Fletcher-2-rus (1185919), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Гл. 14. Невязкие течения 486 При применении того же метода для расчета полей течения около космического челнока [Кц1!ег е! а!., 1973] были использованы для задания начальных данных результаты расчета эквивалентного конического течения, а также улучшенные граничные условия, предложенные в работе [АЬЬе1, 1973]. Головная ударная волна использовалась в качестве внешней границы расчетной области. Это потребовало использовать условия Ренкина — Гюгонио при переходе через скачок (т. е.
выделение скачка) для связи параметров на границе расчетной области с параметрами набегающего потока, что позволяет определить наклон скачка, а следовательно, и ориентацию ударной волны. Вторичные скачки, возникающие внутри расчетной области, рассчитывались методом сквозного счета. Типичная картина скачков приведена на рис.
14.20. Холт [Но!1, 1984] предложил метод ВЧ).Гч расчета невязких сверхзвуковых течений, аналогичный описанному маршевому алгоритму. 14.2.5. у.-схема Моретти Простая маршевая схема, описанная в п. 14.2.4, неприменима, если в течении возникают дозвуковые области, что имеет Удар ая ввя Рис.
14.2!. Обтекание осесимметрнчного затупленного тела при большом чис- ле Маха. место при обтекании затупленных тел, или если поток разворачивается на слишком большой угол (АВС на рис. 14.21). Для больших областей дозвукового течения решение можно получить в результате интегрирования по времени нестационарных уравнений Эйлера до тех пор, пока не будет получено стационар,ное решение. При таком подходе использование схемы Мак- 4 14.2. Сверхзвуковые яевязкие течения 187 Кормака возможно, но нецелесообразно из-за ограничения КФЛ на шаг тз1.
Основная трудность при рассмотрении конфигураций, изображенных на рис. 14.21, состоит в том, что при использовании схемы Мак-Кормака локальное маршевое направление может выйти за пределы локальной области зависимости. Эта трудность преодолевается в Л-схеме [Моге(11, 1979). В этой схеме используется информация о направлении характеристик для определения узлов, значения функций в которых используются для разностного представления пространственных производных. м Рис.
14.22. Характеристики в плоскости (к, 1). Метод построения разностной схемы может быть показан на одномерном нестационарном невязком течении, которое описывается уравнениями др др ди — +и — +у — =0 д1 дк дк — + — — +и — =О, ди из др ди д1 т дх дх (14.61) (14.60) где и — скорость, р — логарифм давления, а — скорость звука и и — отношение удельных теплоемкостей.
Уравнения (14.60) и (14.61) являются уравнениями неразрывности и х-компоненты импульса, в которых плотность исключена за счет давления. Характеристики (направления) Л = х(х/Ж равны Л,=и — а, Л,=и+а. (14.62) Типичные положения Л~ и Ля приведены на рис. 14.22. Представлена благоприятная ситуация. Трудности использования общепринятых явных схем, подобных схеме Мак-Кормака, возникают, если точки В и С лежат по одну сторону от хь Для преодоления этого затруднения в схеме Моретти пространственные Гл.
14. Невязкяе течения 188 производные разбиваются на две части, связанные с характеристиками. Уравнения (14.60) и (14.6! ) принимают вид — = — 0.5 1чЛ, — + Лг — ) — — 1чЛ вЂ” — Л, — ), (14.63) др г' др др Х т т ди ди Ч дг ' 'ч 1 дк, г дх, ) 2а (, г дкг ' дк, ) ' — = — — 1чЛ вЂ” — Л вЂ” ) — 0.5 1чЛ вЂ” + Л вЂ” ) . (14.64) ди а т др др х т ди ди ч дг 2т 'ч г дкг ' дх, ) ' 'ч ' дх, г дкг ) Если в эти уравнения подставить Л~ и Лг из (!4.62) и положить др/дх~ = др/дх, и ди/дх~ = ди/дхм то снова получатся уравнения (14.60) и (14.6!), Однако если для др/дх; и т.
д. использовать односторонние разностные формулы, в которых рассматриваются лишь точки, лежащие по ту же сторону от х1, что и Ль значения др/дх1 и др/дхг и т. д. в (14.63) и (14.64) будут различны. При этом конечно-разностное представление 0.5(Л1др/дх~ + Лгдр/дхг) будет корректным дискретным представлением идр/дх при любых значениях Л1 н Лг. Уравнения (14.63), (14.64) интегрируются по схеме предиктор — корректор, т. е. (14.65) 11+'=0.5[11+11+ ( — ) Ы~, (14.66) где 1 = (р, и), а значения д1/д! получаются из уравнений (14.63), (!4.64), в которых д1/дх; аппроксимируются по следующим правилам: На шаге предиктор 1л 1л ( — )1= д1 'тл дк )1 21л — Згл + !л 1-1 1-г Ьх если Лг (О, (14.67) если Лг > О.
На шаге корректор 211 + 811 ~ 11ег если Л, <О, (14.68) если Лг) О. (В;= 1. — 11 Порядок аппроксимации этой схемы, как и схемы Мак-Кормака, равен двум. Моретти !Моге(11, 1979] показал, что некоторая эквивалентная структура может быть получена в случае более одной пространственной переменной или для стационарных двух- и трехмерных течений. Моретти предостерегает, что Ч 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения 189 (14.69) (14.70) предложенная схема непригодна для корректного сквозного расчета внутренних скачков, но с ее помощью можно проводить расчеты течений около тел сложной геометрии, подобных изображенному на рис. 14.21.
В работах [Радопе, Маро!11апо, 1983, 1985] разработан неявный вариант Х-схемы для решения уравнений Эйлера, описывающих изэнтропические сжимаемые течения. Хотя этот метод более эффективен, чем описанная выше явная формулировка, он допускает при расчете стационарных трансзвуковых течений наличие лишь слабых скачков. Очень хороший обзор Л-схем сделан в работе [Маро(!(апо, 1986]. Преимущества метода состоят в его широкой применимости и возможности постановки граничных условий, совместимых с теорией характеристик. Основной недостаток связан с неконсервативностью, вследствие чего данным методом невозможен правильный сквозной расчет скачков.
Однако кажется возможным [Вабопе, Мак!, 1986] введение на скачках корректирующих членов, позволяющих точно рассчитать интенсивность ударных волн. Таким образом, модифицированная 2.-схема становится эффективной и при расчете стационарных траисзвуковых течений. В описанном выше подходе необходимо выбрать соответствующую форму уравнений и зависимых переменных так, чтобы характеристики (14.62) появлялись явным образом. Данный подход может быть обобщен на уравнения Эйлера (14.94), записанные в неконсервативном виде — +А — + — =О, дч дч да д1 дк ду где А =дР/да, В =дб/т)а.
Элементы матриц А и В определены в (14.99). Собственные числа Х„матрицы А определяют характеристические направления Нх/Ж, а собственные числа Хв матрицы В определяют характеристические направления т!у/Ж. Матрицы А и В можно представить в виде А = ТЛл Т ' + ТЛл Т = А+ + А, В = ВЛ+8-'+ ВЛ;8-' = В'+ В, где Т и 8 — матрицы левых собственных векторов [1заасзоп, Ке!!ег, 1966] матриц А и В; Лл и Лл — диагональные матрицы положительных и отрицательных собственных чисел А; аналогично для матриц Лв+ и Лв. Следовательно, уравнение (14.69) может быть записано в виде ч +А+ ч +А- ч +Ве ч !  — ч 0 (1471) дт дх дх ду ду !90 Гл.
14. Неиязкие течения где дй/дх аппроксимируется разностями назад в членах, умноженных на А+, и разностями вперед для членов, умноженных на А-. Аналогично для В+дй/ду и В-де)/ду. Такая формулировка является обобщением ),-схемы [СЬакгачаг()1уе! а!., 1980). Можно отметить, что представление (14.71) не является консервативным, что не обеспечивает правильного сквозного расчета скачков. Однако, если вклады в потоки дгг+/дк = = А+де(/дх построить и дискретизировать так, как описано выше, получится предложенный Стегером и Уормингом [8(ецег, багги!пд, 1981) метод расщепления вектора потока, пригодный для сквозного расчета разрывов.
Схемы расщепления вектора потока, однако, являются менее экономными, чем схемы Х-типа. Схемы расщепления вектора потока и схемы расщепления разности потоков [Оз(гег, Ьо1о1поп, !982) позволяют получать монотонные профили ударных волн без введения искусственной вязкости. Однако для получения резких неосциллирующих профилей необходимо введение некоторых иных дополнительных процедур. При введении этих дополнительных процедур явдые варианты всех. этих схем становятся не столь экономичными„ как схема Мак-Кормака, но зато можно добиться второго порядка точности [Наг1еп, !983] при удалении от разрывов.
Некоторые примеры таких схем описаны в следующем разделе. 14.2.6. Расчет сильных скачков Во всех задачах, связанных с распространением взрывных волн (т. е. существенно нестационарных), возникают очень сильные скачки. Для численного моделирования таких задач более предпочтительными оказываются методы расчета, основанные на физической природе явлений, такие, как методы Годунова или Глима [Но!1, 1984; Реуте1, Тау!ог, 1983). Метод Годунова можно рассматривать как метод конечного объема ($5.2), в котором предполагается, что каждые две соседние точки СЕТКИ (ХЬ Хгеы) РаЗДЕЛЕНЫ В ТОЧКЕ Х1+ПЯ УДаРНОй ВОЛНОЙ ИЛИ волной разрежения. Это позволяет использовать известные точные решения таких модельных задач для оценки потоков, например Р, в уравнениях движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
