Fletcher-2-rus (1185919), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Оригинальная схема Годунова имеет лишь первый порядок точности, скачки сильно размазываются. Ван Лнр [Чап (.еег, 1979) предложил вариант схемы Годунова второго порядка, позволяющий получить крутые фронты ударных волн. В работе [Со1е!!а, %ообтчагд, 1984) предложено обобщение схемы типа Годунова более высокого порядка, использующее кусочную параболическую интерполяцию. В работе [Жоодчгагг), Со!е1!а, 1984) приведены результаты применения этого й 14.2.
Сверхзвуковые иевязкие течения 191 метода к задаче о взаимодействии двух взрывных ударных волн. Показано, что при использовании однородных сеток метод позволяет очень хорошо разрешить весьма тонкие детали течения. Однако метод примерно в пять раз медленнее метода Мак-Кормака с искусственной вязкостью. Поэтому большой интерес представляют более экономичные схемы, аппроксимирующие лишь некоторые физические характеристики, присущие схеме Годунова [Кое, 1981; Наг1еп, 1983; т'ее е1 а!., 1985]. Здесь будут лишь кратко описаны схемы коррекции потоков Бориса и Бука (Вот)з, Воок, 19?3], пригодные для расчета сильных скачков, поскольку такие схемы можно рассматривать как обобщение простых схем предиктор — корректор, подобных схеме Мак-Кормака, т. е. будут описаны наиболее экономичные варианты метода коррекции потоков. Численное представление ступенчатых профилей, связанных с сильными ударными волнами в невязких течениях, весьма затруднительно.
Как уже отмечалось в $ 9.2, введение разностей против потока приводит к появлению сильной диффузии, сглаживающей ступенчатый профиль. Схема Лакса — Вендроффа приводит к появлению дисперсиониых ошибок, которые проявляются в виде ряби на каждой стороне ступеньки. Расчет плотности по такой схеме может привести к появлению отрицательных (физически нереальных) значений. Борис и Бук разработали метод коррекции потоков как обобщение схемы предиктор — корректор.
На шаге преднктор вносится сильная диффузия, а на шаге корректор — ей равная (почти) антидиффузия. Однако антидиффузия ограничена так, что в решении не возникает новых минимумов и максимумов, а имеющиеся экстремумы не усиливаются. Данный ограничивающий шаг очень важен, поскольку он сохраняет положительность решения там, где это необходимо, и позволяет диффузии, введенной на шаге предиктор, уничтожить дисперсионную рябь.
Метод коррекции потоков может быть пояснен на примере применения его к одномерному уравнению неразрывности (ПЗ0): ++ ~ (ри)=0. (14.72) Для простоты скорость и будет считаться постоянной, тогда (14.72) совпадает с (9.2). На шаге предиктор для вычисления р1 из (14.72) используется следующий конечно-разиостный алгоритм: р," = р," — 0.5С (р,", — р1,) + (ч + 0.5С') (р,"т, — 2р", + р,",), (14. 73) 192 Гл.
14. Невявкие течения где С= ибг/Лх, а т — положительный диффузионный коэффициент. Обычно и = 1/8. Если т =О, получается схема Лакса— Вендроффа (9.16). В принципе антидиффузия на шаге корректор может быть введена следующим образом: р"+'=р* — р(р* — 2р'+р' ) (14. 74) где возможен очевидный выбор р =т. Однако, для того чтобы обеспечить консервативность схемы и в случае переменной скорости, полезно ввести в рассмотрение антидиффузионный поток массы / ч ц, — — р (р'~, — р1), 71 пя —— р (р' — р* ,). (14.75) Если границы ячеек определены в точках х; пв = 0.5(х; ~ + х;) и хи.,д =0.5(х;+ хны), то !'; пя является антидиффузионным ПОТОКОМ МаССЫ ЧЕРЕЗ ГРаНИЦУ Х; ПВ! аНаЛОГИЧНО ДЛЯ [1+1дн Сущность схемы коррекции потоков состоит в замене )1+ыя в (14.75) на [1ч пв = э! цп (бр!+ не) Х Х шах(0, пни[бр! цяз!дп(бр;„не), р [Лр1+щ [, Лр1+зм з!дп(бр1еця)[), (14.76) где /зр.
е и. = р*, — р*, а з(пп К = К/! К [. Эквивалентная формула используется и для замены [; ыя в (14.75). Уравнение (14.76) является количественным выражением невозможности образования на стадии введения антидиффузии новых максимумов или минимумов, как это требовалось выше. На конечной стадии выражение (14.74) заменяется на Р1 = Р1 71+не+ 71-ця' (14.77) Схема (14.73), (14.75) — (14.77) устойчива при выполнении условия С= и(Ж/Ьх) ( 0.5.
(14.78) Это ограничение на б! более сильное, чем в схемах Мак-Кормака и Лакса — Вендроффа. Для уравнений, описывающих одномерные невязкие несжимаемые течения (14.36) — (14.38),в работе [Юообтчате(, Со!е!!а, 1984[ рекомендуется использовать несколько более сильное условие: ([и[+а)б!/Лх(0.4, где а— локальная скорость звука. Влияние выбора р = т показано на рис. 14.23. Значение р = т = 0.125 близко к оптимальному, поскольку при этом обеспечивается минимум диффузионной и дисперсионной ошибок.
Следует отметить полное отсутствие осцилляций. 193 6 14.2. Сверхзвуковые невязкие течения Борис и Бук (Вопз, ВооК 1976] рекомендуют выбирать т в (14.73) и )й в (14.74) так, чтобы дисперсионные ошибки, возникающие при дискретизации уравнений, были минимальны. Эти значения могут быть получены из рассмотрения ошибок аппроксимации, как это сделано в 9 9.2. Конкретные выражения Р 2 2 40 50 60 70 40 50 60 70 60 Намер ячеек Немей ячейки Р 2 О ,, 0 40 50 60 70 80 90 1Оо 40 50 60 70 60 90 100 Намер ячейки Намер ячейки Рис.
14.23. Сравнение схем коррекдии потока при ступенчатом распределении плотности; р = т = 01ГГСОЕРяА.Е.= абсолютная ошибка, РНЕОХ1САЕ ЗНАЯТА = схема Лакса — Вендроффа для (14.72) ([Воо)г е1 а!., 1975); печатается с разрешения Асаньею)с Ргезз). зависят от схемы, к которой применяется процедура коррекции потоков. Борис и Бук !Вот!3, Воо)с,!976) проанализировали схемы с разностями против потока Лакса — Вендроффа и «чехарда» и рассмотрели варианты явного и неявного введения антидиффузионных членов.
Для схемы (14.73) — (14.77) рекамендуются следующие значения: 1 Сз ч= — +— (14. 79) 13 К. Флетчер, т. з 194 Гл. 14. Незязкие течения Метод коррекции потоков применим и в случае многих переменных. Обобщение метода можно найти в работах [Еа!еза!с, 1979, 1978; Воо)с, 1981]. Залесак предлагает иную интерпретацию метода коррекции потоков (РСТ). Первый шаг, заменяющий (14.73), осуществляется по схеме низкого порядка, гарантирующей отсутствие осцилляций.
Антидиффузионные потоки, заменяющие (!4.75), вычисляются как разность между дискретным представлением потока высокого порядка и тем же представлением низкого порядка, которое использовалось при замене (14.73). Ограничение антидиффузионных потоков, эквивалентное (!4.76), в этом случае обеспечивает решение с аппроксимацией потоков высокого порядка, за исключением точек, где это привело бы к ложным осцилляциям.
Хотя метод коррекции потоков эффективен при построении неосциллирующих скачков, трудно дать его строгое теоретическое обоснование. При разработке схем сквозного счета должны выполняться следующие условия [Наг1еп е1 а1., 1983]. Численные схемы для решения скалярных уравнений сохранения, подобных (14.28), должны сохранять монотонность и сходиться к физически корректному решению. Например, численные схемы не должны приводить к появлению ударных волн разрежения (см.
рис. 14.28). Схемы, отбирающие физически корректные решения, допускающие разрывы лишь в виде ударных волн или контактных разрывов, называются схемами, удовлетворяю- и(ими энтропийному условию. Концепция сохранения монотонности решения тесно связана с идеей невозможности появления ложных максимумов или минимумов, т. е. осцилляций, развивающихся со временем. Таким образом, если начальные данные и' являются монотонной функцией хь решение и" в последующие моменты должно оставаться монотонной функцией хь Однако не существует монотонных схем с порядком аппроксимации по пространству выше первого'>. Следовательно, такие схемы обладают большой диффузией, профили ударных волн сильно размазываются н точные решения могут быть получены лишь на недостижимо мелких сетках.
Таким образом, при использовании схем, сходимость которых строго доказана, на конечных сетках можно получить лишь неточные решения. Повышение точности без потери строгого теоретического обоснования может быть достигнуто путем замены условия сохранения монотонности условием уменьшения полной вариации ТЧР [Наг1еп, 1983] (сокращенно от английского То1а1 Чаг!а- о Это относится к линейным разностным схемам. Порядок нелинейных монотонных схем может быть выше первого.— Прим. ред. 1вгр $14кп Сверхзвуковые невязкне течения 4!оп Игп(п(зЫпд).
Полная вариация численного решения опре- деляется следующим образом: Ю ТЧ (ив) = ~, ~ и"~, — и" ~. (14. 80) Следовательно, численная схема будет схемой ТЧ11, если ТЧ (ив ") ~( ТЧ (ив). (14.81) где ~;ецг=0.5С(! — С)(р1+~ — р1) и аналогично для 11 Уравнение (14.82) можно рассматривать как замещающее уравнения (14.73) и (14.74). Таким образом, разность против потока первого порядка заменяет (!4.73). Если бы не было члена (1гчцг — 11-цг), схема (14.82) сохраняла бы монотонность (и, следовательно, была бы ТЧР). Член (1;+цг — 1; цг), состоЯ- щий из антидиффузионных потоков, эквивалентен (14.74) и (14.75) при соответствующем выборе Р. Однако полная схема Лакса — Вендроффа не является схемой ТЧО; она дает осциллирующее решение на сильных скачках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
