Fletcher-2-rus (1185919), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В рассматриваемой интерпретации это означает, что антндиффузионные потоки, присущие схеме Лакса — Вендроффа, слишком велики и приводят к появлению осцилляций. Если их каким-либо образом ограничить, то в результате получится модифицированная схема коррекции потоков. Эффективный способ ограничения антидиффузионных потоков состоит в введении выражения Яч цг = ф (г1) [0.5С (1 — С)] (Р1е, — р1) (14.83) и аналогичного выражения для 1) цг вместо );вцг и 11 цг в (14.82). Функция ф(О) называется ограничителем. Параметр 13* Схемы ТЧО не приводят к образованию нефизических осцилляций, н с помощью этих схем в областях гладкого изменения рещения может быть получен второй порядок точности. Чтобы эти схемы удовлетворяли энтропийному условию, требуется введение дополнительных ограничений.
Обычный путь получения более высокого порядка точности состоит в введении «антидиффузионных потоков», обеспечивающих выполнение условия ТЧО. Очевидно, здесь существует некоторая аналогия с методом коррекции потоков. Эта аналогия может быть показана при рассмотрении схемы Лакса — Вендроффа, т. е. схемы (14.73) при т = О. Эта схема может быть представлена в виде Р1+ =Р1 — С(Р1 — Р! — ~) — ()";ецг — )7 цг), (14.82) Гл. 14. Невявкие течения (14.84) (14.86) г; равен отношению прилежащих градиентов, т. е. в! — вг 1 гг = р(+1 р! Функция ф(г;) выбирается так, чтобы схема (14.82) с учетом (14.83) была схемой ТЧР.
В работе [5чтеЬу, 1984] предложены следующие ограничения для ф(г): О(ф(г)(ш!п(2г, 2) при г) 0; ф(г)=0 при г(0. (14.85) Этим ограничениям удовлетворяют схемы ТЧР первого и второго порядков. Чтобы обеспечить второй порядок точности по пространственной переменной, за исключением точек экстремума (г( 0), необходимо, чтобы ф(1)=1. В работе [!хое, 1986] предложен следующий выбор ограничителя: . =ппп(2, г) при г) 1, ф(г) =ппп(2г, 1) при 0(г~~1, =0 при г (О.
В работе [5тчеЬу, 1984] показано, что методы ограничения потока, предложенные в работах [Чап ).еег, 1984; Кое, Ва1пез, !982; СЬайгачаг!Ьу, ОзЬег, 1983], могут быть представлены в виде (14.82), (14.83). Различные алгоритмы соответствуют различным выборам ф(г). Очевидно, что в противоположность двухшаговым алгоритмам гСТ схема (14.82), (14.83) является одношаговой. Кроме того, выбор свободных параметров алгоритма РСТ сведен к выбору ограничителя ф(г). Простая структура ф(г) и одношаговая структура алгоритмов ограничения потока обеспечивает экономичность их использования. То что алгоритмы являются одношаговыми, позволяет разработать эффективные неявные схемы ТЧР [тее е! а1., 1985], удобные для расчета стационарных течений (9 18.5), как невязких, так и вязких, в которых возникают ударные волны. Для расчета нестационарных течений более предпочтительными являются явные схемы ТЧР, поскольку линеаризация, необходимая для эффективного применения неявных схем ТЧР (становится возможным применение алгоритма Томаса (п.
6.2.2)), приводит к неконсервативности неустановившихся решений. Как уже отмечалось выше, в случае возможности появления разрывов в решении желательно, чтобы дискретное представление исходных уравнений было консервативным. Для (!4.28) допустима дискретизация конечного объема и";+' = и~ — — (Р~4ця — Р";-ие). (14.87) $ 14.2. Сверхзвуковые иевязкие течения 197 Эта схема консервативна в дискретном смысле, однако желательно, чтобы она была эквивалентна интегральной или слабой форме (5.6) законов сохранения. В этом случае будут правильно описываться скачки функций при переходе через любой разрыв. Уравнение (14.87) можно рассматривать как дискретное представление законов сохранения, если положить з1+ цз и!" = ~ ив (х) т(х, Я! НВ т. е. значение в узле сетки и, считается равным среднему на интервале хт ыз(х( х;+,м значению.
В соответствии с такой интерпретацией величина Ртчыз называется численным потоком и рассматривается как функция узловых величин, т. е. Р1+ыз = = г(и1-е+ь ..., ит+е). Простейшим примером такого представления является (14,83), поскольку (Л1/Лх)11 = Ср; и т. д. Схема ограничения потока (14.82), (14.83) может быть представлена в виде (14.87) следующим образом: я+~ я В1 Г-ч "я Р1 = Р! — д тЛ+ из — !1-11з) (14.88) где т. е. отношение градиентов вычисляется по значениям, лежащим против потока.
Два первых члена в (14.89) составляют разность против потока в (14.82). Последний член связан с ограничением потока (14.83). Для уравнения (14.72) с постоянным значением и 7'= ри в (14.88). Описанные выше схемы ТЧР могут быть обобщены на нелинейные системы уравнений, подобные уравнениям Эйлера (14.43). Уравнения Эйлера для этого приводятся к характеристическому виду. Схемы ТЧР, например (14.88), применяются отдельно к каждой характеристической составляющей.
Решение Уравнений Эйлера получается в результате суммирования вкладов от характеристических компонент. При этом, однако, нет теоретически обоснованного доказательства, что схема будет 71ч ~ р = 0.8 (71 + ~! е ~) — Обо (11 ~, — 71) + + О.бф (г) (о — С) (~1, — 11) (14.89) и и= з!пи С;+ыз.
Данная схема пригодна при положительных и отрицательных значениях и. Более точное решение, однако, получается, если (14.84) заменить выражением Р1ч-1-о Рт-а (14.90) 91+1 Гл. 14. Невязкие течения 198 схемой ТЧР (как в случае скалярного уравнения); на практике профили скачков получаются без осцилляций.
Система (14.43) может быть представлена через характеристические составляющие: (! 4.91) где а =(0.5/у, (у — 1)/у, 0.5/у), собственные числа Л = (и — а, и, и+ а) и соответствующие собственные векторы — р (и — а), ри, Р (и + а), (14 92) где Н =(Е+ Р)/Р. В каждую компоненту решения 9 вносят вклад характеристические составляющие, т. е. «)=~г;, а е . Скалярная схема из ТЧР, эквивалентная (14.88), применяется к каждой характеристической компоненте (14.9!). В результате получается ие~ е Ык е е е,1=е,1 — — ~Р„,1еит — Р,1 и,), гдег =Л е. Направление против потока в уравнениях, аналогичных (14.89), зависит от о= з!пп(Л ).
Следовательно, при расчете различных характеристических составляющих используются значения в различных точках сетки и для различных характеристических составляющих можно ввести различные ограничители ф(г). Характеристическое разложение позволяет получить крутые профили скачков и правильную скорость их распространения.
Характеристическое разложение использовалось в работах [Гхое, 1981, 1986; т'ее е! а1., 1985[. Тот же тип разложения использовался в методе характеристик Галеркина с конечными элементами [Мог!оп, 5тчеЬу, 1987). Применение такого разложения по отдельности к каждой компоненте потока позволяет корректно описать задачи с двумя и большим числом пространственных переменных. Так, в работе [Уее, 1986[ схема ТЧР ограничения потоков применялась для расчета дифракции ударной волны на наклонном профиле.
Флетчер и Мортон [г!е!сЬег, Мог!оп, 1986[ применяли метод характеристик Галеркина с конечными элементами для расчета нестационарной задачи о наклонном отражении скачка, связанного со сверхзвуковым течением около клина. 4 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 199 Более подробное описание схем Тз/1) высокого порядка точности можно найти в работе [С1/акгачаг11/у, 1986], а также в приведенных в ней ссылках, в частности в работе [СЬакгачаг1Ьу, Оз)зег, 1985].
/1/ Хз /з/+из = Чз+ Чз (и/+1/2 ах ~ (14. 93) !4.2.7. РСТ: алгоритм расчета движущейся ударной волны В данном разделе алгоритм РСТ, аналогичный описанному в п. 14.2.6, будет применен к задаче о распространении ударной волны, рассмотренной в п.
14.2.3. На практике алгоритм РСТ можно рассматривать как шаг, который надо добавить к схемам Мак-Кормака и Лакса — Вендроффа, рассмотренным в п. !4.2.3. Настоящее описание будет соответствовать звуковой схеме РСТ Лакса — Вендроффа, предложенной в работе [Воок е1 а!., 1975]. Решение, полученное по формулам (!4.50) или (14.52), обозначается через 4!"'. Звуковой алгоритм РСТ состоит из следующих шести шагов: (! ) Вычисление диффузионных потоков л / л лх 1/+1/2 = ч/+ /а Н/+1 — Я// (2) Вычисление антидиффузионных потоков ав 1/+цз = /з/+из (Я/+1 — Ч/ ) (3) Диффузия решения (4) Расчет первых разностей Ч"* (5) Ограничение антидиффузионных потоков ае 3 = з 1пп 1/+ цм 1/+цз = 5 шах [О, ппп [Я бе!/"'цз, ] 1;+/а [, 5 ЛЧ;+з/2Н.
(6) Антидиффузионное решение л-1-1 ** саг саз 4!/ и/ 1/ 1.1/2 + 1/ — 1/2. На шагах (1) и (2) коэффициенты диффузии ч и антидиффузии Н зависят от координаты. Это следует из уравнения (!4.79), согласно которому а/ хз /+ м = чв + ч [ и/+ / ах ! 200 Гл. [4. Невяэкие течения оэтгвзк тик зоьотзом ОИ.Ю 0(д.к) + Рт(д,й! - ВР(д"1.Х) 2 ВОИ-1,Х) О(д,к) - О(д-1,Ю з соитзмик ВО ° К -Э,З 4 Во[ИХН,К) -' ШИХИ+Э,К) - 0(ИХН,К! ЫН1Т АНТ1РТГГО$1ЧБ ГЬОХЕЗ во 6 а г,ихи ООЗК-13 $ * $1оми.о,авт(а,к]) вот<а,к) - вез<вот<а,к)] РОН в*во<а-<,к> АРГ[д,Ю АИ1Н1(АРГ(д Ю ВОН) ВОН - З*ВОИ+<,Ю Авт[а.к) - Ан<й<[АРГ[а,к),РОН) Аоюа,ю а<АХ<[хат(а,к],о.) ваги,к> 3"Авг[д,к) Аит101гтвбе тие Зоьит10Н 0<а,К) ОИ,К! - АВГИ,К> ч кот И-Э,К> 5 СОИТ1ИОЕ б СОИТ1МОЕ айнам Еив где и)и<и=О.б(и<+и<а.<) и, как правило, 7)0= 1/6, 71, = 1/3, Чг = — 1/6.
Очевидно, что шаги (1) — (6) являются прямым обобщением описанного в п. 14.2.6 скалярного алгоритма с постоянными коэффициентами. Диффузионные потоки на временнбм слое а определяются в программе 6НОСК (рис. 14.17, строки 98 и 99). Все остальные шаги проводятся после вычисления 9'" и оформлены в виде подпрограммы РСТ (рис. 14.24). Различные параметры, используемые в подпрограмме РСТ, описаны в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
