Fletcher-2-rus (1185919), страница 34
Текст из файла (страница 34)
14.4. 1 2 С Э С 4 С 5 6 С 7 С 3 С 9 10 11 12 13 14 15 16 С 17 С 1$ С 19 20 21 22 23 24 С 25 С 26 С 27 2$ 29 30 31 32 33 Э4 35 36 37 С 33 С 39 С 40 41 42 43 ° 4 ЗОВХООТЭИЕ ГСТ (ИХИ, ЕТА, ЕТ2, РТХ, О, Рт, О! АРРыеа Гьих-сойаестеР таи<згойт Аьсой1тии то ОИ,Ю 01Н>И$10Н ОИ01.3),РОИОЭ,Э),0[101),РГИОЭ,Э],АРРИОЭ,Э) СОВРОТЕ АНТ1РЭГГО$1ЧЕ ГЬОХВЗ хии ктй + о.г5'ктг'[[О[3) О(ю)чпа! 62 ВО<К Э,З 1 АВГИ.К) - БИО*[0(г,к)-ОИ,К)) ВО 3 д = Э.ИХИ КНО Ктй+ О.Ю Ктг ° ((О<Ю+ОИРЮ) Вта! ° *г ВО Э К Э,З вот<а,к! -'Емп (о(а+Э,ю -ОИ,к)! Рис. 14.24.
Распечатка подпрограммы РСТ. 201 Типичные результаты расчета распространения сильного скачка приведены на рис. !4.25. Использовались 100 узлов по пространству и Ах = 0.01, Интенсивность скачка р1/рз — — 5.0 и Таблица 14.4. Параметры, используемые подпрограммой ЕСТ (и программой ЗНОСК) Параметр Описание в.зз влв влн в.рв в.тз в.зз Х Рис. 14.25. Распространение сильной волны, р,/ра = б.в, т = 1.4.
у = 1.4. При этих параметрах скорость распространения скачка и,', = 2,104. В начале расчета скачок располагается в точке х'=0.501; после 100 шагов по времени с шагом А( =0.00!— в точке х'=0.7!!. Это изображено на рис. !4.25. Очевидно, что алгоритм гСТ позволяет получить крутой профиль скачка с незначительными осцилляциями. Для сравнения на рис. !4.25 приведено также решение, полученное по схеме Лакса — Вендроффа с искусственной вязкостью и= 1.0 АОР (ар ЕМ() е(чу ЕТА, ЕТ1, ЕТ2 1)Я Я Ч 14.2. Сверкзвуковые невязкие течения Антидиффузионный поток 1'а и 1"а Диффузион й поток 1 Антидиффузионный коэффициент ш „,ы Диффузионный коэффициент т, + ос Ча, а1ь Ча (14.93) Ач *' ч ч * ч"+ 202 Гл ЬК Невязиие течения в (14.54).
Эти решения были получены после 200 шагов по времени, равных 0.0005, что обусловлено условием устойчивости. Хотя искусственная вязкость эффективно подавляет ложные осцилляции, очевидно, что скачок размазывается на большее число узлов. Это можно преодолеть путем перехода к более мелкой сетке, однако время счета при этом может стать неприемлемо большим.
Если используется локально мелкая сетка, как правило адаптивная, чтобы избежать жесткого условия на ~К вся схема должна быть неявной. Сравнение схем с искусственной вязкостью, схемы ЕСТ и схемы Годунова высокого порядка для одно- и двумерных стационарных и нестационарных течений с сильными ударными волнами и контактными разрывами проведено в работе [%оос(- тчагб, Со!е11а, 1984). Контактный разрыв — это поверхность, прн переходе через которую значение плотности претерпевает разрыв, а скорость и давление непрерывны.
При развитии течения в ударной трубе граница между первоначально сжатым газом и газом низкого давления в дальнейшем становится контактным разрывом. В работе [%ообтиагб, Со!еИа, 1984) обнаружено, что схема Годунова высокого порядка точности дает более точное решение, чем алгоритм ЕСТ, однако схема Годунова более слсжна для программирования и требует большего объема вычислений. Как и можно было ожидать, алгоритмы ЕСТ оказались более точными, чем схемы с искусственной вязкостью. В работе [%ообтчагб, Со!е!!а, !984) не исследовались появившиеся позднее схемы ограничения потока (см., например, [Уее, 1986)), которые можно рассматривать как развитие подхода ЕСТ. Можно ожидать, что решения, полученные по этим схемам, будут гораздо экономичнее, чем полученные по схемам Годунова, и, возможно, практически столь же точными.
Различные методы, от методов с искусственной вязкостью до использующих полную формулировку Годунова, требуют для реализации существенно различного времени. Для нестационарных течений, где важно правильно рассчитать и скорость, и интенсивность скачка, оправдано применение более сложных алгоритмов. Для стационарных течений с ударными волнами точное решение может быть получено и при помощи менее сложных алгоритмов. 14.2.8. Неявные схемы длл уравнений Эйлера В предыдущих разделах были рассмотрены явные схемы решения уравнений Эйлера, описывающих течения с сильными скачками или всюду сверхзвуковые течения, для которых в ста- $ 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 203 (! 4.94) ционарном случае можно построить маршевый по одной из координат алгоритм расчета.
В данном разделе рассматриваются неявные схемы решения уравнений Эйлера в случае трансзвуковых течений. Для стационарных трансзвуковых течений доказано [К!221, ч(ч!апб, 1981], что при определенных условиях, когда можно ожидать появления ударных волн, методы, основанные на полностью консервативном потенциальном подходе, описанные в п. 14.3.3, могут дать неправильное положение скачков. Более того, возможно несколько решений при одних и тех же граничных условиях. Следовательно, там, где знание правильного положения и интенсивности скачков существенно, например при расчете обтекания профиля с ненулевой подъемной силой, более надежными являются методы, основанные на решении уравнений Эйлера. Для стационарных трансзвуковых течений решение уравнений Эйлера, как правило, получается методом установления ($6.4). Основная задача заключается в построении быстро сходящегося процесса.
В работе [%ч!апб, 198!) приведен обзор задач и возможных методов решения. Явные схемы конечного объема, основанные на методе МакКормака, описаны в работах Я!221, Ег!кззоп, 1982; Еега(, 51- без, 1982]. Однако явные схемы, как правило, требуют большого числа итераций (шагов по времени) для достижения стационарного состояния из-за ограничения КФЛ на величину шага по времени. Неявные схемы, основанные на расщеплении или приближенной факторизации (гл. 8), позволяют использовать гораздо большие шаги по времени, и, следовательно, стационарного состояния можно достичь за гораздо меньшее число итераций.
Можно провести сравнение для течения около профиля ХАСА- 0012, расположенного под углом атаки ех =1.25' при М =0.80. С использованием явной схемы [й!хх(, 198!) получена сходимость после 4900 итераций на сетке 14!к',21. При помощи приближенно факторизованной (неявной) схемы [Рц!1(ат, 1985) на сетке 161 Х 33 получено решение, весьма близкое к решению Рицци, примерно за 250 итераций.
Однако, если явные алгоритмы использованы в сочетании с многосеточным подходом (п. !4.2.9), они становятся более конкурентноспособными. Ниже будет описан типичный неявный алгоритм интегрирования по времени уравнений Эйлера. В случае двух пространственных переменных уравнения Эйлера в консервативной форме могут быть представлены в виде дч др дб — + — + — =О, д! дх дв Гл. 14.
Невязяяе течения 204 где ро (рио г е ° (14.95) Ро +Р: о(Е+ р) ри ри'+ р рио и(Е+ р) Е от = ри, и = ро и для идеального газа р=(у — 1) [Š— 0.5р(и'+ о')[. Для данных уравнений потоки могут быть представлены в виде Р=АЧ, ел=Ве[, (14.97) где А и  — матрицы Якоби, т. е. А,/= — ', д/'г' дч/ ' (14.98) (1 4.9б) д6~ В" = —— д ч/ Матрицы А и В равны о 1 о о О.б (у — 3) ив+О.б (у — 1) ов (3 — у) и — (у — 1) о (у — 1) — ио о и 0 и [ — уЕ/р+(у — 1) (и'+о')1 уЕ/р — О.б (у — 1) (Зи'+о~) — (у — 1) ио уи (14.99) 0 0 ! 0 — ио о и 0 ив О.б(у — 1) ит — Об(3 — у) о' — (у — 1) и (3-у) о (у — 1) о [ — уЕ/р+(у — 1) (ив+о')] — (у — 1) ио уЕ/р — О.б (у-1) (и*+Зо') уо Для построения неявной схемы уравнение (14.94) представляется в следующем дискретном виде: дал+! д в (1+ у) —, — у —, = — (1 — й)(Ь„Р" + Ь„б")— — й (Л„Г"+' + Еоб"+ ), (14.100) где Лт[ичл = т[лчл — е[л, а у и р — параметры схемы.
Ранее /.„и Ео были определены как центрально-разностные операторы, на- пример 1 / й/, =(Зд )(Р/ кв — Р/ ь ). В данном случае эти операторы остаются неопределенными, поскольку может оказаться, что в сверхзвуковой области течения $ 14.2. Сверхзвуковые иевявкие течения 205 более предпочтительной будет другая дискретизация по пространственным переменным. Предполагается, что решение а известно на п-м временнбм слое и решение на (и+ 1)-м слое необходимо определить из уравнения (14.100).
В основном будут использованы методы, описанные в 9 8.2, п. 9.5.1 и 10.4.2, т. е. для определения добавки к решению Лачч' будет получена линейная система уравнений; Г"+' н б"+' — нелинейные функции а"ч.!. Эти члены могут быть линеарнзованы путем разложения в ряд Тейлора в окрестности и-го момента времени, т. е. Рв+~ = Г" + А" ая Л(+ 0(Л(~) =Р" + А" Ла"+~ + 0(Лг'), (14.101) О"+' = О" + В" Ла"" + О (ЛГ») (14.102) где А" и В" — матрицы Якоби (14.99), вычисленные на временнбм уровне и. Подстановка в (14.100) приводит к соотношению [1+,1'~~', (Е„А" + Е„В"Ц Ла"" = = — — (Е„Р" + Е„б") + Ла".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
