Fletcher-2-rus (1185919), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Для сверхзвуковых течений, содержащих ударные волны, из условий Ренкина — Гюгонио, например (! 1.1!О), можно определить изменение характеристик течения при переходе через скачок и связать эти изменения с численными схемами, пригодными для расчетов в областях, не содержащих ударных волн. Подобные подходы часто называются схемами с выделением скачка. Однако в сложных течениях, например конус под углом атаки, возникают вторичные скачки [Р!е!с)1ег, 1975), положение которых заранее неизвестно. Усложнение логики, необходимой при численной реализации схем с выделением скачка в случае сложных течений, делает их применение менее эффективным.
При записи уравнений в консервативной форме, например (11.116), и при использовании дискретных преобразований, сохраняющих массу и т. д., возможно получить решение, удовлетворяющее слабой форме (5.6) исходных уравнений. Как показали Лаке и Вендрофф [1.ах, Жепдго!1, 1960), решения уравнений, записанных в слабой форме„автоматически удовлетворяют условиям Ренкина — Гюгонио на любом скачке, который может возникнуть в потоке. Ударные волны являются наиболее распространенным типом таких разрывов. Следовательно, решение дискретных уравнений автоматически улавливает поведение ударных волн, как их интенсивность, так и скорость распространения в нестационарных течениях.
Основная трудность применения методов сквозного счета состоит в получении резких профилей изменения переменных при переходе через скачок без введения специальных процедур, неизбежно уменьшающих экономичность метода в целом. 14.2.2. Схема предиктор — корректор Мак-Кармана Чрезвычайно эффективным методом расчета невязких сверхзвуковых течений, особенно при разработке алгоритмов сквозного счета стационарных течений, является явная схема предиктор — корректор Мак-Кормака [МасСотгпас)4, 1969), Эта 4 !4.2.
Сверхзвуковые невязкие течения 173 схема может быть проиллюстрирована на невязком уравнении Бюргерса (10.2), записанном в консервативном виде ди дР— + — =О, дт дк (14.28) где Р= О.биз. На первой стадии (предиктор) вычисляется промежуточное значение и'. * л Ыт л лт иу = ит — ~„(Р1е~ РИ На стадии корректор и'.*+' = 0,5(и" + и') — — (Ру' — Р',). (!4.30) (14.29) (14.31) где А = дР/е(и. Для векторного уравнения, эквивалентного (14.28), например (10.40), матрица А имеет элементы дР;/диь Соответствующее условие устойчивости имеет вид ~Ле( —,(1, /г=1, 2, ..., а, Ы где Ле — собственные числа матрицы А.
Схемы Мак-Кормака и двухшаговая схема Лакса — Вендроффа могут рассматриваться как члены семейства Я, введенного в работе 11.ега1, Реуге1, 1975]. Параметры а и 8 определяют, где на дискретной сетке (х, 1) эффективно определяется ай (рис. 14.16). Схема Мак-Кормака соответствует ее = 0 и 5 =0 или 1.
Семейство Яв описано в работе [Реуге1, Тау!ог, В этой схеме на каждой стадии используются односторонние разностные формулы, но вклады в ошибку аппроксимации сокращаются и в результате получается схема второго порядка точности по времени и пространству. При перестановке направления разностей Р в (14.29) и (14.30) получается эквивалентная схема. Концептуально схема Мак-Кормака сходна с двухшаговой схемой Лакса — Вендроффа (10.11), (10.12).
Фактически для линейных задач, например (9.2), схема Мак-Кормака сводится к одношаговой схеме Лакса — Вендроффа. Чтобы получить устойчивые решения по формулам (14.29) и (14.30) для частного выбора Р = 0.5из, шаг по времени должен быть ограничен условием тхг ( Лх/и, т. е. /х1 ограничено условием КФЛ (п. 9.1.2).
Если Р(~и) в (14.28) имеет более общий вид, ограничение на шаг по времени для схем Мак-Кормака и Лакса — Вендроффа принимает вид ~ А(и) ! — (1, Гл. !4. Невязкие течения 1983]. Все схемы семействаЯа консервативны, что необходимо для правильного расчета интенсивности и скорости распространения скачков методом сквозного счета. Необходимость записи уравнений в консервативном виде и использования консервативных разностных представлений мо- н+1 абт ) )+]1 ]+1 Рис. !4.!6. Эффективное положение точек семейства ое. й' жет быть показана на примере невязкого уравнения Бюргерса (14.28). Для начальных условий и=а при 1=0 и — оо <х~~0; и=Ь при 1=О и 0<х~+оо точное решение имеет вид и=а при х<Ур1; и=Ь при х) Ург, где Ур — скорость распространения, которую следует определить.
Если Е достаточно велико, так что изменение и попадает внутрь этого отрезка, то из (!4.28) следует — ~ и !(х = [О.бит]', = 0.5 (а' — Ь'). (14.33) -с Но, с другой стороны, — ~ и с(х = У ] — и] с, = 0.5У (а — Ь), д д! -а — с и поэтому где ( ] означает изменение величины при переходе через разрыв. Если аппроксимировать (14.28) по схеме Мак-Кормака 4 14.2. Сверхзвуковые невязкне течения 1то (14.29), (14,30) и исключить промежуточное решение, то ат + 2ах 0.5 дхт[и,(Р,+, — Р,)— дтз — и (Р— Р(,)т + 025 М„, [(Р, — Р))з — (Р— Р(,)г = О. (14.35) Если вычислить д/д( ~ ие(х по правилу средней точки, то -с с — ~ и С(Х = — [0.5(ил,+' — ил) + (ил "1 — ил)+ + д Г Ьх + (ил'-~ ил ) «-0 5(ил+1 ил)) Сделав подстановку из (14.35) и произведя внутренние сокращения, можно получить — ~ и с(х= О 25 [ — (Ро+ 2Р, + Рз)+(Рч 1+ 2Рн+ Рн41))+ д + О (бх) = 0.5(аз — Ьз)+ О (Ьх), т. е.
сохраняется (14.33). Результат точен, если Ро = Рт = Рз и Ри-1 = Ри = Ри+ь (14.37) 14.2.3. ЬНОСК: программа расчета движущихся ударных волн В настоящем разделе будет рассмотрено применение схемы Мак-Кормака и двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа для расчета распространения ударной волны в нестационарном одномерном потоке.
Будет продемонстрировано применение искусственной вязкости для получения гладкого профиля ударной волны. Движение ударной волны в одномерном невязком потоке описывается уравнениями — + — =0 др д (ри) д( дх — + — (ри + р)=0, д (ри) д д( [Р (е+ 2 и )1+ д (~ [Р (е + 2 и ) + РЯ = О.
(14 38) Данные уравнения представляют в консервативной форме уравнения неразрывности, х-компоненты импульса и энергии; они 176 Гя. 14. Невявнне течения аналогичны системе (11.1!7) без членов т и Я. Для идеального газа, например воздуха, удельная внутренняя энергия может быть представлена в виде е= с„Т = (14.39) где у — отношение удельных теплоемкостей. Если учесть (14.39), то очевидно, что уравнения (!4.36) — (!4.38) содержат три зависимые переменные: и, р и р. Для задачи о движущейся ударной волне необходимо определить граничные условия Дирихле для и, р и р перед волной и за ней. Они имеют вид и=и„ р = р„р = р1 при х = хь (14.40) и = и, = О, р = рт, р = рт при х = хт.
При 1=0 ударная волна расположена в точке х=х,. Следо- вательно, соответствующие начальные условия имеют вид и(х, 0) =и,, и(х, 0) =О, р(х, 0)=р„р(х, 0)=р, прн х,~~х(~хв, р(х, 0) =р„р(х, 0)=р, при х,(х(хт. (14.41) Точка х = х~ расположена далеко вверх по течению от скачка, а точка х = хт — далеко вниз. В качестве параметров обезразмеривания зависимых переменных удобно выбрать их значения в области, расположенной вниз по течению от скачка.
Поскольку реа2 ур2 (14.42) уравнения (!4.36) — (!4.38) могут быть записаны в компактном безразмерном виде —,+ —,=О, дч дт д!' дх' (14.43) где (14.44) г =а,—. С ' и, р, х и= —, р= —, х= —, ат ' р, ' Ь ' Р р =— Рч Штрих означает безразмерную величину. р р'и' р'/(у — 1) + Р (и')' р'и' г= р (и) +р/т [р'у/(у — 1) + О.бр'(и')е) и' $ 14.2. Сверхзвуковые иевязкие течения 177 Граничные условия (14.40) виде и,, Р~ и= —, р= —, из ' Рт записываются в безразмерном р'= — ' при х'= — ', Р~ Рт 1 (14. 45) при х' = — '. 2 и,'=О, Р2 Отношение давлений р1/ря является основным параметром этой задачи и определяет интенсивность скачка и скорость его распространения. При заданном отношении давлений граничные значения и', и р', получаются из соотношений Ренкина — Гюго- нио [Б!ертапп, ГхозИо, 1957) и', = ( Р' — 1) ~2/[у(у+ 1) — '+ у (у — 1ф (1+ (у+1) Рт)~((у+1) ! Рт) (! 4.46) Для оценки точности численного решения (14.43) — (14.45) необходимо найти скорость скачка, зная которую, можно определить его положение.
Безразмерная скорость распространения ударной волны получается из соотношений Ренкина — Гюгонио (14. 47) Штрихи далее будут опускаться. По истечении времени 1 точное решение будет иметь вид и,„(и, х)=и,, р,„(х, г)=р, при х,(~х(хе+и,~, (14,48) и,„(и, х)=0, р,„(х, 1)=рз при хе+и„г(х(хз.
2. Схема Лакса — Вендроффа и~+из — — 0.5 (41," + н~„) — 0.5 ах ~Р1+, — Р11, Ы (14.51) (14.52) 12 К. Флетчер, т. 2 В программе ВНОСК для решения (14.43) схема Мак-Кормака и двухшаговая схема Лакса — Вендроффа реализуются следующим образом: 1. Схема Мак-Кормака л ат т л лт ах ( й";+~ = 0.5(2!";+41~) — 0.5 — (Рг~ — Рг ~1.
(14.50) 175 Гл. 14. Невязкне течения Собственные числа матрицы А=дг/дс) для (14.43) и (14.44) равны А = и, и+ а, и — а. Следовательно, условие устойчивости для обеих схем имеет вид (!и!+ а)А!/Ах (1. Таблица 14.3. Параметры, нспользуемые программой 5НОСК Параметр Описание 1МЕ Описанные выше схемы реализованы в программе ЯНОСК (рис. 14.17). Назначение параметров, используемых в программе, поясняется в табл. 14.3. Типичные профили ударной волны, рассчитанные по программе ЬНОСК, приведены на рис. 14.18. Эти решения были получены при !О! пространственном узле и Ах =00!. Граничные условия (!445) используются при х! — — 0 и хх = 1.0.
Шаг по времени Л! = 0.002, ударная волна 1ГСТ 1РР )ЧХ )ЧТ ОТ ОХ ОАМ РкАТ 5НЯТ 5НБ БН Г)Ч О, мН, Р, Т О, Г ОО Е)Ч 1. 1Н., ОьМ Т!М УЕХ ЕТА, ЕТ!, ЕТ2 Ер)(), ЕМУ, ОГ ГСТ =1 схема Мак-Кормака; =2 схема Лаков — Вендроффа = 1 используется коррекция потоков (ГСТ), и. 14.2.7 > 1 печатается и', р', р', Т', >2 печатается Я, Г Число пространственных узлов Число шагов по времени Шаг по времени Ы' Шаг по пространству бх' Отношение удельных теплоемкостей у Отношение давлений ра/ра Положение скачка прн !' = О Скорость скачка и„/а, 1оложенне скачка в момент Г = )ЧТ.АГ и', р', р', Т', (14.44) Ч", Ч"+', Г", Г*, (14.49) — (14.52) че, (14.49) Искусственная вязкость т, (14.53) ЬЧ(", ЬЧ(+а, (14.54) Время Г а Точное значение скорости и „ прн Г = НТ.А( Параметры, используемые в ГСТ, табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
