Fletcher-2-rus (1185919), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Простые течения в пограничном слое 249 Гхьквке-БЕБИ Боьотзои вата- ло ЗИБх и Оти= .Яо ВГ= 1.оо ИИВХ 19 ОХ= . 100Е+00 Х57= 1.00 ВЕ . 100Е+06 Рис. 16.6. Типичная выдача программы 1АМВ1.. тем интерполяции (1В и среднеквадратичное отклонение между и и ио„. Как видно из рис. 15.5, полученные численные результаты весьма близки к решению Фолкнера — Скан. 15.1.З.
Схема ячеек Келлера Другой метод дискретизации уравнений пограничного слоя (15.1), (15.2) предложен в схеме ячеек Келлера. Основное отличие итого метода состоит в том, что в нем фигурируют лишь первые производные. Уравнение (15.2) заменяется уравнением ди ди ди, дт и — +о — =и — +— дх ду Я дх ду ' (15.23) 1-1 1-1/2. где ди т = 11— ду ' (15.24) и и+112 и+1 Рнс. 16.6.
Сетка в схеме ячеек Кел ет ис- лера. Таким образом, возника куственно введенная дополнительная переменная — сдвнговое напряжение т. Дискретизации проводится внутри «ячейки», как показано на рис. 15.5. Н 1 и г и= 3 И= 4 И 5 И 6 И= 7 Н- В и 9 Н ЭО н= ы И 12 и ы И 14 И 15 Н- 16 И 17 Н 1$ И- 19 ВИВ Х 1.20 КХСГ Х 1.ЭО КХСГ Х-З.ЯО КХСГ= Х 1.50 ЕХСГ Х*З.ЯО КХСГ= Х ЗЛО КХСГ Х=Э.ВО КХСГ= Х 1.90 ЕХСР х Э.оо ысг= х Э.зо ехсг= Х.=г.го кхс. Х=2.30 ЕХСГ-" Х=2.40 КБСГ= Х=2.50 ЕХСГ х 2.6о кхсг Х 2.70 ЕХСГ х Х.во кхсг- Х 2.90 КХСГ Х 3.00 ЕХСГ .674Е-ОЗ .004243 .004022 .ООЭВ2$ .003656 .003502 .003364 .Оозгзв .003123 .00301В .002922 .002В32 .002750 .002673 .002601 .002534 .002471 .002412 .00235$ .оогзоз СГ .004242 СГ .004024 сг= .оозвзг СР .003660 Сг .003506 СГ .003367 СГ= .003241 СГ .003126 сг- .оозогз сг= .оогыЯ СГ= .002В35 СГ .002752 Сг .002675 сг- .Оогбоз СГ .002536 сг= .оо247з СГ= .002414 Сг .00235$ СГ .002305 01БР 01БР= ИБР 01$Р 015Р ИБГ 01$Р ОЛР О15Р= 01БР 015Р ИБР 015Р= 01БР= 01БР ОЫР 015Р= 01$Р 015Р= .003343 ОЕ 1.063 .003430 Ок 1.091 .оозиг Ок= З.ИВ .003591 ОЕ 1.145 .00366$ Ок 1.170 .003742 Ок 1.193 .ООЗВ1Э ОЕ 1.216 .ООЗВ$1 ОЕ 1.239 .ООЭ947 ОЕ 1.260 .004011 Ок 1.2$1 .004072 Ок 1.301 .оовыг Ок З.зго .004191 ОБ 1.339 .00424В ОЕ 1.357 .00430Э ОБ 1.375 .004357 ОЕ= 1.392 .004409 Ок 1.409 .004441 ОЕ= 1.426 .004511 ОЕ 1.442 й 15.2.
Сложные течения в пограничных слоях где ахни+! =вне+' — вне, хн! — — (и1, о1, т!)г, 1г — номер итерации. Таким образом, в начале итераций вне=хне, а после их окон! !' чания вн"+!=хне+'. Обычно на каждом шаге вниз по потоку ! достаточйо трех — четырех итераций для определения значений хнв+'. Можно отметить, что при дискретизации (15.25), (15,26) ! матрица Якоби обычно получается трехдиагональной и система (15.30) может быть эффективно решена при помощи алгоритма„ описанного в п.
6.2.5. Схема ячеек Келлера описана в работе [Ке!!ег, 1978] и более подробно в книге [СеЬес(, ВгадзЬахч, 1977]. й 15.2. Сложные течения в пограничных слоях В пограничных слоях с обратными градиентами давления (давление увеличивается в направлении потока) толщина пограничного слоя быстро увеличивается. Для любого типа пограничных течений компонента скорости и, направленная по потоку, сильно изменяется в направлении, перпендикулярном пограничному слою. По этой причине желательно преобразовать уравнения к новым зависимым и независимым переменным, менее чувствительным к приведенным выше эффектам. Если сетка в преобразованной области близка к однородной, ошибки, связанные с дискретизацией (см. $ 3.1), будут значительно меньше. Общие проблемы, связанные с использованием переменных сеток и возникающими при этом ошибками, рассмотрены в работе [Ь!оуе, 1983].
15.2.1. Замена переменных Как правило, в результате преобразования уравнений пограничного слоя возможно получить определенные преимущества. В результате преобразования Манглера (см. [БсЫ!сЫ1пд, 1968] ) осесимметрнчный пограничный слой сводится к эквивалентному двумерному. Преобразование Хоуарта — Стюартсона [3сЫ1сЫ!пй, 1968] позволяет заменить сжимаемый пограничный слой эквивалентным несжимаемым. Преобразование Блазнуса компенсирует увеличение толщины пограничного слоя и значительно упрощает уравнения в том случае, если задача имеет автомодельное решение. Преобразование Леви — Лиза [В!о(!пег, 1975а], рассматриваемое в п.
15.2.2, сочетает основные свойства преобразований Хоуарта, Манглера и Блазиуса. В преобразовании Дородницына ($ 15.3) скорость и используется в качестве независимой 252 Гл. 15. Течения н пограничном слое переменной. Это позволяет представить уравнения в интегральной форме и делает возможным применение метода Галеркина с конечными элементами и спектральных методов. В преобразовании Дородницына безразмерный градиент нормальной составляющей скорости рассматривается как зависимая переменная, Это позволяет с большой точностью получить сдвиговое напряжение на стенке, а следовательно, и коэффициент поверхностного трения (11.66). 15.2.2. Преобразование Леви — Лиза Отправной точкой преобразования Леви — Лиза являются уравнения, описывающие стационарный ламинарный сжимаемый двумерный (п.
11.6.2) или осесимметричной пограничный слой: уравнение неразрывности (~еРи) + д (гейо) 0 д д (15.31) уравнение импульса в направлении оси х ри — + ро — = — — '+ — ( 1я — ), (15.32) ди ди Нре д г дн х дк ду Нх ду (, ду)' уравнение энергии Для двумерных течений ! =О, для осесимметричиых / = 1, а ге — радиус тела; х в (15.31) — (15.33) измеряется вдоль тела от носка или точки торможения, а у — по нормали к поверхности; р, в (!5.32), (15.33) — известное давление иа внешней поверхности пограничного слоя.
Для сжимаемых течений уравнения (!5.31) — (!5.33) должны быть дополнены уравнением состояния, например (11.1), и зависимостью вязкости от температуры р(Т). Для уравнений (15.31) — (15.33) можно поставить начальные условия и(хо, у) =ио(у) Т(хо у) =То(у) (15 34) и граничные условия .и(х, О) = в(х, О) = 0 (отсутствие потока массы через стенку), Т(х, О) =То(х) или — (х, О) = — 1;1„(х), (15.35) и(х, Ь)=и,(х), Т(х, б)=Т,(х). $ !5.2. Сложные течения в пограничных слоях 253 В преобразовании Леви — Лиза вводятся две независимые переменные х ~( ) Кз(р )тес е о (15.36) т1(х, р) = и г', ( 2 ) ~ рг(р', о где К вЂ” константа, зависящая от рассматриваемого течения. Новые зависимые переменные вводятся следующим образом: и Ь Т а т и уравнения (15.31) — (15.33) принимают вид 2$ — + — +Р=О, дя дп (!5.38) 2ьР д + У д +р(Р— О) — д (1 д ) =О, (15.39) где и., г 2$ '! дн, рн Граничные условия (15.35) записываются в виде Р=г =О и О=О.
при п=О, 7=У=1 при п=п' (15.42) Начальные условия можно получить, если положить $ =0 в (15.35) — (!5.40). Если члены, содержащие производные по $, положить равными нулю, то автоматически получаются урав- нения, описывающие автомодельные течения (например, тече- ния Фолкнера — Скан, п. 15.!.2) [В!о!!пег, 1975а]. Преобразование Леви — Лиза обладает следующими замеча- тельными свойствами: (1) влияние сжимаемости становится несущественным; р явно не входит в уравнения; (2) осесимметричные течения можно рассматривать как эквивалентные двумерные; (3) использование координаты т! компенсирует увеличение толщины пограничного слоя. 254 Гл. !5. Течения в пограничном слое 15.2.3. Связанная схема Дэвиса В данном разделе будет описана связанная схема Дэвиса (РСЬ) решения системы (15.38) — (15.40) для несжимаемого пограничного слоя.
В этом случае 1= 1, 8 = 1 и необходимо рассмотреть лишь уравнения (15.38), (15.39). Применение схемы РСЬ рекомендуется Блотнером (В!оНпег, 1975Ь) после проведенного им сравнения по точности и эффективности ряда Р=п,т'=О Рис. !5.7. Сетка в пограничном слое в пространстве 15, Ч). схем Кранка — Николсона. Термин «связанная» объясняется одновременным неявным рассмотрением уравнений неразрывности и х-компоненты импульса в противоположность последовательному решению уравнений (15.7), (15.8). Если (15.39) записать в виде дга дл дтл э — = ттНЯ = — 1l — — 5 (ге — 1) + —, (15.43) д5 дч дт!е ' то, используя разностную схему Кранка — Николсона в узле (а+ 1/2,1), можно построить маршевый алгоритм (здесь тсНЗ означает «правая часть уравненияв).
Другими словами, (15.43) заменяется выражением (раун- ! (Га)ч 0.5($" + 5" ) ~ ' = 0.5(ЙНЗ" + КНЗ"~ ). (15.44) Производные по т! в (15.43) аппроксимируются трехточечными центральными разностями (рис. 15.7). Нелинейныс неявные члены в (!5.43) и (15.44) лииеаризуются разложением Ньютона — Рафсона, т. е. (ра а+' йрарет~ (рт)е (! 5.45) $15.2. Сложные течения в пограничных слоях 255 где итерации по тт проводятся на каждом шаге по и в направлении потока. После достижения сходимости по л получается решение на слое и+1. Подставив (15.45) в 115.44), можно получить линейную относительно Р'+' и У'+! систему уравнений а! Рте+ !! + ЬтР~"' + с! Р~~+~! + д; )г~+' = с1~т, / = 2, 3, ..., У вЂ” 1, (15.46) где а~т = — 0.5 (1 + 0.5р~тЛт1), б =1+6' 15"+'+ ~ ~ Р~ т= т1! с~! = — 0.5(1 — 0.56т1У!), д! =0.25Лт~(Р~!+! — Р! !), с1~т = — агР! ! — отР~те ! — [1 + 0.5АЧ 5"Р! [ Р! + + ~,е ( т+! ! — !) 1 нетРт)х [ (2лч) ! 1' Уравнение неразрывности (15.38) в разностной форме имеет вид 2 л+цт [( / !)+( ! — ! / — !)! 2Ь1 [(ул+! 1го+!) 1 (1го рл )) 2ЬЧ + О 25[(Рт+' + Р,"" !) + (Р ! + Р! !)[ = 0 (15.47) Уравнение 115.47) можно разрешить относительно У~~~'.
Уравнения (15.46), 115.48) решаются одновременно модифицированным трехдиагональным алгоритмом 1п. 6.2.2). Первый проход осуществляется от внешней границы пограничного слоя к стенке. На границе слоя Е, = О! =О, ет =1.0. При умень- У~!+ ' — — К~!" ! ~— г! (Р~т+ ! ~+ Р~т') + тт, 1 = 2, 3, ..., 7, (15 48 ) где зт — — 26т1(0.25+$"+н'/Л$), йл+ пг ~ л е 1! = — 28т1(0.25 — — ) [Р; + Р! !] — (т'; — У! !). Гл. 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
