Fletcher-2-rus (1185919), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В работе [Рц1Иагп, 1985] приводится следующая формула, ком- Для дозвуковой выходной границы в случае потока, параллельного оси х, в работе [Вау!1зз, Тпгке!, !982] рекомендуется использовать следующее граничное условие: 1 др р а~ к ди у да 1 (ат — цт )и' д1 ав — цт д дт ! д дг 2д (~ (14.! 10) где с1з = (1 — М' ) х'+ у'.
Применение условия (14.110) требует знания р, (/ и а„. В той же работе авторы указывают, что эти величины можно взять из решения на предыдущем шаге по времени. Очевидно, в стационарном случае условие (14.110) сводится к р = р , где р — определенное на внешней границе давление. Другое граничное условие на выходной границе, предложенное в работе [Кпбу, 8!г!ктчегда, 1981], имеет вид $14.2. Сверхзвуковые вевяэкве течения 2!1 пенсирующая изменение сетки по пространству: д!а б!!и†(7)1/2 где У вЂ” якобиан (12.3).
С другой стороны, М~„выбирается из условия постоянства эффективного числа Куранта, т. е. дх а (14. 115) где и =(и'+ о') пэ, а А имеет обычно порядок 0(10). Для стационарных течений с более сильными скачками предпочтительней для нахождения стационарных решений в методах установления с приближенной факторизацией, аналогичных (14.105), (14.106), использовать неявные схемы ТЧО (п. 14.2.6). Подобные алгоритмы описаны в работах [ананд е1 а1., 1986; С!та!4гачаг1Ьу, 1986].
Неявные схемы решения уравнений Эйлера с небольшими модификациями применимы и для решения уравнений Навье— Стокса. Многие из методов, описанных в гл. 18, применимы и к уравнениям Эйлера. (14.!!4) 14.2.9. Многоееточные методы решения уравнений Эйлера 1!к При определении стационарных решений уравнений Эйлера для ускорения сходимости можно использовать многосеточные методы (п. 6.3.5). Здесь будет описан алгоритм [!х!1, 1982], в котором нестационарные уравнения Эйлера интегрируются по времени до стационарного состояния по явной схеме. Прн многосеточиом подходе сильное ограничение на шаг по времени, связанное с использованием явной схемы, не столь существенно, поскольку интегрирование на грубой сетке позволяет быстро пройти промежуточные стадии решения.
В алгоритме используются одношаговые разности по времени Лакса — Веидроффа (10.10) второго порядка точности и дискретизация по методу конечного объема ($ 5.2). Работа алгоритма будет продемонстрирована на однородной декартовой сетке (рис. 14.27). Обобщение на случай неоднородной сетки производится очевидным образом [%, 1982; На11, 1984]. Отправной точкой являются двумерные нестационарные уравнения Эйлера 41! = — (ох+ Вв), (14.116) где о, Г и б определяются уравнениями (11.117), в которых следует опустить члены с т и Я.
Применение метода конечного объема (п. 5.2.1) к контрольному объему (1+ 1/2, й+ 1/2) и дискретизация по времени 212 Гл. 14. Невяакие течения первого порядка позволяют построить следующий алгоритм для расчета изменения о в центре контрольного объема (рис. 14.27) а! Лс(1ьпт, а+па = — 0 5 — [(Р1+ на + Р1ьь аь~) — (Рь а+ Рь аь~)]— ас — 05 — [(бь аь~ -!- 01ьь аь~) — (Оь а+ 61ьк а)]. (14.117) Выражения, эквивалентные (14.!17), могут быть записаны для четырех контрольных объемов, окружающих точку сетки (1, и). 3-1 1+1 К+! а+! я+1 ]! 1-'1тт -4~. = ~Ь+/а «+/21а Ч ! ! Ч1в+Ув !и %!к )и ! ак ! - ~ !! 1 ! к /,"----Н-- — -~а ~/, 3 lаьдп аЩ+уа ! (! 0-1 [1) Рис.
14.27. Соответствие между контрольным объемом и точками сетки. При приближении к стационарному состоянию правая и левая части (14.117) стремятся к нулю. Поэтому величина Ьй1+пт,а+па пропорциональна стационарной разности, связанной с контрольным объемом (1+ 1/2, и+ 1/2). Это соответствие будет использовано ниже при построении многосеточного алгоритма. Величина коррекции в узле бйь, может быть получена как среднее величин Ас! четырех окружающих контрольных объемов. Желательно, однако, ввести дискретизацию по времени также второго порядка. Это можно сделать при помощи одношаговой схемы Лакса — Вендроффа (10.10). Дискретизация по времени системы (14.1!6) в точке (1, й) принимает вид бЧла= — АГ(Р„+ бв)па+ 0.5ЛГт([А(Р„+ бв)]„+ + [В(Р„+ бв)]н)! ы (14.118) $14.2.
Сверхзвуковые невязкие течения 213. где А и  — матрицы Якоби дГ/дт1 и дб/дй; Г = дГ/дх и т. д. Первый член в правой части может быть получен в результате осреднеиия по окружающим контрольным объемам. Согласно (14.117), — Лт (Гх + бу)1, е = 0 25 (Ле(1- цз, е — цз + Ле(1 — ца е ч цх + + Лат+ де х+ 1 + Лат и, 1). (14.119) Используя (14.116), можно получить А(Гх+ бу) = — Ай~ В(Гх+ бу) = — Впт Отсюда, если ввести 11~ = Лй/Л1, получим Л1 [А (Г„+. С„)]„= — (А Ло)„— (ЛГ)„, Лг [В(Г„+ б„)]„= — (В Лп)„= — (Лб)„, (14. 120) где ЛГ и Лб означают изменения Г и С за один шаг по времени„соответствующие изменению Лй.
Члены (ЛГ)х, (Лб)у в точке (1, й) определяются по методу конечного объема на контрольном объеме, ограниченном (1 — 1/2, й — 1/2), (1'+ 1/2, й'— 1/2), (1+ 1/2, й+ 1/2) и (1 — 1/2, й+ + 1/2), как показано на рис. 14.27. В результате получается выражение Л(Г)х ~ [0.5 (ЛГ14 не, х+ця+ ЛГ1ецк е-цх)— 1 — 0.5(ЛГ1 цв ечця+ ЛГ1 цв е це)] — (14.121) и аналогично для (Лб)у. Подстановка (14.119) — (14.121) в (14.118) позволяет постРоить следУющий алгоРитм Расчета изменениЯ 11ь е. Ье)1, з = 0.25 ~ ~Лй + — х ЛГ + — ЛС1 + Очевидно, (14.122) можно трактовать как определение измене- ииЯ йь х пУтем осРеднениЯ изменений в пРилежащих контРольных объемах. В работе [%, 1982] рассматриваются отдельные вклады в (14.122) как формулы распределения, поскольку путем перемещения контрольного объема можно получить его влияние на четыре окружающие его точки.
Гл. 14. Невязкие течеиия 214 Основной алгоритм состоит из уравнения (14.117), определяющего изменение в контрольном объеме, и уравнения (14.122), определяющего изменение в точке сетки. Алгоритм имеет второй порядок точности по времени и пространству. Для устойчивости должно выполняться следующее ограничение на шаг по времени: дя Ьу отеъш!П( (! )-1-а) ' (! (+а) ~' Можно заметить, что зависимые переменные определяются в вершинах контрольного объема, а не в его центре, как это делается в $ 5.2 и п. 17.2.3. Возможна также дискретизация (14.116) по методу конечного объема с определением зависимых переменных в центрах контрольных объемов [Лагпезоп е1 а!., 1981! .
Однако расположение вершин контрольного объема в узлах сетки имеет свое преимушество [Мог1оп, Ра!з(еу, 1986]. Во-первых, при использовании неоднородных сеток точность, как правило, выше при расположении вершин в узлах сетки. Расположение узлов сетки в центре объема часто приводит к появлению осцилляций в решении (п. 17.2.3). Если не используются разнесенные сетки, обычно для подавления осцилляций приходится вводить дополнительные диссипативные члены [Латезоп е( а!., 1981[.
Расположение точек в вершинах гораздо менее чувствительно к появлению осцилляций, хотя при наличии скачков также рекомендуется введение дополнительных диссипативных членов [%, 1982[. Возможно, что наибольшее преимущество связано с граничными условиями, которые могут быть поставлены непосредственно при расположении узлов сетки в вершинах, поскольку в этом случае точки сетки совпадают с границей.
При расположении узлов сетки в центре контрольного объема узлы с границей не совпадают (п. 17.1.3). Для ускорения сходимости к стационарному состоянию желательно на достаточно мелких сетках, обеспечивающих необходимую точность, использовать большие, чем допускаемые условием (14.123), шаги по времени. Многосеточный подход позволяет осуществить это путем применения (14.122) иа последовательности более грубых сеток с увеличенным в соответствии с условием (14.123) значением А! „. При этом ненужные не- установившиеся возмущения быстро проходят через расчетную область и выходят за ее пределы через удаленные границы.
Внутри области остается сходящееся стационарное решение. В отличие от многосеточного алгоритма, описанного в п. 6.3.5, для нахождения стационарных решений уравнений Эйлера ис- 215 $ !4.2. Сверхзвуковые вевязкве течеявя пользуются более простые многосеточные алгоритмы. Ниже будет кратко описан метод Ни !%, 1982). На промежуточной сетке изменениейй в контрольном объеме рассчитывается не по формуле (14.117), а получается путем сужения добавки 64( +' в узле следующей более мелкой сетки, т. е. ЛЯ вЂ” 1тет! бч (!4.124) где 1 +1 — оператор сужения (п. 6.3.5).
Последовательность более грубых сеток строится путем исключения линий сеток таким образом, чтобы центры контрольных объемов на более грубых сетках совпадали с узлами более мелкой сетки. Из (14.117) и (14.122) можно заметить, что сужение добавок (14.124) эквивалентно сужению разностей (6.85). По полученным из (14.124) значениям Ле!" поправки, соответствующие узлам сетки бе!", получаются из (14.122).
Поправки затем либо интерполируются на самую мелкую сетку М, в результате чего получается поправка на самой мелкой сетке (14.125) либо используются для определения поправок контрольного объема следующей более грубой сетки, т. е. вновь используется (14.124) при т=тп — 1. Подцикл многосеточного алгоритма начинается на самой мелкой сетке М, последовательно сужается при помощи (14.124) иа более грубые сетки и интегрируется по времени при помощи (14.122), пока не будет достигнута самая грубая тп-я сетка. После этого решение на т-й сетке интерполируется по (14.125) обратно на самую мелкую сетку.
Каждый подцикл в отличие от 17-цикла, изображенного на рис. 6.21, представляет собой зуб пилы. Полный многосеточный цикл состоит из решения (14.117) и (14.!22) на самой мелкой (М) сетке с последующими циклами типа зуб пилы, пока не будет достигнута наиболее грубая (т = 1) сетка. Ни [191, 1982) использовал последовательность из четырех (М = 4) сеток.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
