Fletcher-2-rus (1185919), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Самая мелкая сетка состояла из 65 Х 17 узлов. Для расчета трансзвукового обтекания препятствия в канале потребовалось 900 шагов по времени, чтобы достичь стационарного состояния, т. е. (14.117) и (14.122) использовались только на самой мелкой сетке. При использовании описанного выше многосеточного алгоритма требуется 130 многосеточных циклов с сокращением времени счета примерно в 4 раза. Тот же алгоритм был использован для расчета течений около осесимметричиой гондолы и каскада лопаток ротора турбины.
Гл. 14. Неиязкие течения л1б В работе [Зо)1пзоп, 1983] описано обобщение алгоритма Ни на двухшаговую явную схему типа Лакса — Вендроффа (п. 14.2.2); в работах [Рач!з е! а1., !984; СЫта, Ло!1пзоп, 1985] применен метод типа Ни для решения сжимаемых уравнений Навье — Стокса. Использована также дискретизация по методу контрольного объема уравнений Эйлера с расположением узлов сетки в центрах контрольных объемов [Дашезоп, 1983]. Вместо описанной выше схемы Лакса — Вендроффа использовалась четырехшаговая схема Рунге — Кутты ($ 7.4). Многосеточный алгоритм Джеймсона аналогичен алгоритму Ни, за исключением того что использовался лишь один цикл типа зуба пилы при переходе на самую грубую сетку и интерполяция на самую мелкую сетку проводилась через все промежуточные сетки. В работе [Мц!бег, 1985] скомбинирована неявная схема маршевого интегрирования по времени с многосеточным методом и методом расщепления потоков [5!едег, вагш!пй, 1981].
Чтобы получить более крутые фронты скачков, использовался метод ограничения потоков. Применялась также многосеточная схема РАБ (п. 6.3.5) с релаксацией Гаусса — Зейделя к стационарным уравнениям Эйлера при помощи дискретизации методом конечного объема второго порядка с расположением центров контрольных объемов в узлах сетки [Нешкег, !986]. Быструю сходимость многосеточного метода можно использовать в схемах ТЧГ! первого порядка (п. 14.2.6) до момента, когда сходимость будет почти достигнута. Ограничения потоков второго порядка можно вводить лишь для окончательного определения стационарного решения. 3 14.3.
Трансзвуковые невязкие течения Выделение трансзвуковых невязких течений в отдельную категорию связано с тем, что такие течения можно рассматривать специальным образом на основе уравнений потенциала, если образующиеся в иих скачки малы. Трансзвуковые невязкие течения характеризуются наличием зон до- и сверхзвукового течения (рис. 11.15). Основное внимание будет уделено методам решения стационарного уравнения потенциала. Дополнения, необходимые для решения нестационарного уравнения, будут приведены в краткой форме. ' 14.3.1.
Общие замечания Если течение безвихревое, можно ввести потенциал скорости (11.102). Уравнения Эйлера тогда можно свести к одному уравнению в частных производных и вспомогательному алгебраиче- $ !4.3. Трансзвуковые невязкие течения (14. 128) р'= Р =11+0.5(у — 1)Мз„[1 — М вЂ” Жт (14.! 29) где у — отношение удельных теплоемкостей, а М вЂ” число Маха набегающего потока.
Если для (14.128) используется консервативная дискретизация, то решение будет соответствовать слабой форме (14.128) (например, (5.6)). Следовательно, «ударные волны» будут скому уравнению. Для двумерного стационарного течения уравнение для потенциала скорости имеет вид (а' — из) Ф„„— 2ипФ„в + (а' — о') Фвв —— О, (! 4.126) скорость звука а определяется выражением (11.104). Если (14.126) записать в естественных координатах (з, п), т. е.
з параллельно локальному направлению потока, а и перпендикулярно ему, то уравнение примет вид (1 — М') Фаз + Ф„„= О, (14.127) где локальное число Маха М = д/а и дз = и~+ оз. Очевидно, уравнение (14.127) превращается из эллиптического в гиперболическое уравнение в частных производных, если число М становится локально больше единицы, т. е. течение становится локально сверхзвуковым. Как следует из рис.
11.15, сверхзвуковая область в направлении течения обычно заканчивается ударной волной. Поскольку вывод (14.126) основан на предположении о том, что течение безвихревое, то по теореме Крокко [Е!ертапп, Коз%о, 1957] течение при обтекании тела однородным потоком должно быть изэнтропическим. Однако, хотя условия Репнина — Гюгонио (!1.110) гарантируют сохранение массы, импульса и энергии при переходе через скачок, энтропия увеличивается пропорционально третьей степени от интенсивности скачка (М~ — Мв)з). Если число Маха для нормальной компоненты скорости перед скачком (М~) меньше 1.1, изменение состояния течения при переходе через скачок можно считать приблизительно изэнтропическим и течение можно описывать уравнением потенциала.
Уравнение (14.!26) обычно рассматривается в эквивалентной безразмерной консервативной форме (т. е. уравнение неразрывности) (р'Ф'„) + (р'Ф„')„= 0, где Ф'=Ф/((/ Л), 7.— характерная длина. Безразмерная плотность получается из (11.104): Гл. 14. Невязкие течения 2!8 улавливаться решением. Однако в разрывных решениях будут сохраняться энтропия, энергия и масса, но не импульс. Поэтому условия Ренкина — Гюгонио будут выполняться лишь приближенно. В работе 1.)ашезоп, 1978) отмечается, что скачок импульса на рассчитываемом разрыве является мерой волнового сопротивления. Численное решение уравнений (14.128) и (14.129) можно получить весьма эффективным образом.
Соответствующие программы широко используются в авиационной промышленности Скамж рваоавнчмн (- зв Скачок окатим указан нинин Звукован мимам г г Рис. 14.28. Скачки сжатия и разрежения. для расчетов самолетов, работающих в трансзвуковом режиме, когда можно ожидать появления лишь слабых скачков. Лля течений с более сильными скачками или течений с большими вихревыми зонами, например в следе за профилем или лопаткой турбины под углом атаки, необходимо, как правило, методами установления (п.
14.2.8, 14.2.9) решать полные уравнения Эйлера (11.22) — (1!.24). Эти методы обычно значительно медленнее методов, предназначенных для решения уравнений (14.128) и (!4.129). Экономичность последних особенно заметна при расчете трехмерных или нестационарных течений. Поскольку уравнение (14.126) описывает изэнтропическое не- вязкое течение, его решением могут быть как ударные волны сжатия, так н ударные волны разрежения (рис. !4.28). В численных схемах должны быть предусмотрены специальные процедуры, делающие невозможным появление (физически невозможных) скачков разрежения. Это может быть сделано путем использования разностей против потока или введением искусственной вязкости в сверхзвуковых областях. Оба эти метода создают диссипативный механизм, который делает невозможным образование ударных волн разрежения.
14.3.2. Трансзвуновое уравнение малых возмущений В случае обтекания тонких тел возможно дальнейшее упрощение уравнения (14.126), в результате чего можно получить уравнение (11.107) для возмущения потенциала чР. Если про- $ !4.3. Траясзяукояые яевязкяе течеяяя 219 филь тела задается уравнением у=т/(х), где т предполагается малой величиной, уравнение (11.107) можно представить в виде [Со!е, 1975] — [Кфк — 05(У+1)(фх)']+ д з =О, (14130) где К= (1 — Мз )/тмз, ф„=- дф/дх. В уравнении (!4.!30) величины у и ф приведены соответственно к масштабам тц' н т-зм. Уравнение (14.130) называется гранезвуновым уравнением малых возмущений. Совместное с (!4.130) условие на ударной волне имеет вид [фз] —,У [Кф„— 0.5(У+!) [ф„]з] = О, (14.131) где [ ] означает скачок величины, а ду/дх — наклон ударной волны.
Можно также заменить граничное условие дф/да=0 на поверхности тела условием на оси х: — — при у=О. дФ д/ ду ах (14. 132) Уравнения (14.130) — (14.132) правильно описывают трансзвуковые течения около тонких тел, за исключением области, расположенной непосредственно перед передней затупленной кромкой, поскольку в этой области возмущений скорости и имеют тот же порядок, что и скорость набегающего потока (/ . Для сверхзвуковых скоростей, например М ) 1.3, возможно дальнейшее упрощение (14.130), поскольку при этом 0.5 (у + + 1) (фх]з « Кф„. Уравнение (14.!30) сводится к линейному уравнению (11.109), для решения которого можно использовать панельный метод (например, РАЙ-А1Рт), описанный в п. 14.1.6.
Консервативную форму (14.130), необходимую для правильного расчета скачка, можно компактно представить в виде д +д ду дО (14. 133) где Р = Кф, — 0.5 (у + 1) (ф.)', 6 = дф/ду. Центрально-разностиые операторы, определенные через значения в полуцелых точках сетки, имеют вид ["1+ца з "1-цз, я] [Рь яз цз Ог з — цз] Риз- — ' — . Яня= ах ' ьу (14. 134) Если значение 6, определенное вновь при помощи центральноразностных операторов, подставить в (14.134), то (91, ят-! ~~Ь Й + ти Ф вЂ” 1) Яг,з= стук Гл.
14. Невязкие течения Аналогичное выражение можно записать для Рь «. При помощи (14.134) алгоритм, удобный для дискретизации (14.133) при описании трансзвуковых течений, можно представить в виде Р1 «+ Я! « — )«1 «Р1 «+ )«1, «Рг, „—— О, (14.135) где ~ = О в дозвуковых точках, т. е. К ) (у + 1) ф„, )«1, « т =! в сверхзвуковых точках, т. е. К ((у+ 1) ф„. Из (14.135) следует, что в сверхзвуковых областях член дР/дх в (14.133) аппроксимируется по трехточечной направленной против потока схеме (рис. 14.29), а в дозвуковой — центральной (а (Ь к+1 Н-! ззис. 14.29, Точки, используемые в (14.13о). (а) Лозвуковая точка (й «); (Ь) сверхзвуковая точка (й «). разностью. Отличие формул в сверхзвуковой области правильно отражает гиперболическую природу уравнений в этой области, заключающейся в отсутствии влияния вверх по потоку.
На звуковой линии или на ударной волне (см. рис. 11.15), расположенными между точками (1 — 1, )з) и (1, )з), уравнение (14.135) принимает вид На звуковой линии: 1;)1 « = О, (14. 136) На ударной волне: Рг «+ Р1, «+(41 «= О. :Эти специальные представления необходимы для правильного описания ударных волн и для построения эффективного алгоритма решения уравнений.
Преобразуя выражения (14.135) через потенциал скорости, получаем систему уравнений, которая может быть решена методом итераций. Специальные процедуры описаны в п. 14.3.5. Изложение данного метода следует в основном работе [Мцгптап, 1973). Разложением в ряд Тейлора Р; ь» в окрестности узла (1, й) можно показать, что этот оператор аппроксимирует дР/дх в данной точке, но приводит к появлению искусственной вязкости, 5 14.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
