Fletcher-2-rus (1185919), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Трансзвуковые невязкие течения 221 пропорциональной Лх. Поэтому переключение на разности против потока в сверхзвуковой области можно заменить явным введением искусственной вязкости в этих областях. Такой подход в сочетании с методом конечного объема использован в работе (Сапйцтеу, 19821. 14.3.3. Полное уравнение для потенциала .вид ях (р вх )+ и (,р' в 1=0, (14.!37) где ф' — возмущение потенциала, а плотность р' определяется уравнением (14.129). В дальнейшем штрих будет опущен.
На поверхности тела должно выполняться условие дф/дп = О, означающее обращение в нуль нормальной к поверхности тела компоненты скорости. При удалении от тела возмущение потенциала стремится к нулю. Уравнение (14.137) приводится к следующему дискретному виду: (14.! 38) 3 +т; =о, где (Рдф/дх)1ч.пз а = О 5 (Р1+ Р1.~) (ф1+~ — ф )/Лх и т.
дл Ть а искусственная вязкость, необходимая в сверхзвуковой области. Если направление течения в сверхзвуковой области примерно совпадает с направлением оси х, достаточно ввести искусственную вязкость только в направлении х. Тогда (рз+па а ~1 — пк а1 не= (14.140) где Рт е и, а = — (1х1 а Ьх) (1.хх (ф; а — еф. ~ а)), (ф...— 2ф,,+ф,„,,) х ххф1, а Ьхз Для стационарных трансзвуковых невязких течений более точные решения получены при использовании для их описания полного уравнения для потенциала (11.103). В двумерном случае это уравнение в безразмерной консервативной форме имеет 222 Гл.
14. Невязкие течения Как и раньше, р — функция переключения, однако в рассмат- риваемом случае /й=/и!п[0, р (! — —,)~. Таким образом, значение р изменяется гладко и отлично от нуля только в сверхзвуковой области. Параметр е определяется выражением е = 1 — ) Ах, которое обеспечивает второй порядок точности уравнения (14.138). Дополнительные диссипативные члены Ть й аппроксимируют дР[дх, где Р= — /й[(! — е)/)хф к+еЛх ф„кк1, т.
е. Т пропорционально дви/'дхв. Если направление течения сильно отклоняется от оси х, при его описании с помощью уравнения для полного потенциала появляется определенная трудность. В этом случае возможно существование сверхзвуковых точек, в которых ив<ай(и'+пя Это приводит к тому, что искусственная вязкость становится отрицательной. Это затруднение преодолевается путем введения дополнительных диссипативных членов, подобных Ть, в (14.138), связанных с локальным направлением потока. Наиболее просто это можно проиллюстрировать на примере уравнения (!4.126), которое в естественных координатах приобретает вид (14.127), где [и'ф + 2иефку + екф„Д кк уй (! 4.141).
[ф/ й — 2ф/ / я+ и/ я й) фкк Ькк [ф/, й ф/-ь й ф/. й- ~ + ф/-к й-/) (14.142т Фку 4дк Ьу [ф/.й ф/,й-/+ф/ й — 21 ауй Использованные точки указаны на рис. 14.30. Соответствующая схема для решения (14.137) более сложная, ее описание можно найти в работе [Затезоп, 1978]. Искусственная вязкость может быть также введена путем.
модификации р в (14.139). В работе [Но!з1, Ва!!Ьацз, !979) по- В сверхзвуковых точках центральные разности используются для аппроксимации фкк, однако для аппроксимации фкк, фку ифуу,. входящих в ф„, используются следующие разности против потока: $ 14.3. Трансзвуковые невязкие течения 223 /с+ ! Фпи 1с Фзз )-2 з-! ! 1+1 Рис. 14.30. Точки, используемые в (!4.142). где и = гпах(0, [! — аз/дз) ), оз =и'+ о'. Модификация плотности, подобная (14.143), часто позволяет построить более простой алгоритм для решения разностных уравнений. 74.3.4.
Трансзвуковые невязкие течения: обобщенные координаты Расчеты течений около тел, подобных аэродинамическим профилям или лопаткам турбины, приводят к необходимости введения связанных с телом систем координат (см. гл. 12), в которых в расчетной области (рис. 14.31) поверхность тела совпадает с поверхностью постоянного значения преобразованной переменной, например Ч.= т!з.
Методы построения соответствуюзцих точек сетки х($,т1) и у($,т1) рассматривались в гл. 13. В плоскости ($,т!) уравнения (14.137) и (14,129) принимают вид — (р'У') + — „(р'(т') = О, (14. 144) р'= т. (1+ 0 5(у — 1)М« ~! — (У' д +У' — )Д, (14.145) где Е/' и Ь" — (контравариантные) компоненты скорости в направлениях $ и т1, связанные с потенциалом скорости соотношениями (7 =А,— +А —, (т =А — +А,—, (14 !45) а дф дф с дф дф д$ дч ' д! дч ' казано, что (14.140) эквивалентно замене членов типа р;чыз « в (14.139) членами Ргьцз, « =(1 — ть «) рте цз, «+ ть «р1-ца ю (14.143) Гл.
14. Невязкие течения и, согласно (12.12), А, =~'„+ 5'„, А,=т)'„+ т)'„, Аз=5,т)„+ $р„; У вЂ” якобиан (детерминант) преобразования, определяемый выражением (12.3). Метрические коэффициенты, подобные с„определяются отображением (гл. 13). (Ь) В' С 1) Рис. 14.31. Обобщенные координаты. (а) Физическая область; (Ь) область расчета. Уравнение (14.144)', в дискретном виде записывается аналогично (14.139), т. е.
а+па,а (Р )~ — пз. а) ((Р )ь аепя (Р )ь а — пт) 9 б$ бп (14.! 47) Здесь рь и рр* — аппроксимации р* против потока. Так, р' „ определяется в случае положительной скорости (/' выражением (14.143), в котором следует заменить р на р*. При отрицательном значении У' используется аналогичная аппроксимация против потока, в которую входит р', . Выражения, эквивалентные (14.143) в направлении Ч(л), используются для аппрок- симации р. Направленная против потока аппроксимация плот- $ !4.3. Трансзвуковые невязкие течения 225 ности позволяет избежать введения дополнительных диссипативных членов, подобных Т/, а в (14.138). Значения плотности получаются из (14.145), для чего требуется определить 7, 1)е, дф/д$ и т.
д. в полуцелых точках сетки типа (/+ 1/2, й). Например, е А ! (и/чьи и/,а) т://Е!/2, З 1!/+!/2, а ' ак ' + +А ! /+ /' +' /+'/'а ' (14.148) +из где ф/+ит.ае! = 0 5(ф/,ве! + ф/+!,ае!). Таким образом, значения ф хранятся в узлах сетки. Метрические коэффициенты Ат, Аз, Аз и У аппРоксимиРУютсЯ по стандартным формулам второго порядка (и. 12.2.1) и хранятся в полуцелых точках сетки.
Для сохранения общей точности важно, чтобы метрические коэффициенты аппроксимировались без осреднения [Г!огез, 1983]. 74.3.5. Решение алгебраических уравнений Для решения алгебраических уравнений, возникающих при дискретизации уравнений типа (14.130) и (14.137), можно использовать модификацию метода 80К (9 6.3), получившую название метода последовательной линейной верхней релаксации 51.0К. Методом 510К (см., например, (6.64), (6.65)) на (и+1)-й итерации решается неявная система, определяющая поправки к решению, Лф/,ча' = ф";,+е' — ф/,м на каждой координатной линии у (линии постоянного значения /), Для этого используется метод решения систем с трехдиагональными матрицами (см.
п. 6.2.3) '!. В дозвуковой области для определения Лф/,+в помимо значений потенциала ф на /-й линии сетки, нужно знать величины ф;-!, а и ф/+1, а, В сверхзвуковой области, помимо значений потенциала ф на /-й линии, нужно знать величины ф/~2, е и ф; т, м Такая схема хорошо работает при решении трансзвукового уравнения малых возмущений (Мпгп/ап, 1973); в случае решения уравнения для полного потенциала она должна быть несколько модифицирована. Полезно представить схему релаксации в общем виде, т. е. в виде, аналогичном (6.51), 45 тт Метод ирогонки. — Лрим.
рад. !В К. Флетчер, т. 2 226 Гл. !4. Невявкие течения где ф — вектор значений фь е в точках сетки, К вЂ” остаток, полученный при подстановке ф в разностные уравнения, язв масштабный множитель, а Х вЂ” линейный разностный легко факторизуемый (обращаемый) оператор. Если Хф" является достаточно близкой аппроксимацией К, то скорость сходимости к решению будет высокой. Эквивалентной зависящей от времени интерпретацией является соотношение Р ~+ ы ®) ~Ф= 0, где /.— оператор стационарного дифференциального уравнения, которое следует решить.
Сравнение (14.!49) н (14.150) позво- ляет установить соответствие Кав/.ф, Ь45=Ьт —, Я=— дФ Г д! (14.151) Следовательно, К следует выбирать так, чтобы соотношение (14.150) представляло сходящийся и зависящий от времени про- цесс. Основываясь на этом подходе, типичную схему релаксации для решения уравнения (14.126), дискретизированного централь- нымн разностями в дозвуковой области и с помощью формул (!4.142) в сверхзвуковой, можно представить в виде .с, !Ьфк е — Ьф! ь «) + тя 1Ьфь е, ~ — 2 Ьфп е + Ьфь и 1).+ + тз Ьфб е = ЯЬ ы (14. 152) где ъ,=1/Ьх', !т,= 1/Ьуе, т =(2/ге — !)(т, +че); а — пара- метр релаксации. В работе (Лашезоп, !978] показано, что фактически по данной схеме решается уравнение (1 — М )'ф„+ ф„„= 2афм + уф„~ + уфь (! 4. 153) где а, р и у зависят от сь тя н тз.
Уравнение (14.152) эффек- тивно прн расчете дозвуковых областей. В сверхзвуковых обла- стях, чтобы сделать матрицу Х в (14.152) с диагональным пре- обладанием, аппроксимацию ф, ф,„и ф„„необходимо провести так, чтобы член (1 — М')ф„в (14.153) имел вид (1 — М') ф„+ 2 ( — ) (1 — М') ( — + — ~ фкь (14.154) Аналогичный подход введения зависимости от времени, эквивалентный (14.150), эффективен и при рассмотрении за- кона сохранения (!4.!37). Методы релаксации очень быстро сходятся в начале решения, но, как отмечено в п.
6.3.5, скорость сходимости сильно уменьшается при приближении к стационар- ному состоянию. $ !4.3. Трансзвуковые невязкие течения Другой подход реализуется в схеме приближенной факторизации (Ва!!Ьацз е! а!., 1978). По этой схеме Х в (!4.149) расщепляется на два легко обращаемых множителя. В применении к (14.150) это эквивалентно использованию схемы приближенной факторизации (8.23), (8.24). Факторизации подвергается система (14.149), в которой )гь „является остатком уравнения (14.147) после подстановки в него (14.!48).
В результате получается (а — Е! (р А~) С~ ) (а — (.ч+ (р*Ат) 1.„) Лф~,~а =па)7Ь м (14.155) где +1 11+! — 1! -1 1! — 1/-1 $ /= дев $!= Уравнение (14.155) решается в два этапа: 1-й этап: (а — 1~1(р'А~)11)дф;,а=ам)гьы (14.156) 2-й этап: (а — 1.л~'(р"Ат) 1.ч)дфь а=уф (14 157) На 1-м этапе уравнение (14.156) представляет трехдиагональиую систему уравнений, которую можно решить по очереди вдоль каждой линии сетки в направлении ~ при помощи (6.29)— (6.31).
На 2-м этапе уравнение (14.157) дает трехдиагональиую систему, которую можно решить вдоль каждой линии сетки в направлении т! последовательно. Уравнения (14.156) и (14.157) образуют алгоритм АР! [Ва!1Ьапз е! а!., !978], который аналогичен по форме алго.ритму АР! и схемам приближенной факторизации для зависящих от времени задач, описанных в 9 8.2. Однако более эффективное решение уравнения (14.155) осуществляется как следующий двухэтапный алгоритм (АР2): 1-й этап: (а — 1.,+, (р'Ая)) Афь а = аа)7ь ы (14.158) 2-й этап: (айч — 1.! (р'А,))дф";,+к — — Хфьм (!4.159) На первом этапе получается двухдиагональная система, которая при решении проходится в отрицательном направлении т1, на втором этапе — трехдиагональные системы в направлений которые решаются постепенно в положительном направлении т!о В работе (Но1з1, 1985) обсуждается вопрос практической реа-' лизации алгоритмов АР1 и АР2.
Параметры а и от выбираются так, чтобы ускорить скорость сходимости; из условия устойчивости следует, что ы должно 15* Гл. !4. Невявкие течения 228 лежать в диапазоне 0 ( т» ( 2 и обычно выбирается как можно большим (ет = 1.8 —: 1.9). Параметр а можно интерпретировать как 1/М. Следовательно, в принципе стационарное состояние будет достигнуто за наименьшее число итераций, если а выбрать как можно меньшим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
