Fletcher-2-rus (1185919), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(14.103) Здесь ...Екв")]Лавы означает Е„(В"Ла"+'). Если необходимо получить лишь стационарное течение, то можно положить у =О, р = 1.0 и применить для решения расширенный метод Ньютона (п. 6.4.1). Единственное отличие от обычного метода Ньютона состоит в наличии дополнительных диагональных членов, связанных с единичной диагональной матрицей 1. При Лг- со используется обычный метод Ньютона. Однако, если у, р и Лг выбраны, проводить численное решение (14.103) в том виде, как оно записано, чрезвычайно неэкономно.
Из-за разложения (14.101) порядок аппроксимации уравнения (14.103) в лучшем случае лишь 0(ЛР). Прн некоторых выборах у и 8, например при «ньютоновском» у=О, () = 1.О, порядок аппроксимации (14.103) лишь 0(Л1). С точностью до 0(ЛР) порядок аппроксимации не изменится, если к левой части уравнения (14.103) прибавить член ( —, ~ Е,А" Е„В" Ла"+ '. В результате получится [1+,~" Е,А~[1+,~" Е»В~Ла""= = — — (Е,Г" + ЕвЯ + + Ла". (14.104) Гл. 14. Нееязкие течения Уравнение (14.104) является приближенно факторизованной формой уравнения (14.103), решение которого осуществляется по следующему двухшаговому алгоритму.
На первом шаге [1+ 1+ 7.„А~ЛЧ'= — + (Е,Р" + 7иб")+ + Ле("(14,105) и на втором шаге [1+ 1+ ~'УВ~Лй =ЛЯ (14.106) Уравнение (14.105), записанное на каждой х-линии сетки, образует (4 Х 4) -блочно-трехдиагональную систему уравнений. Блочно-трехдиагональные системы весьма эффективно решаются обобщенным алгоритмом Томаса (и. 6.2.5).
Тот же алгоритм применим и к уравнениям (14.106), которые при записи на каждой у-линии сетки также образуют (4Х4)-блочно-трехдиагональную систему. Факторизацию матриц А и В можно провести следующим образом: А = ТАЛАТА, В = Твлвтв, (14. 107) где диагональные матрицы Лл и Лв образованы собственными числами А и В, т. е. т(1адЛл=(и, и, и+а, и — а), б!ацЛв=— (и, и, и+а, и — а).
(14, 108) Здесь а — локальная скорость звука. В работе (Рпйагп, Отаиззее, 1981) показано, что при помощи факторизованных представлений (14.107) можно одну (4 Х 4) -блочно-трехдиагональную систему расщепить на четыре скалярные трехдиагональные системы, которые могут решаться последовательно. Это приводит к сокращению времени счета примерно на 30%. Однако данная процедура вносит ошибку 0(Л() в нестационарные решения.
Уравнения (14.105) и (14.106) применимы как к стационарным, так и к нестационарным задачам. Для нестационарных задач при у =О, 6 =0.5 получается схема Кранка — Николсона с порядком точности 0(Л(е). Если (!4.105), (14.106) используются в методе установления для решения стационарных задач, весьма эффективными являются следующие варианты выбора параметров: (1) у=О, 6 =1,О, расширенный метод Ньютона, 0(ЛГ); (2) у=0.5, 8 =1.О, трехслойная полностью неявная схема, 0 (Л!') $ !4.2. Сверхзвуковые невязкие течения 207 Может показаться, что расширенный метод Ньютона с большим значением ог будет оптимальным при проведении расчетов методом установления.
Однако введение членов порядка 0(Жз) при приближенной факторизации приводит к потере ожидаемой от метода Ньютона квадратичной скорости сходимости. Из исследования (линейного) алгоритма (14.105), (14.!06) методом Неймана следует его безусловная устойчивость. Однако может возникнуть нелинейная неустойчивость, особенно в связи с сильными скачками. Если пространственные операторы й, и 7.„ в (14.105), (14.106) являются центральио-разностиыми операторами, то обычно добавляется искусственная вязкость. Эта вязкость должна быть добавлена и к правой, и к левой частям уравнения (14.105). Искусственная вязкость может быть второго (как в п.
14.2.3) или четвертого (п. 18.5.!) порядка малости. Операторы ь' и Ь„могут быть также операторами с разностями против потока в сверхзвуковой области. Следовательно, использование соотношений ! — ! Ь Вп = — „(Вь — Г! ь ), С„О = — (Вь — Сь ) (14. 109) предполагает, что локальная скорость направлена в положи-. тельных направлениях х н у. Если такое представление рассматривать как дискретизацию второго порядка, то это приводит к появлению диссипативных членов (з 9.1). Пример использования такой дискретизации для решения задачи об одномерной ударной трубе приведен в работе [5!ецег, %аггп(па,1981,рис.!). Ударные волны и контактные разрывы получились сильно размытыми. Можно построить схему второго порядка с разностями против потока, которая может быть использована в двухшаговом алгоритме (14.105), (14.106) в сверхзвуковых областях.
В работе [РпШагп, 1985[ приводится описание таких алгоритмов, основанных на схемах Уорминга и Бима [вагш(пд, Веатп, 1976]. Эти схемы позволяют получить резкие профили скачков без осцилляций, расположенных вверх по потоку от разрыва (как в схемах Мак-Кормака и Лакса — Вендроффа, п. 14.2.3). Однако комбинация таких схем о центральными разностями в дозвуковых областях требует введения функций переключения (п.
14.3.3) и специальных процедур на разделяющих поверхностях (т. е. на звуковых линиях и ударных волнах). Постановка граничных условий и их численная реализация при решении уравнений Эйлера является важной частью всего алгоритма. На твердых поверхностях для выполнения закона сохранения массы нормальная составляющая скорости должна быть равна нулю. Давление обычно получается из уравнения Гл. 14.
Невяакие течения 208 для нормальной составляющей импульса, а плотность — из уело. вия постоянства полной энтальпии О = (Е + р)/р. Границы, через которые возможно течение жидкости, называются входногми и выходными границами (рис. !1.!8). Для внутренних течений классификация не представляет труда. Для течений около изолированных тел удаленные границы могут изменяться, превра1цаясь в процессе эволюции течения из входных в выходные и наоборот.
Теория характеристик позволяет определить число и вид граничных условий. Физически информация переносится вдоль ха- (в) Внноннан гоаннна Внолнан гранина и М<! М<! (ь) М>1 М>1 Рис. 14.26. Число граничных условий согласно теории характеристик. рактеристик. Следовательно, граничные условия должны быть определены на характеристиках, приходящих в расчетную область. Собственные числа одномерных иестационарных уравнений Эйлера равны Х =(и, и+ а, и — а)г. Одномерные до- и сверхзвуковые входные и выходные границы изображены на рис.
14.26. На дозвуковой входной границе требуется определить граничные условия для двух переменных, а третья переменная должна рассчитываться по значениям на границе и внутри области. На дозвуковой выходной границе две характеристики выходят из расчетной области и одна приходит в расчетную область. Следовательно, на дозвуковой выходной границе должно быть поставлено одно граничное условие. 5 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 209 На сверхзвуковой входной границе все характеристики входят в расчетную область, поэтому граничные условия требуются для всех переменных.
Наоборот, на сверхзвуковой выходной границе все характеристики выходят из расчетной области, так что граничные условия не требуются. Описанный выше подход может быть распространен на многомерный случай, если скорость и рассматривается как нормальная к границе компонента скорости. Это легко сделать в обобщенных криволинейных координатах (гл.
12), поскольку направление нормали к границе обычно совпадает с обобщенной координатой. Пример применения такого подхода можно найти в работе ]81ейег е1 а!., 1980]. Для дозвуковых течений существует выбор того, какие зависимые переменные или их комбинации должны быть определены на удаленной границе. Обычно граничные условия на дозвуковой входной границе определяют направление потока, энтропию и полную энтальпию. Значения плотности при помощи характеристического условия совместности определяются через решение внутри области. На дозвуковой выходной границе будет правильно определить давление, значения ри, ро и Е экстраполировать по значениям внутри области, а р определить из (14.96) .
Граничные условия должны быть поставлены неявно, так чтобы на весь алгоритм не действовало ограничение КФЛ на шаг по времени. Соответствующие постановки можно найти в работах ]Уее, 1981; Рц! Иатп, 1981; Отакгауаг()зу, 1983; Ра(, СЬацззее, 1984].
Правильная численная реализация граничных условий на удаленной поверхности существенна для достижения стационарного решения за минимальное число шагов по времени. Решение в любой промежуточной точке (по времени) может быть разделено на стационарную и нестационарную части. Алгоритм численного решения, например (14.105), (14.106), можно рассматривать как алгоритм, целью которого является обращение в нуль нестационарной части решения за минимальное число шагов по времени. Нестационарная часть решения состоит из волн, распространяющихся по расчетной области. Граничные условия на удаленной поверхности желательно поставить так, чтобы они позволяли нестационарной части решения проходить через границы без отражений.
Эффективный прием, предложенный в работе !Вау!!зз, ТигКе!, 1982] для внешнего течения, заключается в линеаризацин уравнений Эйлера относительно однородного потока, т. е.и=(/ , в = О, р = р и р = р . После этого вводится граничное условие, которому удовлетворяет решение линеаризованных уравнений. 14 К Флетчер, т. 3 210 Гл. 14. Невязкне течения дг р"а" д +п(р — р„)=о (! 4,111) где обычно для наибольшей скорости сходимости и =0.3. В работе [Вау!!зз, Тпгке1, 1982] обнаружено, что для большей части задач применение (14.110) предпочтительней (14.1!1). На удаленной границе, являющейся твердой стенкой, например на стенке аэродинамической трубы, необходимо определить одно граничное условие.
Если стенка параллельна оси х, в той же работе рекомендуется использовать следующее граничное условие: др да — — р а — =О. дг дт (14.112) Для ускорения сходимости уравнения во внутренней части области могут быть модифицированы. Уравнения (14.94) удобно представить в виде 1Ч вЂ” + — + — = О, — ~ дч дГ дб д1 дх ду (14. 113) где й! — матрица, ускоряющая сходимость. В работе [Н!ч!апб, 1981] приводится обзор методов установления для расчета трансзвуковых течений, попадающих в класс (14.113). В работе [Тпгке!, 1985] определена матрица Х так, что если провести факторизацию системы (14.113) аналогично (14.107), то собственные числа, эквивалентные (14.108), не будут зависеть от скорости звука а. Если г! — диагональная матрица, то (14.113) сводится к выбору различных шагов по времени для каждой точки сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
