Fletcher-2-rus (1185919), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Однако при малых и быстро устраняются отклонения низкой частоты, но не высокой. Поэтому лучше использовать последовательность величин и, например а =а,а ', где а,=Ау и а=(2/Лу)'л где л( — число шагов в последовательности, обычно !т' = 11. Описание различных схем приближенной факторизации и анализ оптимального выбора и и «т можно найти в работе (Са1Ьега!1, 1982]. Описанные схемы можно сделать еще более эффективными, если применить их в процедуре многосеточных итераций (п.
6.3.5). Уравнение (14.147) после подстановки (14.148) может быть записано в виде (14.160) Амфм=0, где индекс М означает, как и в п. 6.3.5, самую мелкую сетку, на которой ищется решение. Для любого промежуточного решения на более грубой сетке А~+'ф +' = К +', т. е.существует ненулевой остаток. В работе (3атезоп, 1979) использован модифицированный алгоритм РАБ (п. 6.3.5), в котором от более мелкой сетки к более грубой ограничиваются лишь остатки. Уравнение (6.90) заменяется следующим: А ф '=А'"ф — 7 +Я +', (14. 161) где Ч'"' — существующее на лт-й сетке решение. Как и в алгоритме гАЗ, у ' получается путем релаксации и последующего ограничения на самую грубую сетку; точное решение, релаксация и продолжение назад на лт-ю сетку осуществляются, как показано на рис.
621(Ь). Новое решение на (лт+ 1)-сетке задается соотношением ф + ' =ф " +! +'(ф ' — ф ). (14.162) Операторы сужения и продолжения 7 в (14.161), (14.162) описаны в п. 6.3.5. Джеймсои использовал модифицированный вариант приближенно факторизованной схемы (14.156), (14.157) в алгоритме релаксации, заменив Яке в (14.156) правой частью уравнения (14.!61). В схеме Джеймсона параметр и в (14.156), (14.157) заменяется на 5: (14.
163) 3 = ае + а~7.! + ат!.ч, 229 $14.3. Трансзвуковые невязкие течения где Е1 и ф— операторы с разностями против потока, определенные после формулы (14.155). Такая модификация сделана для более эффективного расчета сверхзвуковой подобласти. Полный Ч-цикл (рис.
6.21(Ь)) включает в себя одну релаксацию по формулам (14.156), (14.157) и (14.!63) и сужение в ° Инхыня поверхность Рис. 14.32. Распределение давления по поверхности профиля МАСА-0012 при сс = 2', М = 0.70, сетка !92Х32. остатков на следующую более грубую сетку да тех пор, пока не будет достигнута самая грубая сетка, на которой определяется точное решение. После этого продолжение (14.162) и один шаг релаксации проводятся на каждой сетке, пока не будет достигнута вторая по мелкости сетка.
Решение на самой мелкой сетке получается после этого из (14,162), У-цикл повторяется до тех пор, пока не будет выполняться уравнение (14.160). 230 Гл. НЬ Невязкяе течения Один Ч-цикл данного алгоритма можно сравнить с полным циклом по значениям а в обычном алгоритме приближенной факторизации, т. е.
(14.158) и (14.159). Джеймсон [Загпезоп, 1979] отмечает, что для многосеточного расчета с шестью сетками требуется примерно в четыре раза меньше операций на цикл, чем при использовании обычной приближенной факторизации. Чтобы получить сходимость решения (с инженерной точностью) задачи об обтекании профиля под углом атаки с висячим скачком (рис. !4.32), требуется примерно 10 полных циклов. Это соответствует примерно 80 †1 итерациям в обычном методе приближенной факторизации [Но!з1, 1985]. Таким образом, многосеточный подход увеличивает эффективность алгоритма примерно в четыре раза.
14.3.6. Использование потенциала в неизэнтропичесних течениях В работе [К1ор!еу, %хоп, 1984] предложен интересный подход к описанию неизэнтропических течений на основе теории потенциала, позволяющий значительно увеличить точность уравнения (14.137) в случае появления сильных скачков. Их расчет существенно улучшает расчет плотности в (!4.129), допуская изменение энтропии при переходе через скачок.
Уравнение (14.129) заменяется уравнением Р [) + ОЛ(У вЂ” ~) М'„(~ — дв)]П(У вЂ”" Р- К~«у и где д'=(и'+ от)/У'. Величина К есть функция от энтропии, определяемая выражением 2ум( „— (у — ! ) т' (у — 1) м] „+ 2 'ч У (,+!) (, (,+))М, „) где Мь „— локальное число Маха, вычисленное по нормальной составляющей скорости перед скачком.
Клопфер и Никсон отмечают, что для течений около аэродинамического профиля достаточно положить Мь л = и/а. Для точек перед скачком К = 1. За скачком величина К постоянна вдоль каждой линии тока и может быть приближенно прослежена. Введение такой модификации в метод полного потенциала [Но!з(, 1979] позволяет более точно определить положение скачка и, следовательно, распределение давления (рис.
14.33). Очевидно, получается решение, более близкое к решению на основе уравнений Эйлера [Рц!1)ат, 1985]. 231 $14.3. Трансзвуковые невязкие течения Модификация (14.164), (14.!65) незначительно увеличивает время счета, н неизэнтропическая формулировка Клопфера— Никсона является весьма эффективным обобщением основан- о ор 0 ш/с Рис. 14.33.
Сравнение положения ударной волны ([К1ор!ег, %хоп, 1984); печатается с разрешения А1АА). иых на потенциале скорости методов расчета течений со скачками умеренной интенсивности. Неизэнтропические модификации рассмотрены также в работе [На1ех, 1985[. 14.3.7. Уравнение полного потенг4иалат дальнейшие замечания Обзор методов расчета трансзвуковых течений на основе метода потенциала приведен в работе [НаЬазЬ1, 1985]. Для решения успешно использовались конечно-разностные методы, методы конечных элементов и конечного объема [гт!221, Ч(у(апс1, 1981[. При выделении скачка, в результате чего разрыв в решении на скачке отделяется от области гладкого изменения, также весьма эффективными являются спектральные методы [Нпзза!п1, Хапд, 1987[. Если присутствуют лишь слабые скачки н течение практически безвихревое, для получения точного решения трансзвуко- 232 Гл.
14. Невявкие течения ного уравнения полного потенциала могут быть использованы весьма эффективные алгоритмы. Именно поэтому данные методы применялись для расчета обтекания довольно сложных трехмерных геометрий [Саня!теу, 1982]. Для трансзвуковых невязких течений сравнение показывает [Р!огсз е1 а1., !985], что в случае слабых скачков сравнимые по точности методы, основанные на полном уравнении потенциала (например, [Но1з1, 1979], примерно на порядок быстрее неявных методов для решения уравнений Эйлера (например, Рп!1(агп, 1985] ).
Однако по мере увеличения интенсивности скачков методы, основанные на уравнениях Эйлера, становятся предпочтительнее, поскольку изэнтропические методы полного потенциала уже, как правило, не дают правильного положения и интенсивности скачка. Неприятным свойством консервативного представления уравнения полного потенциала является то, что в определенных условиях можно получить несколько решений при одних и тех же граничных условиях [Ьа!аз е! а1., 1983]. Для профиля !ч!АСА-0012 при малом угле атаки и М =0.83 возможно до трех решений, приводящих к различным значениям подъемной силы с углом атаки, что физически некорректно. Предполагается [На1ех,1985], что учет вязких эффектов может устранить данную неоднозначность.
Неоднозначность не появляется при неконсервативном представлении, однако при этом представлении не сохраняется поток массы через ударную волну, в результате чего теряется точность расчета коэффициентов сопротивления. Для стационарных трансзвуковых течений, особенно двумерных, трудности, связанные с неоднозначностью решения и потерей точности при наличии скачков умеренной интенсивности, привели к значительному сдвигу в сторону расчетов на основе уравнений Эйлера. Однако при рассмотрении нестационарных задач, например флаттера, более существенную роль начинает играть экономичность методов потенциала, хотя при этом и приходится преодолевать проблему неоднозначности. При рассмотрении нестационарных двумерных потенциальных течений уравнения (14.!28) и (14.129) заменяются соответственно уравнениями — + л (р л ) + л (р л ) = О, (14.166) р/р =(1+0.5(у — 1)М'„(1 — ~ —,— ф+ ";( — ) -~-( — )]]) .
к4.!67) з 14.4. Заключение 23з В работе (Ооог)(ап, 1985] описаны эффективные неявные методы приближенной факторизации для решения таких уравнений. 2 14.4. Заключение Из построения различных численных методов для рассматриваемого класса течений следует, что уравнения, описывающие некоторые классы течений, приводятся к сравнительно простому виду и для их решения возможно построение весьма эффективных численных алгоритмов. Так, например, расчет (несжимаемых) потенциальных течений может быть осуществлен панельным методом Ц 14.1). Основная трудность при рассмотрении сверхзвуковых не- вязких течений связана с расчетом ударных воли.
Поскольку положение скачка неизвестно, методы сквозного счета, основанные на консервативных разностных схемах, более предпочтительны, чем методы с выделением скачка. При расчете очень сильных ударных волн необходимо введение специальных процедур (п. 14.2.6 и !4.2.7). При расчете сверхзвуковых невязких течений с сильными скачками необходимо использовать полную систему уравнений Эйлера. Напротив, для многих трансзвуковых течений характерно наличие лишь слабых скачков и для их расчета достаточно использовать полное уравнение потенциала в форме (14.137) и (14.129). При переходе от дозвуковой области течения к сверхзвуковой меняется тип уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
