Fletcher-2-rus (1185919), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Точное решение этой задачи Ф„= ехр(0.5пх)соз(0.5пр). 14.14. Примените приближенную факторизацию в сочетании с многосеточным подходом на сетие 65Х33 к задаче 14.11. Сравните приблизительно эффективность метода с методом, использующим просто приближенную факторизацию на самой мелкой сетке. Глава 15 Течения в пограничном слое Течения в пограничном слое традиционно выделяют в отдельную категорию течений (см. табл. 11.4 и 2 !!.4).
Применительно к численным расчетам течение в пограничном слое удобно определить как поток, для которого диффузия, связанная с вязкостью, существенна лишь в направлении, нормальном к поверхности, на которой возникает пограничный слой и=не(м) и=о=в Рис. !зл. Течение в пограничном свое. (рис. 15.1). Уравнение для нормальной составляющей импульса может быть заменено условием постоянства давления в этом направлении. Если распределение давления известно, то уравнения, описывающие такое течение, перестают быть эллиптическими, что позволяет разработать весьма эффективные однопроходовые маршевые алгоритмы (в направлении х на рис.
15.1) для их решения. В пограничных слоях имеют место большие градиенты скорости в направлении, нормальном к поверхности. Поэтому желательно использовать преобразования координат, для которых эти градиенты стали бы меньше в новой системе координат. Наиболее эффективные преобразования описаны в Ч !5.2 и 15.3. Кроме того, для получения хорошего разрешения вблизи стенки используются сетки, шаг которых геометрически возрастает в направлении нормали к поверхности (п. 15.1.2). Уравнения, описывающие движение в трехмерном пограничном слое, являются гиперболическими в плоскостях, нормальных к поверхности, на которой развивается пограничный слой. Это усложняет области зависимости и влияния в этих пло- й 15.!.
Простые течения н пограничном слое 239 скостях (п. 2.2.1). Область влияния в явных маршевых алгоритмах определяет возможную величину шага (9 15.4). Для расчета турбулентных пограничных слоев используются те же численные методы, что и для ламинарных. Однако увеличение градиента нормальной составляющей скорости вблизи поверхности может привести к необходимости введения более сильного сгущения сетки в направлении нормали.
Эта проблема может быть решена применением метода Дородницына ($ 15.3), в котором компонента скорости и, направленная по потоку, рассматривается как независимая переменная. Другой путь избежать сильного сгущения сетки вблизи стенки состоит в введении пристенных функций, которые позволяют локально получить аналитический профиль скорости вблизи стенки. Пристенные функции рассматриваются в и. 18.1.1. Пренебрежение диффузией в направлении потока и отбрасывание уравнения нормальной составляюгцей импульса может быть также использовано при расчетах струй, течений в следе и трубах. Подобные течения с тонкими сдвнговыми слоями могут быть весьма эффективно рассчитаны при помощи методов, применяемых для расчетов течений в пограничном слое.
9 15.1. Простые течения в пограничном слое Уравнения, описывающие ламинарный несжимаемый двумерный пограничный слой, могут быть представлены в виде (15. 1) и — +о — =и — +о —, ди ди дие дан дх ду а дх дуя ' (15.2) где известное распределение скорости и,(х) на внешней границе пограничного слоя (рис. 15.1) получается из уравнения Бернулли (11.49).
Поскольку система уравнений (!5.1), (15.2) относится к смешанному параболическо-гиперболическому типу с переменной х, играющей роль времени, необходимо задать начальные условия и(хо у) =ио(у) (15.3) и граничные условия и (х, О) = О, о (х, О) = О, и (х, 6) = и, (х). ( 15.4) Уравнение импульса (!5.2) можно сопоставить с уравнением одномерной диффузии, рассмотренным в гл. 7, и с одномерным уравнением переноса из 9 9.4. Основные отличия заключаются в нелинейности конвективных членов и в связи с уравнением Гл. !З. Течения в пограничном слое неразрывности через нормальную компоненту скорости о.
Поскольку и,г(и,/г(х известно, то этот член действует как источник и мало влияет на выбор численного метода. Все схемы, описанные в ф 7.2 или 9.4, в принципе пригодны для численного решения уравнения (15.2). Явные схемы ($ 7.1) исключаются, поскольку их применение привело бы к неприемлемому ограничению на размер шага Лх по маршевой переменной, следующему из условия устойчивости. Схема Кранка — Николсона (п. 7.2.2) и полностью неявная трехслойная схема (п. 7.2.3) являются безусловно устойчивыми схемами второго порядка точности (по Л1 и Лх) для уравнения диффузии.
Чтобы получить второй порядок точности по Лх при решении (15.2), необходимо аппроксимировать нелинейные члены иди/дх и оди/ду со вторым порядком точности. Для схемы Кранка — Николсона это приводит к необходимости введения итераций для расчета всех точек, расположенных вниз по потоку. Для полностью неявной трехслойной схемы (п.!5.1.1) удается избежать итераций путем использования значений и и в в точках, расположенных вверх по потоку (см. (!5.6)). 15.1.1. Неявная схема Для разработки численного алгоритма конечно-разностные выражения, аппроксимирующие различные члены в (15.1) и (15.2), на равномерной сетке вводятся следующим образом: дц (! Зци+~ — 2и" + О Вч ~) + 0 (Лха), ди (и" + ' — и" +1) — г+~ г ~ -1-0 (Луа) (15.5) ди 2Ьу ""' + 0(Лу').
Назначение индексов в этих выражениях иллюстрируется на рис. 15.1. Верхние и нижние индексы введены таким образом, чтобы подчеркнуть роль координаты х, подобную времени а Для получения линейной относительно иичч системы уравне- ний недифференцируемые компоненты скорости и и о, входя- щие в левую часть (15.2), экстраполируются следующим об- разом: ице~ 2ип ии — 1+ 0(Лха) ои 1 2ои ои — ~+ 0(Лха) (15 6) ! ! ! ! Подставив эти выражения в (15.2) и сделав необходимые преобразования, можно получить трехдиагональную систему $15.1.
Простые течения н пограничном слое 241 уравнений, связывающую значения функций на слое и + 1 по- перек пограничного слоя: а ип+' + Ь ип " + с ип" = с(. ! / — 1 ! / / !+1 !' (15.7) где (2 Оп Пп — 1) т ах ах злу ! ! аух ' 1,5(2ил — ип-') + 2т —, ах / ауе ' ах ах — (2сл — Ол 1) — т— хау l / Аут ' а.= ! Ь.= 1 с = / с(. =(2и". — и" — ') (2и,". — 0.5и",.
') + Ах~и,— „"'~ 1В К Флетчер, т. т Уравнение (15.7) неприменимо при / = 1 (у = 0) или = ЯМАХ(у = учлех); и! лчех = ие при / =ЯМАХ вЂ” 1, следовательно, /1/ в (15.7) следует заменить на /1 — с/и,"+', а затем положить с! равным нулю; и/ =0 при / =2. Наиболее эффективно система (15.7) может быть решена при помощи алгоритма Томаса (п. 6.2.2). После нахождения ип+' значения оп"' могут быть получены / / из уравнения (15.1), которое представляется в следующем дискретном виде: оле1 — оле1 0 5 У ~(! 5ил+1 2ип 1 0 5ил-1) + а / /-' ' ах ' / 1 ' / + (1 бил+' — 2и". + 0.5ип ')1 (15.8) где оп!+1=0. Схема (15.7), (15.8) имеет второй порядок точности по Лх и Лу, является безусловно устойчивой (по Нейману), работоспособной и эффективной.
Однако она должна быть либо дополнена однослойным алгоритмом для начала маршевого расчета вниз по потоку, т. е. при и=1, либо должны быть заданы два слоя (и — 1 и и) начальных данных (15.3). Если для решения уравнения (15.2) использовать схему Кранка — Николсона, значения ип-' не понадобятся.
В этом случае уменьшается требуемый объем памяти и начальные данные должны быть заданы лишь на одном слое. При этом вместо экстраполяции (15.6) используются соотношения ип+' = / =ил+0(Лх) и оп"'=оп+0(Лх). Для получениявторого по/ / / рядка точности по Лх требуется проведение итераций для всех точек, расположенных вниз по потоку. Полученные в результате решения уравнений (15.7) и (15.8) текущие итерации их+' н о/х+1/ используются вместо (15.6), после чего снова решаются уравнения (15.7), (15.8). На первом шаге итераций и" = ип и 242 Гл. !5.
Течения в пограничном слое 15.1.2. 1АМВ).: ламинарный пограничньгй слой Неявная схема, описанная в п. 15.1.1, использовалась при расчете пограничного слоя, возникающего при плоском обтекании двумерного клина однородным потоком (рис. 15.2).
Рис. !5.2. Течение около клина. Эта задача относится к классу течений в пограничных слоях Фолкнера — Скан, обладающих автомодельным профилем скорости (см. (ЬсЫ1сЫ(пд, 1968)). В данном случае компоненты скорости являются функцией одной переменной У[(2 — (!) хч1 (!5.9) ое = о". Итерация продолжается до тех пор, пока с некоторой допустимой точностью ие будут выполняться равенства иле,' = =и,",. После этого значения и"+', о"+' полагаются равными ил-н оае!. На практике более эффективным, несмотря на формальное уменьшение скорости сходимости, оказывается не проведение таких итераций, а уменьшение шага Лх до величины, обеспечивающей необходимую точность. Основной трудностью при использовании однородных по х и у сеток является необходимость введения специальных процедур для учета роста толшииы пограничного слоя.
Кроме того, для правильного описания распределения скорости вблизи стенки должны использоваться весьма мелкие в направлении у сетки, что становится особенно существенным при рассмотрении турбулентных пограничных слоев. 4 !5.1. Простые течения а пограничном слое 2243 (15.10) (! 5.! 2) Точное численное решение для 1(ч) при различных углах раствора клика 6 приведено Розенхедом [тсозепЬеаб, 1964) . Здесь эти табличные данные будут использованы для задания начальных значений и и о и сравнения полученных результатов дальше вниз по потоку с «точным» решением.
Удобно ввести следующее обезразмеривание уравнений (15.1), (15.2): х' = —, у' = —" Ке~~~, и' = —, о' = — Ке~'~, (!5.13) где число Рейнольдса Ке= (1,Ь/ч, а Ь и (,1,— характерные длина и скорость. Для данной задачи (/, соответствует значе- нию и, (15.12) при х = Е. Преимущество соотношений (15.13) состоит в том, что без- размерная координата у и нормальная составляющая скорости оказываются нормированными множителем Веце таким образом, что они становятся величинами одного порядка с х' и и' соот- ветственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
