.нятости системы М[6[1[со с дисциплиной Г!РО. Основные результаты, относящиеся к периоду занятости, содержит Т е о р е м а 1. а). Функциональное уравнение я(з) =р(в+а — ап(з)) [рп(з)+(1 — р)) (1)' определяет единственную функцию п(з), аналитическую в области Кез>0, в которой [п(з) [<1, Если а(я <1 — р, то и(+О) = =1, в противном случае и(+О) <1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
